Χρήστης:TexanTurretMechanic/Η αρχή του D'Alembert

Traité de dynamique του Jean Le Rond d'Alembert, 1743. Σε αυτό, ο Γάλλος λόγιος εξήγγειλε την αρχή της ποσότητας της κίνησης, γνωστή και ως «αρχή του D'Alembert».

 

Ζαν Ντ'Αλαμπέρ (1717-1783)

Η αρχή του D'Alembert, επίσης γνωστή ως η αρχή Lagrange-d'Alembert, είναι μια δήλωση των θεμελιωδών κλασικών νόμων της κίνησης. Πήρε το όνομά του από τον ανακάλυψή του, τον Γάλλο φυσικό και μαθηματικό Ζαν Ντ'Αλαμπέρ και τον Ιταλο-Γάλλο μαθηματικό Ζοσέφ Λαγκράνζ . Η αρχή του D'Alembert γενικεύει την αρχή των δυνατών έργων από στατικά σε δυναμικά συστήματα εισάγοντας δυνάμεις αδράνειας οι οποίες, όταν προστίθενται στις ασκούμενες δυνάμεις σε ένα σύστημα, καταλήγουν σε δυναμική ισορροπία .

Η αρχή περιορίζεται σε συστήματα στα οποία τα καθαρά δυνατά έργα των δυνάμεων δεσμών είναι μηδέν, όπως ο περιορισμός της κίνησης πάνω σε μία επιφάνεια (όπου δηλαδή η δύναμη είναι κάθετη στη κίνηση). Πρέπει επομένως να εξαιρέσουμε συστήματα στα οποία υπάρχουν δυνάμεις απόσβεσης (όπως η τριβή ολίσθησης) .

Η αρχή του D'Alembert είναι πιο γενική από την αρχή του Hamilton καθώς δεν περιορίζεται σε ολονομικούς περιορισμούς που εξαρτώνται μόνο από τις συντεταγμένες και τον χρόνο αλλά όχι από τις ταχύτητες.

Διατύπωση της αρχής

Σύμφωνα με την αρχή D'Alembert, κάθε σωματίδιο σε ένα σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία υπό την επίδραση της συνισταμένης των πραγματικών δυνάμεων και μιας συμβατικής, "αντίθετα ενεργούς δύναμη"

${\mathbf {f}}_{i}=-{\dot {\mathbf {p}}}_{i}=-{\dot {m}}_{i}{\mathbf {v}}_{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v}}}_{i}$

που ονομάζεται δύναμη αδράνειας. Ισοδύναμη διατύπωση είναι η εξής: Η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σωματίδιο είναι μηδέν, αν συμπεριλάβουμε και τη δύναμη αδράνειας. Η μαθηματική διατύπωση της αρχής είναι η εξής:

$$\sum _{i}({\mathbf {F}}_{i}-{\dot {\mathbf {p}}}_{i})\cdot \delta {\mathbf {r}}_{i}=0$$

όπου:

• $i$ ο δείκτης που αντιστοιχεί στο κάθε σωματίδιο του συστήματος
• $\mathbf {F} _{i}$ είναι η συνολική πραγματική δύναμη που εφαρμόζεται (εξαιρουμένων των δυνάμεων περιορισμού) στο $i$-στό σωματίδιο,
• $m_{i}$ είναι η μάζα του $i$-στού σωματιδίου,
• ${\dot {\mathbf {p}}}_{i}$ είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του $i$-στού σωματιδίου,
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ είναι η εικονική μετατόπιση του $i$-στού σωματιδίου, σύμφωνα με τους περιορισμούς.

Η τελεία πάνω από τις φυσικές ποσότητες δηλώνει την ολική χρονική παράγωγο της ποσότητας. Αυτή η μορφή της αρχής διατυπώθηκε αρχικά από τον Λαγκράνζ, όμως ονομάζεται αρχή του D'Alembert. Η αρχή αυτή είναι μία "απειροστική αρχή" και φαίνεται εκ πρώτης όψεως ανούσια, όμως μετατρέπει φορμαλιστικά ένα δυναμικό πρόβλημα σε ένα στατικό, και οδηγεί σε ουσιαστικότερες γενικεύσεις, όπως η αρχή του Χάμιλτον.

Παραγωγές

Περίπτωση χρονικά μεταβαλλόμενης μάζας

Η γενική διατύπωση της αρχής του D'Alembert αναφέρει «τις χρονικές παραγώγους των ορμών του συστήματος». Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η πρώτη φορά παράγωγος της ορμής είναι η δύναμη. Η ορμή του $i$-στού σωματιδίου είναι το γινόμενο της μάζας του και της ταχύτητάς του:

$$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$$

και η χρονική της παράγωγος είναι

$${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.$$

Η περίπτωση μεταβλητής μάζας είναι χρήσιμη σε εφαρμογές όπως το τύλιγμα ή ξετύλιγμα μίας αλυσίδας, όπου η μάζα της μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της κίνησης. Η αρχή του D'Alembert τότε γράφεται:

$$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Περίπτωση σταθερής μάζας

[[Κατηγορία:Αρχές]] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα]] [[Κατηγορία:Κλασική μηχανική]] [[Κατηγορία:Λαγκρανζιανή μηχανική]]