Χρήστης:Egmontaz/Ιδιοτιμή, ιδιοδιάνυσμα και ιδιοχώρος

Στα μαθηματικά, ιδιοτιμή, ιδιοδιάνυσμα, και ιδιοχώρος είναι σχετιζόμενες έννοιες στο πεδίο της γραμμικής άλγεβρας. Η γραμμική άλγεβρα μελετά τους γραμμικούς μετασχηματισμούς, που αναπαρίστανται με πίνακες που δρουν επί διανυσμάτων. Οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοχώροι είναι ιδιότητες ενός πίνακα. Υπολογίζονται με μία μέθοδο που περιγράφεται παρακάτω, και δίνουν σημαντικές πληροφορίες για τον πίνακα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγοντοποίησή του. Έχουν εφαρμογές σε πεδία των εφαρμοσμένων μαθηματικών, από τα οικονομικά έως την κβαντομηχανική.

Εν γένει, ένας πίνακας που δρα σε ένα διάνυσμα αλλάζει και το μέτρο του και την διεύθυνσή του. Εντούτοις ένας πίνακας μπορεί να δρα σε συγκεκριμένα διανύσματα αλλάζοντας μόνο το μέτρο τους, αφήνοντας ανεπηρέαστη την κατεύθυνση (ή πιθανώς αναστρέφοντας την φορά τους). Αυτά τα διανύσματα είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. Ένας πίνακας δρα σε ένα ιδιοδιάνυσμα πολλαπλασιάζοντας το μέτρο του με ένα παράγοντα ο οποίος είναι θετικός αν η φορά δεν αλλάζει και αρνητικός αν αντιστρέφεται. Αυτός ο παράγοντας είναι η ιδιοτιμή που σχετίζεται με αυτό το ιδιοδιάνυσμα. Ένας ιδιοχώρος είναι το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων που έχουν την ίδια ιδιοτιμή. Αυτές οι έννοιες δεν μπορούν να οριστούν τυπικά χωρίς προαπαιτούμενα, συμπεριλαμβάνοντας την κατανόηση των πινάκων, των διανυσμάτων και των γραμμικών μετασχηματισμών. Οι τεχνικές λεπτομέρειες δίνονται παρακάτω.

Μαθηματικός ορισμός

Στην γραμμική άλγεβρα υπάρχουν δύο ειδών αντικείμενα: τα βαθμωτά, τα οποία είναι απλώς αριθμοί, και τα διανύσματα, τα οποία μπορούν να παρομοιαστούν με βέλη, τα οποία έχουν και μέτρο και διεύθυνση (εντούτοις κατά τον ακριβέστερο ορισμό, ένα διάνυσμα είναι το μέλος ενός διανυσματικού χώρου). Στην θέση των κανονικών συναρτήσεων της άλγεβρας, οι πιο σημαντικές συναρτήσεις στην γραμμική άλγεβρα είναι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί, και ένας γραμμικός μετασχηματισμός συνήθως αναπαρίστανται με ένα πίνακα. Έτσι αντί του συμβολισμού f(x) υπάρχει ο M(v) όπου M είναι ένας πίνακας και v ένα διάνυσμα.

If the action of a matrix on a (nonzero) vector changes its magnitude but not its direction, then the vector is called an eigenvector of that matrix. A vector which is "flipped" to point in the opposite direction is also considered an eigenvector. Each eigenvector is, in effect, multiplied by a scalar, called the eigenvalue corresponding to that eigenvector. The eigenspace corresponding to one eigenvalue of a given matrix is the set of all eigenvectors of the matrix with that eigenvalue.

Many kinds of mathematical objects can be treated as vectors: ordered pairs, functions, harmonic modes, quantum states, and frequencies are examples. In these cases, the concept of direction loses its ordinary meaning, and is given an abstract definition. Even so, if this abstract direction is unchanged by a given linear transformation, the prefix "eigen" is used, as in eigenfunction, eigenmode, eigenstate, and eigenfrequency.