Χρήστης:Evanapos/πρόχειρο

Στα Μαθηματικά μία von Neumann άλγεβρα ή W*-άλγεβρα είναι μία *-άλγεβρα φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Hilbert που  είναι κλειστός στην ασθενή τοπολογία τελεστών και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή. Είχαν αρχικά εισαχθεί από τον John von Neumann υποκινούμενοι από τη μελέτη του στους μοναδιαίους τελεστές, στις αναπαραστάσεις ομάδας, στην εργοδική θεωρία και στη κβαντική μηχανική. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημά του δείχνει ότι ο αναλυτικός ορισμός είναι ισοδύναμος με ένα καθαρά αλγεβρικό ορισμό ως άλγεβρα συμμετριών.

Δυο βασικά παραδείγματα των von Neumann αλγεβρών είναι τα ακόλουθα.Ο δακτύλιος L∞(R) των ουσιωδώς φραγμένων μετρήσιμων συναρτήσεων στο πραγματικό άξονα είναι μια αντιμεταθετική von Neumann άλγεβρα, η οποία ενεργεί με σημειακό πολλαπλασιασμό στο χώρο Hilbert L2(R) των τετραγωνικών ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η άλγεβρα Β(Η) όλων των φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Hilbet H είναι μια von Newmann άλγεβρα μη-αντιμεταθετική αν ο χώρος Hilbert έχει διάσταση τουλάχιστον 2.

Οι von Neumann άλγεβρες μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον von Neumann (1929) ; αυτός και ο Francis Murray ανέπτυξαν τη βασική θεωρία, σύμφωνα με το αρχικό όνομα των δακτυλίων των τελεστών, σε μία σειρά από εργασίες που γράφτηκαν στην δεκαετία του 1930 και του 1940 ( F.J. Murray & J. von Neumann 1938,1940,1943,1949) και επανεκδόθηκαν στα άπαντα του  von Neumann (1961).

Οι αρχικές αναφορές του von Neumann μπορούν να βρεθούν σε διαδικτυακές σημειώσεις του Jones (2003) και του Wassermann (1991) και στα βιβλία των Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) και Sakai (1971). Η τρίτομη μελέτη του Takesaki (1979) μια εγκυκλοπεδική αναφορά της θεωρίας. Το βιβλίο του Connes (1994) ασχολείται με πιο επιτηδευμένα θέματα.

Ορισμοί

Υπάρχουν τρεις κοινοί τρόποι για να καθορίσουν von Neumann άλγεβρες.

Ο πρώτος και πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να τις ορίσουμε ως ασθενείς κλειστές *-άλγεβρες φραγμένων τελεστών (σε ένα χώρο Hilbert) που περιέχει τον ταυτοτικό. Σε αυτό τον ορισμό η ασθενής τοπολογία (τελεστών) μπορεί να αντικατασταθεί από πολλές άλλες κοινές τοπολογίες συμπεριλαμβανομένων των ισχυρών, υπερισχυρών η υπερασθενών τοπολογιών τελεστή. Οι *-άλγεβρες των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστές σε τοπολογία νόρμας είναι οι C*-άλγεβρες, έτσι πιο συγκεκριμένα κάθε von Neumann άλγεβρα είναι μια C*-άλγεβρα. 

Ο δεύτερος ορισμός είναι ότι μια von Neumann άλγεβρα είναι ένα υποσύνολο των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστοί σε * και ίσοι με τη διπλή τους αντιμετάθεση, η ισοδύναμα η αντιμετάθεση με κάποια υποσύνολα κλειστά σε *. Το von Neumann διπλό αντιμεταθετικό θεώρημα(von Neumann 1929) λέει ότι οι 2 πρώτοι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Οι δυο πρώτοι ορισμοί περιγράφουν μια von Neumann άλγεβρα συγκεκριμένα ως ένα σύνολο τελεστών που ενεργούν σε ένα συγκεκριμένο χώρο Hilbert. Sakai (1971) έδειξε ότι οι von Neumann άλγεβρες μπορούν επίσης να οριστούν αφηρημένα ως C^*-άλγεβρες που έχουν predual; με άλλα λόγια η von Neumann άλγεβρα, που θεωρείται ως χώρος Banach, είναι δευτερεύουσα ενός άλλου χώρου Banach που λέγεται predual.Το predual μιας von Neumann άλγεβρας είναι στη πραγματικότητα μοναδικός ισομορφισμός. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο von Neumann άλγεβρα για τις άλγεβρες που ενεργούν σε ένα χώρο Hilbert και W^*-άλγεβρα για την αφηρημένη έννοια, έτσι μια von Neumann άλγεβρα είναι μια W^*-άλγεβρα μαζί με ένα χώρο Hilbert και μια κατάλληλη πιστή μοναδιαία δράση στο χώρο Hilbert.Οι συγκεκριμένοι και αφηρημένοι ορισμοί στην von Neumann άλγεβρα είναι παρόμοιοι με τους συγκεκριμένους και αφηρημένους ορισμούς της C^*-άλγεβρας, η οποία μπορεί να ορισθεί είτε ως κλειστή σε νόρμα *-άλγεβρες τελεστών σε χώρο Hilbert, ή σε Banach *-άλγεβρες τέτοιο ώστε ||αα*||=||α||||α*||.

Ορολογία

Μέρος της ορολογίας στη θεωρία άλγεβρας του φον Νόιμαν μπορεί να προκαλέσει σύγχυση, και οι όροι συνήθως έχουν διαφορετική σημασία έξω από τη θεωρία αυτή.

• Ο παράγοντας είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα με τετριμμένο κέντρο, δηλαδή ένα κέντρο που περιέχει μόνο βαθμωτούς τελεστές.
• Μια πεπερασμένη φον Νόιμαν άλγεβρα είναι αυτή η οποία είναι η άμεση ολοκλήρωση παραγόντων.Ομοίως κατάλληλες άπειρες φον Νόιμαν άλγεβρες είναι η άμεση ολοκλήρωση κατάλληλων άπειρων παραγόντων.
• Μια φον Νόιμαν άλγεβρα που δρά σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ λέγεται διαχωρίσιμη.Σημειώστε ότι αυτές οι άλγεβρες είναι σπάνια διαχωρίσιμες σε μια τοπολογία νόρμας.
• Η φον Νόιμαν άλγεβρα που παράγεται από ένα σύνολο φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ είναι η μικρότερη φον Νόιμαν άλγεβρα που περιέχει όλους αυτούς τους τελεστές.
• Το τανυστικό γινόμενο δυο φον Νόιμαν αλγεβρών που δρουν σε δυο χώρους Χίλμπερτ ορίζεται να είναι η φον Νόιμαν άλγεβρα που παράγεται από το αλγεβρικό τανυστικό γινόμενό τους, θεωρείται ως τελεστές σε ένα Χίλμπερτ χώρο με τανυστικό γινόμενο, των χώρων Χίλμπερτ.
  

Ξεχνώντας τη τοπολογία σε μια φον Νόιμαν άλγεβρα μπορούμε να τη θεωρήσουμε ως (μοναδιαία)^*-άλγεβρα, ή απλώς δακτύλιο.Οι φον Νόιμαν άλγεβρες είναι ημι-κληρονομικές: κάθε πεπερασμένο παραγόμενο υποπρότυπο ενός προβολικού προτύπου είναι και αυτό προβολικό.Έχουν υπάρξει πολλές προσπάθειες να γίνουν αξίωμα οι υποκείμενοι δακτύλιοι των φον Νόιμαν αλγεβρών, συμπεριλαμβανομένου των Baer^*-δακτυλίων και των AW^*αλγεβρων. Η ^*-άλγεβρα των συνδεδεμένων τελεστών μιας πεπερασμένης φον Νόιμαν άλγεβρας είναι ένας φον Νόιμαν κανονικός δακτύλιος. (Η ίδια η φον Νόιμαν άλγεβρα είναι σε γενικές γραμμές μη κανονική φον Νόιμαν άλγεβρα.)

Αντιμεταθετικές φον Νόιμαν άλγεβρες

Κύριο άρθρο: Αβελιανή φον Νόιμαν άλγεβρα
Η σχέση μεταξύ αντιμεταθετικών αλγεβρών και μετρήσιμων χώρων είναι ανάλογη με αυτή των αντιμεταθετικών C^*-αλγεβρών και των τοπικά συμπαγών χώρων Χαουσντορφ. Κάθε αντιμεταθετική φον Νόιμαν άλγεβρα είναι ισομορφική με το L^∞(Χ) για κάποιους μετρήσιμους χώρους (Χ,μ) και αντίστροφα, για κάθε σ-πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο Χ, η ^*-άλγεβρα L^∞(Χ) είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα.
Λόγω αυτής της αναλογίας, η θεωρία των φον Νόιμαν αλγεβρών έχει κληθεί μη-αντιμεταθετική θεωρία μέτρου, καθώς η θεωρία των C^*-αλγεβρών μερικές φορές καλείται μη-αντιμεταθετική τοπολογία ([[[Connes 1994]]]).

Προβολές

Οι τελεστές Ε σε μια φον Νόιμαν άλγεβρα για την οποία Ε=ΕΕ=Ε^* ονομάζονται προβολές, είναι αυτοί οι τελεστές που δίνουν μια ορθογώνια προβολή του Η σε κάποιο κλειστό υποχώρο. Ένας υποχώρος του χώρου Χίλμπερτ Η λέγεται ότι ανήκει στην φον Νόιμαν άλγεβρα Μ αν είναι η εικόνα κάποιοας προβολής στη Μ. Άτυπα αυτοί είναι οι κλειστοί υποχώροι που περιγράφονται από στοιχεία της Μ, ή ότι ορίζει η Μ.Η κλειστότητα της εικόνας οποιοδήποτε τελεστή στην Μ ή ο πυρήνας οποιουδήποτε τελεστή στν Μ ανήκει στην Μ, και η κλειστότητα της εικόνας οποιουδήποτε υποχώρου της Μ με ένα τελεστή στην Μ, επίσης ανήκει στην Μ. Υπάρχει μια 1:1 αντιστοιχία μεταξύ των προβολών της Μ και των υποχώρων της( συνέπεια της πολικής ανάλυσης).
Η βασική θεωρία των προβολών εκπονήθηκε από τους Μουράι και φον Νόιμαν (1936).Δυο υποχώροι που ανήκουν στην Μ ονομάζονται (Μουράι-φον Νόιμαν) ισοδύναμοι αν υπάρχει μερική ισομετρία που αντιστοιχεί τον πρώτο ισομορφικά στο δεύτερο, που αποτελεί στοιχείο της άλγεβρας φον Νόιμαν (άτυπα ,αν η Μ ορίζει ότι οι υποχώροι είναι ισομορφικοί).Αυτό περιλαμβάνει μια φυσική σχέση ισοδυναμίας στις προβολές προσδιορίζοντας το Ε να είναι ισοδύναμο με το F αν οι αντίστοιχοι υποχώροι είναι ισοδύναμοι, ή με άλλα λόγια, αν υπάρχει μια μερική ισομετρία του Η που αντιστοιχεί την εικόνα του Ε ισομετρικά στην εικόνα του F και είναι ένα στοιχείο της φον Νόιμαν άλγεβρα. Ένας άλλος τρόπος να δηλώσουμε αυτό είναι ότι η Ε είναι ισοδύναμη με την F αν E=uu* και F=u*u για κάποια μερική ισομετρία u στην M.
Η σχέση ισοδυναμίας ~, έτσι όπως ορίζεται είναι πρόσθετη στην εξής έννοια: Ας υποθέσουμε ότι Ε₁~F₁ και E₂~F₂. Αν Ε₁⊥E₂ και F₁⊥F₂, τότε Ε₁+Ε₂~F₁+F₂. Αυτό δεν είναι αλήθεια σε γενικές γραμμές, αν απαιτείται μοναδιαία ισοδυναμία στον ορισμό του ~, δηλαδή αν πούμε Ε είναι ισοδύναμη με την F αν u^*Eu=F για κάποιο μοναδιαίο u.
Οι υποχώροι που ανήκουν στην Μ είναι μερικώς διατεταγμένοι από την έκλιση, και αυτό περιλαμβάνει μια μερική διάταξη ≤ των προβολών. Υπάρχει επίσης μια φυσική μερική διάταξη στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των προβολών, που προκαλείται από την μερική διάταξη ≤ των προβολών. Αν η Μ είναι τελεστής, η ≤ είναι μια ολική διάταξη στις κλάσεις ισοδυναμίας των προβολών, που περιγράφονται στην ενότητα των ίχνών (traces) παρακάτω.
Η προβολή (ένας υποχώρος της Μ) λέγεται πεπερασμένη προβολή, αν δεν υπάρχει καμία προβολή F<E που είναι ισοδύναμη της Ε. Για παράδειγμα όλες οι πεπερασμένης διάστασης προβολές (υποχώροι) είναι πεπερασμένες (εφόσον οι ισομετρίες μεταξύ των χώρων Χίλμπερτ αφήνουν τη διάσταση σταθερή), αλλά ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν άπειρης διάστασης χώρο Χίλμπερτ δεν είναι πεπερασμένος στη φον Νόιμαν άλγεβρα των φραγμένων τελεστών, εφόσον είναι ισομετρικά ισόμορφο με ένα κατάλληλο υποσύνολο του εαυτού του. Παρόλα αυτά είναι δυνατό οι άπειρης διάστασης υποχώροι να είναι πεπερασμένοι.
Οι ορθογώνιες προβολές δεν είναι αντιμεταθετικές αναλογίες του δείκτη της συνάρτησης L^∞(R).L^∞(R) είναι η ||·||∞–κλειστότητα του υποχώρου που παράγεται από το δείκτη των συναρτήσεων (indicator factors).Παρόμοια μια φον Νόιμαν άλγεβρα παράγεται απο τις προβολές της, αυτό είναι συνέπεια του φασματικού θεωρήματος για τους αυτοσυζυγείς τελεστές.
Οι προβολές ενός πεπερασμένου τελεστή από μια συνεχή γεωμετρία.