Χρήστης:Vaggelitsa08

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση


Παράγοντες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία άλγεβρα φον Νόιμαν N της οποίας το κέντρο αποτελείται μόνο από πολλαπλάσια της πράξης της ταυτότητας ονομάζεται παράγοντας. φον Νόιμαν (1949) έδειξε ότι κάθε φον Νόιμαν άλγεβρα σε διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ είναι ισόμορφη με ευθύ ολοκλήρωμα από παράγοντες. Αυτή η ανάλυση είναι ουσιαστικά μοναδική. Έτσι, το πρόβλημα της ταξινόμησης ισομορφισμού των τάξεων της άλγεβρας φον Νόιμαν σχετικά με διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ μπορεί να μειωθεί σε εκείνη της ταξινόμησης τάξεων σε ισομορφισμούς παραγόντων.

Murray & φον Νόιμαν (1936) έδειξε ότι κάθε παράγοντας έχει έναν από τους 3 τύπους, όπως περιγράφεται παρακάτω. Η ταξινόμηση τύπου μπορεί να επεκταθεί σε Χίλμπερτ άλγεβρες που δεν είναι παράγοντες, και μια φον Νόιμαν άλγεβρα είναι τύπου Χ, εάν μπορεί να αναλυθεί ως άμεσο ολοκλήρωμα του τύπου παραγόντων Χ? Για παράδειγμα, κάθε αντιμεταθετική φον Νόιμαν άλγεβρα έχει τύπου I1. Κάθε άλγεβρα φον Νόιμαν μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα των φον Νόιμαν άλγεβρες των τύπων I1. I1.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για να διαιρέσει τους παράγοντες σε κλάσεις που χρησιμοποιούνται μερικές φορές:


  • Ένας παράγοντας που ονομάζεται διακριτός (ή περιστασιακά εξημερωμένος) εάν έχει τύπου Ι, και συνεχής (ή περιστασιακά άγριος) αν έχει τύπο II ή III.
  • Ένας παράγοντας που ονομάζεται ημιπεπερασμένος εάν έχει τύπου Ι ή II, και καθαρά άπειρος αν έχει τύπου III.
  • Ένας παράγοντας που ονομάζεται πεπερασμένος εάν η προβολή 1 είναι πεπερασμένη και γνησίως άπειρος διαφορετικά. Παράγοντες των τύπων Ι και ΙΙ μπορεί να είναι είτε πεπερασμένοι είτε γνησίως άπειροι, αλλά και παράγοντες του τύπου III είναι πάντα γνησίως άπειροι.

Παράγοντες τύπου Ι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι 'τύπου Ι' αν υπάρχει μια ελάχιστη προβολή E ≠ 0,δηλαδή μια προβολή Ε, έτσι ώστε δεν υπάρχει άλλη προβολή F με 0 < F < Ε. Κάθε παράγοντας τύπου I είναι ισομορφικός στην φον Νόιμαν άλγεβρα όλων των φραγμένων τελεστών σε κάποιο χώρο Χίλμπερτ; Δεδομένου ότι υπάρχει ένας χώρος Χίλμπερτ για κάθε πληθικό αριθμό, οι κλάσεις ισομορφισμού των παραγόντων του τύπου Ι αντιστοιχούν ακριβώς στους πληθικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι πολλοί συγγραφείς θεωρούν τις φον Νόιμαν άλγεβρες μόνο σε διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ, είναι σύνηθες να καλέσει τους φραγμένους τελεστές σε ένα χώρο Χίλμπερτ πεπερασμένης διάστασης n παράγοντα τύπου Ι n και οι φραγμένοι τελεστές σε ένα διαχωρίσιμο απείρων διαστάσεων χώρο Χίλμπερτ, ένα παράγοντα τύπου Ι .

Παράγοντες τύπου ΙΙ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι τύπου ΙΙ αν δεν υπάρχουν ελάχιστες προβολές, αλλά υπάρχουν μη-μηδενικές πεπερασμένες προβολές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε προβολή Ε μπορεί να μειωθεί στο μισό, με την έννοια ότι υπάρχουν ισοδύναμες προβολές F και G, έτσι ώστε Ε =F+G. Εάν ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν παράγοντα τύπου II είναι πεπερασμένος, ο παράγοντας λέγεται ότι είναι του τύπου II 1; Σε αντίθετη περίπτωση, λέγεται ότι είναι του τύπου II . Οι καλύτερα κατανοητοί παράγοντες του τύπου II είναι υπερπεπερασμένος τύπου II1 παράγοντας και ο υπερπεπερασμένος τύπου II παράγοντας, βρέθηκε από Murray & φον Νόιμαν (1936). Αυτοί είναι οι μοναδικοί υπερπεπερασμένοι παραγοντες τύπου ΙΙ 1 και ΙΙ ; υπάρχει ένας ανυπολόγιστος αριθμός άλλων παραγόντων από αυτούς τους τύπους που αποτελούν αντικείμενο εντατικής μελέτης. Murray & φον Νόιμαν (1937) αποδείχθηκε το βασικό αποτέλεσμα ότι ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ 1 έχει μία μοναδική πεπερασμένη εγγράψιμη κατάσταση και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0,1].

Ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ έχει μοναδικό ημιπεπερασμένο ίχνος με αναγωγή, και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0, ∞]. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών λ έτσι ώστε να υπάρχει μια κλίμακα αυτομορφισμού και το ίχνος από ένα συντελεστή λ ονομάζεται βασική ομάδα του τύπου II παράγοντα.

Το τανυστικό γινόμενο ενός παράγοντα του τύπου II 1 και ενός άπειρου παράγοντα τύπου Ι έχει τον τύπο II και αντίστροφα κάθε παράγοντα του τύπου II μπορεί να κατασκευαστεί σαν αυτό. Η Βασική ομάδα τύπου II1 παράγοντα ορίζεται ως η θεμελιώδης μονάδα τανυστικού γινομένου της με το άπειρο (διαχωρισμένο) παράγοντα του τύπου Ι. Για πολλά χρόνια, ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα να βρει έναν παράγοντα τύπου II των οποίων η θεμελιώδη ομάδα δεν ήταν η ομάδα όλων των θετικών πραγματικών, αλλά Connes στη συνέχεια έδειξε ότι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από μία αριθμήσιμη διακριτή ομάδα με την ιδιοτητα Kazhdan του T τετριμμένη αναπαράσταση απομονώνεται στο δυΪκό χώρο, όπως SL (3,Ζ), έχει μια μετρήσιμη βασική ομάδα. Στη συνέχεια ο Sorin Popa έδειξε ότι η βασική ομάδα μπορεί να είναι τετριμμένη για ορισμένες ομάδες, συμπεριλαμβανομένης και της ημιευθές γινόμενο του Z2 από το SL(2,Z).

Ένα παράδειγμα ενός τύπου II 1 παράγοντας είναι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από ένα αριθμήσιμο άπειρο αριθμό διαφορετικών διακριτών ομάδων, έτσι ώστε κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας να είναι άπειρη. McDuff (1969) βρήκε μια οικογένεια αμέτρητες τέτοιες ομάδες με μη-ισομορφικές άλγεβρες ομάδες φον Νόιμαν, δείχνοντας έτσι την ύπαρξη πολλών διαφορετικών, αμέτρητων διαχωρίσιμων τύπου II1 παραγόντων.

Παράγοντες τύπου ΙΙΙ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τέλος, 'τύπου III' παράγοντες είναι παράγοντες που δεν περιέχουν μη μηδενικές πεπερασμένες προβολές καθόλου. Στην πρώτη εργασία τους οι Murray & φον Νόιμαν (1936) δεν ήταν σε θέση να αποφασίσουν κατά πόσον ή όχι υπήρχαν; τα πρώτα δείγματα βρέθηκαν αργότερα από φον Νόιμαν (1940). Δεδομένου ότι ο φραγμένος τελεστής είναι πάντα άπειρο σε αυτούς τους παράγοντες, που μερικές φορές ονομάζεται τύπου III κατά το παρελθόν, αλλά πρόσφατα αυτή η σημειογραφία έχει αντικατασταθεί από την παράσταση III λ, όπου λ είναι ένας πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0,1]. Πιο συγκεκριμένα, αν το φάσμα Connes (με μέτρο της ομάδας του) είναι 1, τότε ο συντελεστής είναι του τύπου III 0, αν το φάσμα Connes είναι όλες οι αναπόσπαστες δυνάμεις του λ για 0 < λ < 1, τότε ο τύπος είναι III λ, και αν το φάσμα Connes είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί τότε ο τύπος είναι III 1. (Το φάσμα Connes είναι μια κλειστή υποομάδα των θετικών πραγματικών, ώστε αυτοί να είναι οι μόνες δυνατότητες.) Το μόνο ίχνος σχετικά με τον τύπο III παράγοντες παίρνει την τιμή ∞ σε όλα τα μη-μηδενικά θετικά στοιχεία, καθώς και κάθε δύο μη μηδενικές προβολές είναι ισοδύναμες. κάποτε οι παράγοντες τύπου III θεωρήθηκαν δυσεπίλυτο αντικείμενο, αλλά θεωρία Tomita-Takesaki, έχει οδηγήσει σε μια καλή θεωρία δομής. Ειδικότερα, κάθε παράγοντας τύπου III μπορεί να γραφτεί σε έναν κανονικό τρόπο όπως η διασταυρούμενο προιόν παράγοντας του τύπου II και οι πραγματικοί αριθμοί.

The predual[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε φον Νόιμαν άλγεβρα Μ έχει predual M, που είναι ο χώρος Μπάνας όλων των εξαιρετικά ασθενώς συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στο Μ. Όπως υποδηλώνει το όνομα, Μ είναι (ως ένα χώρο Μπάνας) η δυΪκή του predual της. Η predual είναι μοναδικό με την έννοια ότι σε κάθε άλλο χώρο Μπάνας των οποίων είναι δυΪκή Μ είναι κανονικώς ισομορφικό στο M. Sakai (1971) έδειξε ότι η ύπαρξη μιας predual χαρακτηρίζει μεταξύ φον Νόιμαν αλγεβρες και C * άλγεβρες. Ο ορισμός της predual δίνεται παραπάνω φαίνεται να εξαρτάται από την επιλογή του χώρου Χίλμπερτ που Μ δρα πάνω , καθώς αυτό καθορίζει την υπερασθενή τοπολογία. Ωστόσο, η predual μπορεί επίσης να οριστεί χωρίς τη χρήση του χώρου Χίλμπερτ που πάνω ενεργεί το Μ ορίζοντας ότι είναι ο χώρος που παράγεται από όλα τα θετικά κανονικά γραμμικά συναρτησοειδή στο Μ. (Εδώ "κανονική" σημαίνει ότι διατηρεί το ελάχιστο άνω φράγμα όταν εφαρμόζεται σε αύξοντα δίκτυα των συζυγών τελεστών; ή ισοδύναμα σε αύξουσες ακολουθίες των προβολών.)

The predual M είναι ένας κλειστός υπόχωρος του δυϊκού M* (το οποίο αποτελείται από όλες τις νόρμες-συνεχή γραμμικά συναρτησιακά στο Μ), αλλά είναι γενικά μικρότερος. Η απόδειξη είναι ότι M (συνήθως) δεν είναι το ίδιο όπως M* είναι μη εποικοδομητικές και χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής σε ένα βασικό τρόπο; είναι πολύ δύσκολο να παρουσιάζουν σαφή στοιχεία της M* που δεν είναι στο M. Για παράδειγμα, με εξωτικά θετική γραμμική μορφή για την φον Νόιμαν άλγεβρα l(Z) δίνονται από ελεύθερα υπερφίλτρα; που αντιστοιχούν σε εξωτικούς *-ομομορφισμούς στο C και να περιγράφουν την Stone-Čech συμπαγοποίηση του Ζ.

παραδείγματα:

  1. Η predual της φον Νόιμαν άλγεβρα L(R) των ουσιαστικά φραγμένων συνάρτησεων στο R είναι ο χώρος Μπάνας L1(R) των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Το διπλό του L(R) είναι αυστηρά μεγαλύτερο του L1(R). Για παράδειγμα ένα συναρτησιοειδές στο L(R) που επεκτείνει το Dirac μέτρο δ0 σε ένα κλειστό υποχώρο φραγμένων συνεχών συναρτήσεων C0b(R) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνάρτηση στο L1(R). #The predual της φον Νόιμαν άλγεβρας B(H) από φραγμένους τελεστές σε χώρο Χίλμπερτ H είναι ο χώρος Μπάνας όλων των ίχνη κλάσεις τελεστών με το ίχνος νόρμα ||A||= Tr(|A|). Ο χώρος Μπάνας του ίχνους των κλάσεων τελεστών είναι η ίδια η διπλή του C *-άλγεβρα των συμπαγών τελεστών (η οποία δεν είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα).

Βάρη, καταστάσεις, και ίχνη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα βάρη και οι ειδικές περιπτώσεις τους οι καταστάσεις και τα ίχνη που συζητήθηκαν λεπτομερώς στην (Takesaki 1979).

  • Ένα βάρος ω σε μία φον Νόιμαν άλγεβρα είναι μία γραμμική απεικόνιση από το σύνολο των θετικών στοιχείων (εκείνα της μορφής a*a) στο [0,∞].
  • Ένα θετικό γραμμικό συναρτησοειδές είναι ένα βάρος με ω(1) πεπερασμένο (ή μάλλον η επέκταση του ω στο σύνολο άλγεβρα με γραμμικότητα).
  • Μία κατάσταση είναι ένα βάρος με ω(1) = 1.
  • Ένα ίχνος είναι ένα βάρος με ω(aa*) = ω(a*a) για όλα τα a.
  • Μία εγγράψιμη κατάσταση είναι ένα ίχνος με ω(1) = 1.

Κάθε παράγοντας έχει ένα ίχνος τέτοιο ώστε το ίχνος μιας μη μηδενικής προβολής είναι μη μηδενικό και το ίχνος μιας προβολής είναι άπειρο αν και μόνο αν, η προβολή είναι άπειρη. Ένα τέτοιο ίχνος είναι μοναδικό μέχρι την κλιμάκωση. Για τους παράγοντες που έχουν ή είναι πεπερασμένοι, δύο προβολές είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν το ίδιο ίχνος. Ο τύπος του παράγοντα μπορεί να διαβαστεί από τις πιθανές τιμές αυτής της ίχνος ως εξής:

  • Τύπος In: 0, x, 2x, ....,nx για μερικά θετικά x (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1/n or 1).
  • Τύπος I: 0, x, 2x, ....,∞ για μερικά θετικά x (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
  • Τύπος II1: [0,x] για μερικά θετικάx (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
  • Τύπος II: [0,∞].
  • Τύπος III: 0,∞.

Εάν μια άλγεβρα φον Νόιμαν δρα σε ένα χώρο Χίλμπερτ που περιέχει νόρμα 1 με διάνυσμα v, τότε το συναρτησοειδές a → (av,v) είναι μια κανονική κατάσταση. Η κατασκευή αυτή μπορεί να αντιστραφεί για να δώσει μία δράση σε ένα χώρο Χίλμπερτ από μια κανονική κατάσταση: αυτή είναι η GNS κατασκευή για κανονική κατάσταση.

πρότυπα πάνω σε έναν παράγοντα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λαμβάνοντας υπόψη έναν αφηρημένο διαχωρίσιμο παράγοντα, μπορεί κανείς να ζητήσει για μια ταξινόμηση των προτύπων της, δηλαδή τα διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ στους οποίους ενεργεί. Η απάντηση δίνεται ως εξής: κάθε τέτοιο πρότυπο H μπορεί να δοθεί μία Μ διάσταση dimΜ(H) (όχι η διάσταση τους ως ένα πολύπλοκο δίανυσμα χώρο) έτσι ώστε τα πρότυπα είναι ισομορφικά αν και μόνο αν έχουν την ίδια Μ διάσταση. Η Μ διάσταση είναι προσθετική, και ένα πρότυπο είναι ισόμορφο με ένα υποχώρο του άλλου προτύπου, αν και μόνο αν έχει μικρότερη η ίση Μ διάσταση .


Ένα πρότυπο καλείται τυπικό αν έχει ένα κυκλικό διάνυσμα διαχωρισμού. Κάθε παράγοντας έχει μια τυπική αναπαράσταση, η οποία είναι μοναδική μέχρι τον ισομορφισμό. Η τυπική αναπαράσταση έχει αντιγραμμικη ενέλιξη J έτσι ώστε JMJ = M′. Για πεπερασμένους παράγοντες, το τυπικό πρότυπο δίνεται από την GNS κατασκευή που εφαρμόζεται στη μοναδική κανονική tracial κατάσταση και η Μ διάσταση κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο έχει Μ διάσταση 1, ενώ για άπειρους παράγοντες το τυπικό πρότυπο είναι το πρ[οτυπο με Μ διάσταση ίση με ∞.

Οι πιθανές Μ-διαστάσεις των προτύπων δίνονται ως εξής:

  • Τύπου In (n πεπερασμένο): Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ..., ∞. Το τυπικό πρότυπο έχει M-διάσταση 1 (και πολύπλοκη διάσταση n2.)
  • Τύπου I Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0, 1, 2, 3, ..., ∞. Η τυπική αναπαράσταση των B(H) είναι HH; η M-διάστασή τους είναι ∞.
  • Τύπου II1: Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο να έχει Μ-διάσταση 1. Η Μ διάσταση επίσης ονομάζεται σταθερά σύζευξης του προτύπου Η.
  • Τύπου II: Η Μ-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Δεν υπάρχει γενικά κανένας κανονικός τρόπος για να ομαλοποιήσει; ο παράγοντας μπορεί να έχει εξωτερικό αυτομορφισμό πολλαπλασιάζοντας την Μ διάσταση με σταθερές. Η τυπική αναπαράσταση είναι το ένα με την Μ διάσταση ∞.
  • Τύπου III: Η Μ διάσταση μπορεί να είναι 0 ή ∞. Κάθε δύο μη μηδενικά πρότυπα είναι ισομορφικά, και όλα τα μη-μηδενικά πρότυπα είναι τυπικά.

Επιδεκτικές φον Νόιμαν άλγεβρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Connes (1976) και άλλοι απέδειξαν ότι οι ακόλουθες προϋποθέσεις για μια φον Νόιμαν άλγεβρα Μ διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ H είναι όλες ισοδύναμες:

  • M είναι υπερπεπερασμένο ή AFD ή περίπου πεπερασμένων διαστάσεων ή περίπου πεπερασμένο: Αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα περιέχει μια αύξουσα ακολουθία πεπερασμένων διαστάσεων υποάλγεβρας με πυκνή ένωση. (Προσοχή: ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν "υπερπεπερασμένο" σημαίνει "AFD και πεπερασμένο".)
  • M είναι επιδεκτικό: αυτό σημαίνει ότι το παραγώγιση του M τιμές σε ένα κανονικό διϋκό bimodule Μπάνας είναι όλα εσωτερικά.Πρότυπο:Clarify
  • M έχει την ιδιότητα P του Schwartz's: για κάθε φραγμένο τελεστή Τ στο Η ο αδύναμος τελεστής κλειστός κυρτό περίβλημα των στοιχείων uTu* περιέχει ένα στοιχείο αντιμεταθετικό με το M.
  • M είναι ημιδιακριτός: αυτό σημαίνει ότι η ταυτοτική απεικόνιση από Μ στο Μ είναι ένα σημειακό αδύναμο όριο εντελώς θετικών απεικονήσεων πεπερασμένου βαθμού.
  • M έχει την ιδιότητα E ή την Hakeda-Tomiyama επέκταση ιδιότητα: αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια προβολή της νόρμας 1 από φραγμένους τελεστές πάνω από Η στο Μ '.
  • M είναι αμφιμονότιμη: κάθε απολύτως θετική γραμμική απεικόνιση από οποιοδήποτε αυτόσυζυγή κλειστό υποχώρο που περιέχει 1 από κάθε μοναδιαία C *-άλγεβρα Α στο Μ μπορεί να επεκταθεί σε μια εντελώς θετική απεικόνιση από το A στο Μ.

Δεν υπάρχει γενικά αποδεκτός όρος για την κατηγορία αλγεβρών παραπάνω; Connes πρότεινε ότι επιδεκτικά θα πρέπει να είναι ο καθιερωμένος όρος.


Οι επιδεκτικοί παράγοντες έχουν ταξινομηθεί: υπάρχει ένα μοναδικό από κάθε ένα από τους τύπους In, I, II1, II, IIIλ, for 0 < λ ≤ 1, και αυτά του τύπου III0 αντιστοιχούν σε ορισμένες εργοδικές ροές. (Για τον τύπο III0 καλώντας αυτό μια ταξινόμηση είναι λίγο παραπλανητικό, δεδομένου ότι είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος για να χαρακτηρίσει τις αντίστοιχα εργοδικές ροές.) Αυτοί του τύπου Ι και II1 ταξινομήθηκαν από Murray & φον Νόιμαν (1943), και οι υπόλοιπες ταξινομήθηκαν από Connes (1976), εκτός από τον τύπο III1 υπόθεση η οποία ολοκληρώθηκε από τον Haagerup.

Όλοι οι επιδεκτικοί παράγοντες μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας το ομάδα μέτρου χώρος κατασκευής του Murray και φον Νόιμαν για ένα απλό εργοδικό μετασχηματισμό. Στην πραγματικότητα είναι ακριβώς οι παράγοντες που προκύπτουν ως εξωτερικό γινόμενο από ελεύθερες εργοδικές δράσεις του Z ή του Z/nZ για αβελιανές φον Νόιμαν άλγεβρες L(X). Τύπου I παράγοντες συμβαίνουν όταν ο χώρος μέτρου X είναι ατομικό και η δράση μεταβατική. Όταν Χ είναι διάχυτη ή μη ατομικό, είναι ισοδύναμη στο [0,1] ως ένας χώρος μέτρου. Παράγοντες τύπου ΙΙ συμβαίνουν όταν το Χ επιδέχεται ένα ισοδύναμη πεπερασμένη (II1) ή άπειρη (II) μέτρο, αναλλοίωτες στο πλαίσιο μιας δράσης της Ζ. Τύπου ΙΙΙ παράγοντες συμβαίνουν στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει αναλλοίωτο μέτρο, αλλά μόνο ένα αναλλοίωτο μέτρο τάξη: Οι παράγοντες αυτοί ονομάζονται παράγοντες Krieger.