Αρχή του Χάμιλτον

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

Το φυσικό μέγεθος της δράσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:

, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και αi μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

Αρχή του Hamilton[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε2 ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε3, ε4 κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε2]), όταν το μέγεθος αλλάζει κατά τάξη ε ως:

Το ni είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος ai και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει , απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

Εξισώσεις Euler - Lagrange[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.
H Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: , όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: .
Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:

.

Το ανάπτυγμα της κατά Taylor δίνει:

Συνεπώς, έχουμε:

Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:

Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:

η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')