Ἀριστος δακτύλιος

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας οιονεί άριστος δακτύλιος είναι ένας Νέτερ αντιμεταθετικός δακτύλιος που συμπεριφέρεται καλά σε σχέση με την πράξη της συμπλήρωσης και ονομάζεται άριστος δακτύλιος αν είναι επίσης καθολικά αλυσοειδής. Οι άριστοι δακτύλιοι είναι μια απάντηση στο πρόβλημα της εύρεσης μιας φυσικής κλάσης "καλά συμπεριφερόμενων" δακτυλίων που περιέχει τους περισσότερους δακτυλίους που εμφανίζονται στη θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Κάποια στιγμή φάνηκε ότι η κλάση των Νέτερ δακτυλίων θα μπορούσε να είναι μια απάντηση σε αυτό το πρόβλημα, αλλά ο Μασαγιόσι Ναγκάτα και άλλοι βρήκαν αρκετά παράξενα αντιπαραδείγματα που δείχνουν ότι γενικά οι Νέτερ δακτύλιοι δεν χρειάζεται να είναι καλά συμπεριφερόμενοι: παραδείγματος χάριν, ένας κανονικός Νέτερ τοπικός δακτύλιος δεν χρειάζεται να είναι αναλυτικά κανονικός.

Η κλάση των άριστων δακτυλίων ορίστηκε από τον Αλεξάντερ Γκρόθεντιεκ (1965) ως υποψήφια για μια τέτοια κλάση καλά συμπεριφερόμενων δακτυλίων. Οι οιονεί άριστοι δακτύλιοι εικάζεται ότι είναι οι βασικοί δακτύλιοι για τους οποίους το πρόβλημα της επίλυσης των ιδιομορφιών μπορεί να επιλυθεί- ο Χιρονάκα (1964) το έδειξε αυτό στη χαρακτηριστική 0, αλλά η θετική χαρακτηριστική περίπτωση είναι (μέχρι το 2016) ακόμη ένα σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα. Ουσιαστικά όλοι οι Νέτερ δακτύλιοι που εμφανίζονται φυσικά στην αλγεβρική γεωμετρία ή στη θεωρία αριθμών είναι άριστοι- στην πραγματικότητα είναι αρκετά δύσκολο να κατασκευαστούν παραδείγματα Νέτερ δακτυλίων που δεν είναι άριστοι.

Ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο ορισμός του άριστου δακτυλίου είναι αρκετά περίπλοκος, οπότε υπενθυμίζουμε τους ορισμούς των τεχνικών συνθηκών που ικανοποιεί. Αν και φαίνεται σαν ένας μακρύς κατάλογος συνθηκών, οι περισσότεροι δακτύλιοι στην πράξη είναι άριστοι, όπως τα πεδία, οι πολυωνυμικοί δακτύλιοι, οι πλήρεις δακτύλιοι Νέτερ, οι περιοχές Ντέντεκιντ πάνω από τη χαρακτηριστική 0 (όπως ο $\mathbb {Z}$ ), και οι πηλίκα και οι δακτύλιοι εντοπισμού αυτών των δακτυλίων.

Ορισμοί που υπενθυμίζονται[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας δακτύλιος $R$ που περιέχει ένα πεδίο $k$ ονομάζεται γεωμετρικά κανονικός πάνω από το $k$ αν για κάθε πεπερασμένη επέκταση $K$ του $k$ ο δακτύλιος $R\otimes _{k}K$ είναι κανονικός.
Ένας ομομορφισμός δακτυλίων από τον $R\to S$ ονομάζεται κανονικός αν είναι επίπεδος και για κάθε ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ η ίνα $S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})$ είναι γεωμετρικά κανονική πάνω στο πεδίο καταλοίπων $\kappa ({\mathfrak {p}})$ του ${\mathfrak {p}}$ .
Ένας δακτύλιος $R$ ονομάζεται G-ring'^[1] (ή Grothendieck ring) αν είναι Νέτερ και οι τυπικές του ίνες είναι γεωμετρικά κανονικές- αυτό σημαίνει ότι για κάθε ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)$ , ο χάρτης από τον τοπικό δακτύλιο $R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}$ στην ολοκλήρωσή του είναι κανονικός με την παραπάνω έννοια.

Τέλος, ένας δακτύλιος είναι J-2^[2] αν οποιαδήποτε πεπερασμένου τύπου $R$ -άλγεβρα $S$ είναι J-1, δηλαδή το κανονικό υποσύστημα ${\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)$ είναι ανοικτό.

Ορισμός της (οιονεί) αριστείας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας δακτύλιος $R$ ονομάζεται οιονεί άριστος αν είναι δακτύλιος G και J-2. Ονομάζεται άριστος^[3]^{pg 214} αν είναι οιονεί άριστος και καθολικά αλυσοειδής. Στην πράξη, σχεδόν όλοι οι δακτύλιοι του Νέτερ είναι καθολικά αλυσοειδείς, οπότε υπάρχει μικρή διαφορά μεταξύ των άριστων και των οιονεί άριστων δακτυλίων.

Ένα σχήμα ονομάζεται άριστο ή οιονεί άριστο αν έχει κάλυψη από ανοικτά αφινικά υποσχήματα με την ίδια ιδιότητα, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοικτό αφινικό υποσύστημα έχει αυτή την ιδιότητα.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επειδή ένας άριστος δακτύλιος $R$ είναι ένας δακτύλιος G-ring,^[1] είναι εξ ορισμού Νέτερ. Επειδή είναι καθολικά αλυσοειδής, κάθε μέγιστη αλυσίδα πρώτων ιδεωδών έχει το ίδιο μήκος. Αυτό είναι χρήσιμο για τη μελέτη της θεωρίας διαστάσεων τέτοιων δακτυλίων, επειδή η διάστασή τους μπορεί να περιοριστεί από μια σταθερή μέγιστη αλυσίδα. Στην πράξη, αυτό σημαίνει άπειρης διάστασης Νέτερ δακτυλίους^[4]. που έχουν επαγωγικό ορισμό των μέγιστων αλυσίδων πρώτων ιδεωδών, δίνοντας έναν δακτύλιο άπειρης διάστασης, δεν μπορούν να κατασκευαστούν.

Σχήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου ενός άριστου σχήματος $X$ και ενός τοπικά πεπερασμένου μορφισμού τύπου $f:X'\to X$ , τότε $X'$ είναι άριστο^[3]^{pg 217}.

Οιονεί αριστεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε οιονεί άριστος δακτύλιος είναι ένας δακτύλιος Ναγκάτα.

Κάθε οιονεί άριστος μειωμένος τοπικός δακτύλιος είναι αναλυτικά περιορισμένος.

Κάθε οιονεί άριστος κανονικός τοπικός δακτύλιος είναι αναλυτικά κανονικός.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Άριστοι δακτύλιοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι περισσότεροι φυσικά εμφανιζόμενοι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι στη θεωρία αριθμών ή στην αλγεβρική γεωμετρία είναι άριστοι. Ειδικότερα:

Όλοι οι πλήρεις Νέτερ τοπικοί δακτύλιοι, παραδείγματος χάριν όλα τα πεδία και ο δακτύλιος $Z p$ των $p$ -adic ακέραιων, είναι άριστοι.
Όλοι οι τομείς Ντέντεκιντ χαρακτηριστικής $0$ είναι άριστοι. Συγκεκριμένα ο δακτύλιος $Z$ των ακεραίων αριθμών είναι άριστος. Τα πεδία Ντέντεκιντ πάνω από πεδία χαρακτηριστικών μεγαλύτερων από $0$ δεν χρειάζεται να είναι άριστα.
Οι δακτύλιοι των συγκλίνουσων δυναμοσειρών σε πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών πάνω από $' R$ ή $' C$ είναι άριστοι.
Κάθε τοποθεσία με άριστο δαχτυλίδι είναι άριστη.
Κάθε πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα πάνω σε έναν άριστο δακτύλιο είναι άριστη. Αυτό περιλαμβάνει όλες τις πολυωνυμικές άλγεβρες $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})$ με $R$ άριστη. Αυτό σημαίνει ότι οι περισσότεροι δακτύλιοι που εξετάζονται στην αλγεβρική γεωμετρία είναι άριστοι.

Ένας δακτύλιος J-2 που δεν είναι δακτύλιος G[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ακολουθεί ένα παράδειγμα ενός διακριτού δακτυλίου αποτίμησης $A$ διάστασης $1$ και χαρακτηριστικού $p > 0$ οποίος είναι $J-2$ αλλά όχι δακτύλιος $G$ και άρα δεν είναι οιονεί άριστος. Αν $k$ είναι οποιοδήποτε πεδίο χαρακτηριστικής $p$ με $[k : k p] = \infty$ και $A$ είναι ο δακτύλιος των δυναμοσειρών $Σ a i x i$ έτσι ώστε $[k p (a 0, a 1, ...) : k p]$ να είναι πεπερασμένος τότε οι τυπικές ίνες του $A$ δεν είναι όλες γεωμετρικά κανονικές οπότε το $A$ δεν είναι δακτύλιος $G$ . Είναι ένας $J-2$ δακτύλιος καθώς όλοι οι τοπικοί δακτύλιοι Νέτερ με διάσταση το πολύ $1$ είναι $J-2$ δακτύλιοι. Είναι επίσης καθολικά αλυσοειδής καθώς είναι ένας τομέας Ντέντεκιντ. Εδώ το $k p$ δηλώνει την εικόνα του $k$ κάτω από τον μορφισμό Φρομπένιους $a \to a p$ .

Ένας δακτύλιος G που δεν είναι δακτύλιος J-2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ακολουθεί ένα παράδειγμα δακτυλίου που είναι δακτύλιος G, αλλά όχι δακτύλιος J-2 και άρα όχι οιονεί άριστος. Αν ο $R$ είναι ο υποδακτύλιος του πολυωνυμικού δακτυλίου $k [x 1, x 2,...]$ σε άπειρους γεννήτορες που παράγονται από τα τετράγωνα και τους κύβους όλων των γεννητόρων, και ο $S$ λαμβάνεται από τον $R$ με την πρόσθεση αντιστρόφων σε όλα τα στοιχεία που δεν βρίσκονται σε κανένα από τα ιδεώδη που παράγονται από κάποιο {math|x_n}}, τότε ο $S$ είναι ένας μονοδιάστατος Νέτερ τομέας που δεν είναι δακτύλιος $J-1$ καθώς ο $S$ έχει μια ιδιάζουσα κορυφή σε κάθε κλειστό σημείο, οπότε το σύνολο των ιδιαζόντων σημείων δεν είναι κλειστό, αν και είναι δακτύλιος G. Αυτός ο δακτύλιος είναι επίσης καθολικά αλυσοειδής, καθώς ο εντοπισμός του σε κάθε πρώτο ιδεώδες είναι πηλίκο ενός κανονικού δακτυλίου.

Ένας σχεδόν άριστος δακτύλιος που δεν είναι άριστος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το παράδειγμα του Ναγκάτα για έναν 2-διάστατο Νέτερ τοπικό δακτύλιο που είναι αλυσοειδής αλλά όχι καθολικά αλυσοειδής είναι ένας δακτύλιος G και είναι επίσης ένας δακτύλιος J-2, καθώς κάθε τοπικός δακτύλιος G είναι ένας δακτύλιος J-2 (Matsumura 1980, p.88, 260). Επομένως, πρόκειται για έναν οιονεί άριστο αλυσοειδή τοπικό δακτύλιο που δεν είναι άριστο.

Επίλυση των ιδιαζόντων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι οιονεί άριστοι δακτύλιοι συνδέονται στενά με το πρόβλημα της επίλυσης των ιδιαζόντων, και αυτό φαίνεται να ήταν το κίνητρο του Γκρόθεντιεκ^[3]^{pg 218} για τον ορισμό τους. Ο Γκρόθεντιεκ (1965) παρατήρησε ότι αν είναι δυνατόν να επιλυθούν οι ιδιομορφίες όλων των πλήρων ολοκληρωμένων τοπικών δακτυλίων Νέτερ, τότε είναι δυνατόν να επιλυθούν οι ιδιαζοντές όλων των μειωμένων οιονεί άριστων δακτυλίων. Ο Χιρονάκα (1964) το απέδειξε αυτό για όλους τους πλήρεις ολοκληρωτικούς Νέτερ τοπικούς δακτυλίους πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικής 0, γεγονός που συνεπάγεται το θεώρημά του ότι όλες οι ιδιομορφίες των άριστων σχημάτων πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικής 0 μπορούν να επιλυθούν. Αντίστροφα, αν είναι δυνατόν να επιλυθούν όλες οι ιδιομορφίες των φασμάτων όλων των ολοκληρωτικών πεπερασμένων αλγεβρών πάνω από έναν Νέτερ δακτύλιο R, τότε ο δακτύλιος R είναι οιονεί άριστος.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Alexandre Grothendieck, Jean Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique IV Publications Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), section 7
V.I. Danilov (2001), «Excellent ring», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=e/e036760
Hironaka, Heisuke (1964). «Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I». Annals of Mathematics 79 (1): 109–203. doi:10.2307/1970486. ISSN 0003-486X.
Hironaka, Heisuke (1964). «Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: II». Annals of Mathematics 79 (2): 205–326. doi:10.2307/1970547. ISSN 0003-486X.
Matsumura, Hideyuki (1980). «Chapter 13». Commutative algebra. Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-7026-9.