Χρήστης:MARIA DEDA/πρόχειρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
 Αυτή η σελίδα είναι το κύριο «πρόχειρο χρήστη» του MARIA DEDA. Ένα «πρόχειρο χρήστη» είναι υποσελίδα της προσωπικής σελίδας του χρήστη στη Βικιπαίδεια. Εξυπηρετεί ως χώρος πειραματισμών και ανάπτυξης σελίδων και δεν είναι εγκυκλοπαιδικό λήμμα.
Επεξεργαστείτε ή δημιουργήστε το δικό σας πρόχειρο εδώ ή κάνετε δοκιμές στο κοινόχρηστο Πρόχειρο Βικιπαίδειας.

Εκπαίδευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Bar chart; see description in body text
Percentage responses over time[1]

Το θέμα της ισοτιμίας του μηδέν συχνά αντιμετωπίζεται στα δύο ή τρία πρώτα χρόνια της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, όπως η έννοια των ζυγών και μονών αριθμών εισάγεται και να αναπτύσσεται.[2]

Γνώσεις των μαθητών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το διάγραμμα στα δεξιά[1] απεικονίζει τις πεποιθήσεις των παιδιών για την ισοτιμία του μηδενός, καθώς προχωρούν από 1 χρονών to 6 χρονών του Αγγλικό εκπαιδευτικό σύστημα. Τα στοιχεία προέρχονται από τον Len Frobisher, ο οποίος πραγματοποίησε την έρευνά του σε ένα ζευγάρι Άγγλων μαθητών. Ο Φρόμπισερ ενδιαφέρθηκε για το πώς η γνώση της μονοψήφιας ισοτιμίας μεταφράζεται σε γνώση των πολλαπλών ψηφίων ισοτιμίας, και το στοιχείο μηδέν έχει περίοπτη θέση στα αποτελέσματα.[3]

Σε μια πρώτη έρευνα περίπου 400 παιδιών επτά ετών , το 45% επέλεξε άρτιο από περιττό, όταν ρωτήθηκε για την ισοτιμία του μηδενός.[4] Μια έρευνα προσφέρει περισσότερες επιλογές: κανένα, και τα δύο και δεν γνωρίζω. Αυτή τη φορά, ο αριθμός των παιδιών στην ίδια ηλικία για τον εντοπισμό του μηδέν έπεσε, ακόμη και στο 32%.[5] Η επιτυχία στην απόφαση ότι το μηδέν είναι άρτιος αρχικά εκτοξεύει στη συνέχεια τα επίπεδα από περίπου 50% από 3 ως 6 ετών.[6] Για σύγκριση, το πιο εύκολο έργο, προσδιορίζοντας την ισοτιμία ενός μονοψήφιου αριθμού, τα επίπεδα ανεβαίνουν σε περίπου 85% επιτυχία.[7]

Σε συνεντεύξεις, ο Φρόμπισερ προκάλεσε το σκεπτικό των μαθητών. Ένα πεντάχρονο αποφάσισε ότι το μηδέν ήταν ζυγό επειδή βρέθηκε στο 2 φορές πίνακα. Ένα ζευγάρι τεσσάρων ετών συνειδητοποίησε ότι το μηδέν μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Ένα άλλο τεσσάρων ετών αιτιολόγησε ο, τι "1 είναι περιττό και αν πάω κάτω αυτό είναι άρτιο."[8] Οι συνεντεύξεις αποκάλυψαν, επίσης, τις παρερμηνείες πίσω από τις λανθασμένες απαντήσεις. Ένα παιδάκι δύο ετών ήταν "αρκετά πεπεισμένο" ότι ήταν περιττό το μηδέν, με το σκεπτικό ότι «είναι ο πρώτος αριθμός που μετράνε".[9] Ένα τετράχρονο αναφέρεται στο 0 ως "τίποτα" και σκέφτηκε ότι δεν ήταν ούτε περιττό ούτε άρτιο, αφού «δεν είναι καν ένας αριθμός".[10] Σε μια άλλη μελέτη, η Annie Keith παρατηρεί μια κατηγορία 15 Β 'τάξης μαθητών που έπεισε ο ένας τον άλλον ότι το μηδέν ήταν ένας ζυγός αριθμός βασιζόμενοι σε άρτια-περιττή εναλλαγή και στη πιθανότητα της διάσπασης μιας ομάδας μηδενικών πραγμάτων σε δύο ίσες ομάδες.[11]

Περισσότερες σε βάθος έρευνες διεξήχθησαν από τους Esther Levenson, Pessia Tsamir, και η Dina Tirosh, που πήραν συνέντευξη από ένα ζευγάρι μαθητών έκτης τάξης οι οποίοι είχαν μεγάλο βαθμό στα μαθηματικά τους. Ένας μαθητής προτίμησε αφαιρετική εξήγηση στους μαθηματικούς ισχυρισμούς, ενώ ο δεύτερος προτίμησε πρακτικά παραδείγματα. Και δύο οι μαθητές αρχικά πίστευαν ότι το 0 δεν ήταν ούτε άρτιος ούτε περιττός, για διαφορετικούς λόγους. Ο Levenson. έδειξε πως ο συλλογισμός των μαθητών αντικατοπτρίζεται στις έννοιες του μηδενός και της διαίρεσης.[12]

Claims made by students[13]
Zero is not even or odd.
Zero could be even.
Zero is not odd.
Zero has to be an even.
Zero is not an even number.
Zero is always going to be an even number.
Zero is not always going to be an even number.
Zero is even.
Zero is special.

Deborah Loewenberg Ball ανέλυσε τις ιδέες ενός τρίτης τάξης μαθητή για ζυγούς και μονούς αριθμούς και το μηδέν, που μόλις είχε συζητήσει με μια ομάδα της τετάρτης τάξης. Οι μαθητές συζήτησαν την ισοτιμία του μηδενός, τους κανόνες για άρτιους αριθμούς, και πώς γίνεται στα μαθηματικά. Οι ισχυρισμοί σχετικά με μηδέν πήραν πολλές μορφές, όπως φαίνεται στον πίνακα στα δεξιά.[13] Η Deborah Ball και οι συνεργάτες της υποστηρίζουν ότι το επεισόδιο διαμαρτυρίας έδειξε πώς οι μαθητές μπορούν να "κάνουν τα μαθηματικά στο σχολείο», σε αντίθεση με την συνήθη μείωση της πειθαρχίας στη μηχανική λύση των ασκήσεων.[14]

Ένα από τα θέματα στην ερευνητική βιβλιογραφία είναι η ένταση μεταξύ μαθητών concept images of parity and their concept definitions.[15] Ο Levenson κ κάποιοι βαθμοφόροι της έκτης δημοτικού όρισαν τους άρτιους ως πολλαπλάσια του 2 ή αριθμούς που διαιρούνται με το 2, αλλά δεν ήταν αρχικά σε θέση να εφαρμόσουν αυτόν τον ορισμό στο μηδέν, επειδή δεν ήταν σίγουροι για το πώς να πολλαπλασιάσουν ή να διαιρέσουν το μηδέν με το 2. Η συνέντευξη τελικά τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι το μηδέν ήταν άρτιος αν και οι μαθητές ακολούθησαν διαφορετικές διαδρομές σε αυτό το συμπέρασμα, με βάση ένα συνδυασμό εικόνων, ορισμών, πρακτικών εξηγήσεων και αφηρημένων εξηγήσεων. Σε μια άλλη μελέτη, ο David Dickerson και Damien Pitman εξέτασαν τη χρήση των ορισμών από πέντε προηγμένα προπτυχιακό μαθηματικά μείζονα s. Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές ήταν σε μεγάλο βαθμό σε θέση να εφαρμόσουν τον ορισμό της "άρτιας" στο μηδέν, αλλά δεν είχαν ακόμη πεισθεί από αυτήν την αιτιολογία, δεδομένου ότι ερχόταν σε σύγκρουση με την έννοια τις εικόνες τους.[16]

Γνώσεις των εκπαιδευτικών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ερευνητές της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο του Michigan έχουν συμπεριλάβει την αληθινή ή ψεύτικη προτροπή ο, τι το "0 είναι άρτιος αριθμός" σε μια βάση δεδομένων περισσότερες από 250 ερωτήσεις που έχουν σχεδιαστεί για τη μέτρηση της γνώσης του περιεχομένου των εκπαιδευτικών ». Γι 'αυτούς, το ερώτημα αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα «κοινή γνώση ... που κάθε μορφωμένος ενήλικος πρέπει να έχει", και είναι «ιδεολογικά ουδέτερη" στο ότι οι απαντήσεις δεν διαφέρουν μεταξύ των παραδοσιακή και της μαθηματικής μεταρρύθμισης . Σε μια μελέτη του 2000-2004 700 εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας στις Ηνωμένες Πολιτείες, η συνολική απόδοση σε αυτά τα ερωτήματα προέβλεψε σημαντικά σε βελτιώσεις των μαθητών τυποποιημένη δοκιμή στις βαθμολογίες μετά τη λήψη των εκπαιδευτικών κατηγοριών.[17] Σε μια μελέτη σε βάθος του 2008, οι ερευνητές βρήκαν ένα σχολείο όπου όλοι οι εκπαιδευτικοί θεωρούσαν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε περιττός ούτε ζυγός, συμπεριλαμβανομένου ενός καθηγητή, ο οποίος ήταν υποδειγματικός από όλα τα άλλα μέτρα. Η παρανόηση είχε εξαπλωθεί από τον μαθηματικό στην κατασκευή τους.[18]

Είναι αβέβαιο πόσες εκπαιδευτικές παρανοήσεις σχετικά με το μηδέν υπήρξαν. Μελέτες του Πανεπιστημίου του Michigan δεν δημοσιεύουν στοιχεία για τα επιμέρους ζητήματα. Η Betty Lichtenberg, η οποία ήταν αναπληρώτρια καθηγήτρια της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Φλόριντα, σε μια μελέτη του 1972 ανέφερε ότι όταν σε μια ομάδα των μελλοντικών δασκάλων δημοτικού δόθηκε μια αληθινή ή ψευδή δοκιμή, συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου "Μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός ", βρήκαν ότι πρόκειται για ένα« δύσκολο θέμα », με περίπου τα δύο τρίτα να έχουν απαντήσει" Λάθος ".[19]

Συνέπειες στη διδασκαλία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από μαθηματικής απόψεως, αποδεικνύοντας ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι ένα απλό θέμα της εφαρμογής του ορισμού, αλλά απαιτείται περισσότερη επεξήγηση στο πλαίσιο της εκπαίδευσης. Ένα θέμα αφορά τα θεμέλια της απόδειξης για τον ορισμό του "άρτιου" ως "ακέραιο πολλαπλάσιο του 2", δεν είναι πάντα κατάλληλα. Ένας μαθητής κατά τα πρώτα έτη της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν μπορεί ακόμα να έχει μάθει τι σημαίνει "ακέραιος" ή "πολλαπλάσιο", πολύ λιγότερο πώς να πολλαπλασιάζονται με το 0.[20] Επιπλέον, δηλώνοντας έναν ορισμό της ισότητας για όλους τους ακέραιους μπορεί να φαίνεται σαν μια αυθαίρετη εννοιολογική συντόμευση αν μόνο οι ζυγοί αριθμοί έχουν ερευνηθεί μέχρι στιγμής ο,τι είναι θετικοί. Μπορεί να βοηθήσει ότι η έννοια αριθμός για να συμπεριλάβει το μηδέν από τους θετικούς ακέραιους αριθμούς και τους αρνητικούς ακεραίους αριθμούς, από τις ιδιότητες αριθμών, όπως η ισοτιμία επεκτείνεται και σε ένα προβληματικό τρόπο.[21]

Αριθμητική γνώση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line
Statistical analysis of experimental data, showing separation of 0. In this smallest space analysis, only the clustering of data is meaningful; the axes are arbitrary.[22]

Οι ενήλικοι που πιστεύουν ότι το μηδέν είναι άρτιος αριθμός καταφέρνουν, ωστόσο, να είναι εξοικειωμένοι με τη σκέψη τους καθαυτή ότι είναι άρτιος, έτσι ώστε να επιβραδύνουν αρκετά το χρόνο αντίδρασης σε ένα πείραμα. Stanislas Dehaene, πρωτοπόρος στον τομέα της αριθμητικής νόησης οδήγησε μια σειρά από τέτοια πειράματα στις αρχές του 1990. Ένα ψηφίο ή αριθμός έχει αναβαθμιστεί με την οθόνη και ένα υπολογιστή να καταγράφει το χρόνο που χρειάζεται να πατήσει ένα από τα δύο πλήκτρα για να προσδιορίσει τον αριθμό ως μονό ή ζυγό. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι για το 0 ήταν βραδύτερη από ο, τι για την επεξεργασία άλλων ζυγών από τους αριθμούς. Σε μερικές παραλλαγές του πειράματος διαπίστωσαν καθυστερήσεις για διάστημα 60χιλιοστό του δευτερολέπτου ή περίπου 10% του μέσου χρόνου αντίδρασης-μια μικρή διαφορά, αλλά σημαντική.[23]

Τα πειράματα του Dehaene δεν έχουν σχεδιαστεί ειδικά για την διερεύνηση του 0, αλλά για να συγκρίνουν ανταγωνιστικά μοντέλα για το πώς η πληροφορία της ισοτιμίας επεξεργάζεται και εξάγεται. Το πιο συγκεκριμένο μοντέλο, η ψυχική υπόθεση υπολογισμού, υποδηλώνει ότι η αντίδραση για το 0 πρέπει να είναι γρήγορη, αφού το 0 είναι ένας μικρός αριθμός, και είναι εύκολο να υπολογιστεί 0 × 2 = 0. (κάποιοι γνωρίζουν να υπολογίζουν και να εμφανίζουν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με το μηδέν ταχύτερα από τον πολλαπλασιασμό των μη μηδενικών αριθμών, παρόλο που είναι βραδύτερο να εξακριβωθούν αποτελέσματα όπως 2 × 0 = 0.) Τα αποτελέσματα των πειραμάτων έδειξαν ότι κάτι πολύ διαφορετικό συνέβαινε: η πληροφορία της ισοτιμίας να ανακαλούνται από τη μνήμη, μαζί με ένα σύμπλεγμα σχετικών ιδιοτήτων, όπως είναι προνόμιο ή δύναμη του δύο. Τόσο η ακολουθία των αρμοδιοτήτων των δύο και η ακολουθία θετικών αριθμών, ακόμη και 2, 4, 6, 8, ... είναι καλά διακρίνονται ψυχική κατηγορίες τα μέλη της οποίας είναι ακόμη σε επίπεδο πρωτοτύπου. Zero ανήκει ούτε στην λίστα, ως εκ τούτου, η βραδύτερη απαντήσεις.[24]

Επαναλαμβανόμενα πειράματα που έχουν δείξει μια καθυστέρηση στο μηδέν, για τα άτομα σε ποικιλία ηλικιών και εθνικών με γλωσσικό υπόβαθρο , όταν έρχονται αντιμέτωποι με την αριθμητική αριθμητικό μορφή, διατυπώνονται και γράφονται σε ένα είδωλο. Η ομάδα του Dehaene βρήκε ένα παράγοντα διαφοροποίησης: τις μαθηματικές γνώσεις. Σε ένα από τα πειράματά τους, οι μαθητές στην École Normale Supérieure χωρίστηκαν σε δύο ομάδες: εκείνους με λογοτεχνικές σπουδές και αυτών που σπουδάζουν μαθηματικά, φυσική, ή βιολογία. Η επιβράδυνση στο 0 «βρέθηκε ουσιαστικά στη [λογοτεχνική] ομάδα", και στην πραγματικότητα, "πριν από το πείραμα, κάποια άτομα δεν ήταν σίγουρα αν το 0 ήταν μονός ή ζυγός και έπρεπε να θυμίζει τον μαθηματικό ορισμό".[25]

Αυτή η ισχυρή εξάρτηση από την εξοικείωση υπονομεύει εκ νέου την ψυχική υπόθεση υπολογισμού.[26] Το αποτέλεσμα δείχνει επίσης ότι είναι σκόπιμο να περιληφθεί το μηδέν σε πειράματα για το τι σχέση έχουν άρτιοι και μονοί αριθμοί ως ομάδα. Μία μελέτη αναφέρει, "Οι περισσότεροι ερευνητές φαίνεται να συμφωνούν ότι το μηδέν δεν είναι ένας τυπικός, άρτιος αριθμό και δεν θα πρέπει να διερευνηθεί ως μέρος της ψυχικής γραμμής για τους αριθμούς."[27]

Καθημερινές Καταστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμένα από τα συμφραζόμενα, όπου η ισοτιμία του μηδενός κάνει μια εμφάνιση είναι καθαρά ρητορικά. Το θέμα παρέχει υλικό για το Διαδίκτυο σε πίνακες μηνυμάτων και να ζητάει από τους ειδικούς ιστοσελίδες.[28] Linguist Joseph Grimes αναφέρει ότι αν ρωτήσεις αν "Είναι το μηδέν ζυγός αριθμός" στα παντρεμένα ζευγάρια είναι ένας καλός τρόπος για να τους κάνεις να διαφωνήσουν.[29] Οι άνθρωποι που πιστεύουν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός μπορούν να χρησιμοποιήσουν την ισοτιμία του μηδενός ως απόδειξη ότι κάθε κανόνας έχει ένα αντιπαράδειγμα,[30] ή σαν ένα παράδειγμα μιας ερώτησης τέχνασμα.[31]

Γύρω στο έτος 2000, τα μέσα μαζικής ενημέρωσης σημείωσαν ένα ασυνήθιστο ζεύγος ορόσημο: "19/11/1999" ήταν η τελευταία ημερολογιακή ημέρα που θα συμβεί για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα η οποία αποτελείται από όλους τους μονούς αριθμούς , και ότι "η 02/02/2000" ήταν η πρώτη άρτια ημέρα σε ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα.[32] Since these results make use of 0 being even, some readers disagreed with the idea.[33]

Στην τυποποιημένη δοκιμή, αν μια ερώτηση ρωτά για τη συμπεριφορά του άρτιου με τους αριθμούς, μπορεί να είναι απαραίτητο να έχετε κατά νου ότι το μηδέν είναι άρτιος.[34] Επίσημες δημοσιεύσεις σχετικά με τις GMAT και GRE δοκιμές δηλώνουν ότι είναι άρτιος το 0.[35]

Η ισοτιμία του μηδενός σχετίζεται με περιττό-άρτιο με δελτίο, στο οποίο μπορούν να οδηγούν αυτοκίνητα ή να αγοράσετε βενζίνη σε εναλλασσόμενες ημέρες, σύμφωνα με την ισοτιμία του τελευταίου ψηφίου της πινακίδας τους. Το ήμισυ των αριθμών σε μια δεδομένη τελική σειρά σε 0, 2, 4, 6, 8 και το άλλο μισό σε 1, 3, 5, 7, 9, οπότε είναι λογικό να περιλαμβάνει το 0 με τους άλλους άρτιους αριθμούς. Ωστόσο, το 1977, ένα σύστημα του Παρισιού οδήγησε σε σύγχυση σχετικά με μια περίεργη μόνο μέρα, καθώς και η αστυνομία αποφεύγει την επιβολή προστίμων στους οδηγούς των οποίων πινακίδες τελειώνουν στο 0, επειδή δεν ήξεραν αν ήταν άρτιος αριθμός.[36] Για να αποφευχθεί η σύγχυση, η σχετική νομοθεσία προβλέπει ότι μερικές φορές το μηδέν είναι άρτιος. Οι εν λόγω νόμοι έχουν περάσει στην Νέα Νότια Ουαλία[37] και στην Maryland.[38]

Στα σκάφη του Ναυτικού των ΗΠΑ, τα ζυγά βρίσκονται στην λιμάνι πλευρά, αλλά το μηδέν αποκλειστικά εκεί που τέμνουν την κεντρική γραμμή. Δηλαδή, οι αριθμοί διαβάζονται 6-4-2-0-1-3-5 από το λιμάνι προς τα δεξιά ..[39] Στο παιχνίδι της ρουλέτας, ο αριθμός 0 δεν μετρά ως μονό ή ζυγό, δίνοντας στο καζίνο ένα πλεονέκτημα σε τέτοια στοιχήματα.[40] Ομοίως, η ισοτιμία του μηδενός μπορεί να επηρεάσει τις επιδόσεις σε prop bet, όταν η έκβαση εξαρτάται από το αν κάποια τυχαία στιγμή ο αριθμός είναι μονός ή ζυγός, και ότι θα καταλήξει να είναι μηδέν.[41]

Το παιχνίδι του "[μονά-ζυγά]]" επηρεάζεται επίσης: αν και οι δύο παίκτες δείχνουν μηδέν δάκτυλα, ο συνολικός αριθμός των δακτύλων είναι μηδέν, έτσι ώστε ο παίκτης κερδίζει.[42] Ένα εγχειρίδιο εκπαιδευτικών προτείνει αυτό το παιχνίδι ως ένα τρόπο για να εισάγουν τα παιδιά στην ιδέα ότι το 0 είναι διαιρετό από το 2.[43]

  1. ↑ 1,0 1,1 Frobisher 1999, σελ. 41
  2. ↑ This is the timeframe in United States, Canada, Great Britain, Australia, and Israel; see Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 85).
  3. ↑ Frobisher 1999, σελίδες 31 (Introduction); 40–41 (The number zero); 48 (Implications for teaching)
  4. ↑ Frobisher 1999, σελίδες 37, 40, 42; results are from the survey conducted in the mid-summer term of 1992.
  5. ↑ Frobisher 1999, σελ. 41 "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"
  6. ↑ Frobisher 1999, σελ. 41 "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."
  7. ↑ Frobisher 1999, σελίδες 40–42, 47; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.
  8. ↑ Frobisher 1999, σελ. 41, attributed to "Jonathan"
  9. ↑ Frobisher 1999, σελ. 41, attributed to "Joseph"
  10. ↑ Frobisher 1999, σελ. 41,, attributed to "Richard"
  11. ↑ Keith 2006, σελίδες 35–68 "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"
  12. ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, σελίδες 83–95
  13. ↑ 13,0 13,1 Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 27, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."
  14. ↑ Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 16.
  15. ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh 2007; Dickerson & Pitman 2012
  16. ↑ Dickerson & Pitman 2012.
  17. ↑ Ball, Hill & Bass 2005, σελίδες 14–16
  18. ↑ Hill και άλλοι 2008, σελίδες 446–447.
  19. ↑ Lichtenberg 1972, σελ. 535
  20. ↑ Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 15. See also Ball's keynote for further discussion of appropriate definitions.
  21. ↑ As concluded by Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 93), referencing Freudenthal (1983, p. 460)
  22. ↑ Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 851): "It can also be seen that zero strongly differs from all other numbers regardless of whether it is responded to with the left or the right hand. (See the line that separates zero from the other numbers.)"
  23. ↑ See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux (1993), and summary by Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 837).
  24. ↑ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελίδες 374–376
  25. ↑ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελίδες 376–377
  26. ↑ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελ. 376 "In some intuitive sense, the notion of parity is familiar only for numbers larger than 2. Indeed, before the experiment, some L subjects were unsure whether 0 was odd or even and had to be reminded of the mathematical definition. The evidence, in brief, suggests that instead of being calculated on the fly by using a criterion of divisibility by 2, parity information is retrieved from memory together with a number of other semantic properties ... If a semantic memory is accessed in parity judgments, then interindividual differences should be found depending on the familiarity of the subjects with number concepts."
  27. ↑ Nuerk, Iversen & Willmes 2004, σελίδες 838, 860–861
  28. ↑ The Math Forum participants 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999; Doctor Rick 2001
  29. ↑ Grimes 1975, σελ. 156 "...one can pose the following questions to married couples of his acquaintance: (1) Is zero an even number? ... Many couples disagree..."
  30. ↑ Wilden & Hammer 1987, σελ. 104
  31. ↑ Snow 2001; Morgan 2001
  32. ↑ Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
  33. ↑ Sones & Sones 2002 "It follows that zero is even, and that 2/20/2000 nicely cracks the puzzle. Yet it's always surprising how much people are bothered by calling zero even..."; Column 8 readers 2006a "'...according to mathematicians, the number zero, along with negative numbers and fractions, is neither even nor odd,' writes Etan..."; Column 8 readers 2006b "'I agree that zero is even, but is Professor Bunder wise to 'prove' it by stating that 0 = 2 x 0? By that logic (from a PhD in mathematical logic, no less), as 0 = 1 x 0, it's also odd!' The prof will dispute this and, logically, he has a sound basis for doing so, but we may be wearing this topic a little thin ..."
  34. ↑ Kaplan Staff 2004, σελ. 227
  35. ↑ Graduate Management Admission Council 2005, σελίδες 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, σελ. 1
  36. ↑ Arsham 2002; The quote is attributed to the heute broadcast of October 1, 1977. Arsham's account is repeated by Crumpacker (2007, p. 165).
  37. ↑ Sones & Sones 2002 "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"
  38. ↑ A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from Department of Legislative Reference (1974), Laws of the State of Maryland, Volume 2, σελ. 3236, http://books.google.com/books?q=%22ham+radio+operator+plates.+Zero+is+an+even+number%22, ανακτήθηκε στις 2 June 2013 
  39. ↑ Cutler 2008, σελίδες 237–238
  40. ↑ Brisman 2004, σελ. 153
  41. ↑ Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
  42. ↑ Diagram Group 1983, σελ. 213
  43. ↑ Baroody & Coslick 1998, σελ. 1.33
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Χρήστης:MARIA_DEDA/πρόχειρο&oldid=4728314"