Χρήστης:Ποπη1996/πρόχειρο

Αντίστροφοι σύνθετοι ακέραιοι σχετικά πρώτοι αριθμοί έως το 10

Αν p είναι πρώτος, εκτός από 2 ή 5, η δεκαδική αναπαράσταση του κλάσματος ${\tfrac {1}{p^{2}}}$ επαναλαμβάνεται, π.χ.:

1/49 = 0.0204081 6326530 6122448 9795918 3673469 3877551

Η περίοδος (μήκος επαναλήψεων) πρέπει να είναι ένας παράγοντας του λ(49)=42, όπου η λ(n) είναι γνωστή ως συνάρτηση Carmichael.Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Carmichael, το οποίο ορίζει ότι: αν n είναι ένας θετικός ακέραιος τότε ο λ(n) είναι ο μικρότερος ακέραιος m τέτοιο ώστε:

$a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$

για κάθε ακέραιο a που είναι σχετικά πρώτος έως το n. Η περίοδος του ${\tfrac {1}{p^{2}}}$ είναι συνήθως pTp όπου Tp είναι η περίοδος του ${\tfrac {1}{p}}$.Υπάρχουν τρεις γνωστοί πρώτοι αριθμοί για τους οποίους αυτό δεν είναι αλήθεια, και γι'αυτούς η περίοδος του ${\tfrac {1}{p^{2}}}$ είναι ίδια με τη περίοδο του ${\tfrac {1}{p}}$, επειδή το p² διαιρεί το 10^p−1−1.Αυτοί οι τρεις πρώτοι αριθμοί είναι οι 3, 487 και 56598313 (ακολουθία A045616 σε OEIS). Ομοίως, η περίοδος του ${\tfrac {1}{p^{k}}}$ είναι συνήθως p^k−1T_p. Αν p και q είναι πρώτοι αριθμοί πλην 2 ή 5, η δεκαδική αναπαράσταση του κλάσματος ${\tfrac {1}{p\ q}}$ επαναλαμβάνεται.Ένα παράδειγμα είναι το 1/119:

119 = 7 × 17

λ(7 × 17) = LCM(λ(7), λ(17))

= LCM(6, 16)

= 48

όπου το LCM υποδηλώνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Η περίοδος T του ${\tfrac {1}{p\ q}}$ είναι ένας παράγοντας λ(pq) και συμβαίνει να είναι 48 σε αυτή την περίπτωση:

1/119 = 0.00840336 13445378 15126050 42016806 72268907 56302521

Η περίοδος T του ${\tfrac {1}{p\ q}}$ είναι LCM(T_p, T_q) όπου T_p είναι η περίοδος του ${\tfrac {1}{p}}$ και T_q η περίοδος του ${\tfrac {1}{q}}$. Αν p , q, r, κλπ. είναι πρώτοι αριθμοί, εκτός από 2 ή 5, και k , ℓ, m, κλπ. είναι θετικοί ακέραιοι, τότε ο ${\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}$ είναι ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός με περίοδο το $\mathrm {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )$ όπου $T_{p^{k}},\ T_{q^{\ell }},\ T_{r^{m}}$, κλπ. είναι αντίστοιχα οι περίοδοι των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ${\frac {1}{p^{k}}},\ {\frac {1}{q^{\ell }}},\ {\frac {1}{r^{m}}},\$ κλπ. όπως ορίζονται παραπάνω.

Αντίστροφοι ακέραιοι μη σχετικοί πρώτοι αριθμοί έως το 10

Ένας ακέραιος που δεν είναι σχετικά πρώτος αριθμός έως το 10, αλλά έχει έναν πρώτο παράγοντα εκτός από 2 ή 5, έχει έναν αντίστροφο που είναι τελικά περιοδικός, αλλά με μια μη επαναλαμβανόμενη σειρά ψηφίων που προηγείται του επαναλαμβανόμενου μέρους.Ο αντίστροφος μπορεί να εκφραστεί ως:

${\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

όπου a και b δεν είναι και τα δύο μαζί μηδέν. Αυτό το κλάσμα μπορεί επίσης να εκφραστεί ως:

${\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

αν a > b,ή ως:

${\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

αν b > a, ή ως:

${\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

αν a = b. Ο δεκαδικός έχει:

• Μια αρχική μετάβαση από max (a, b) ψηφίων μετά την υποδιαστολή.Ορισμένα ή όλα τα ψηφία στη μετάβαση μπορεί να είναι μηδενικά.
• Την επακόλουθη επανάληψη η οποία είναι η ίδια με εκείνη για το κλάσμα ${\frac {1}{p^{k}q^{\ell }\cdots }}$.

Για παράδειγμα 1/28 = 0,03571428571428 ...:

• τα αρχικά μη επαναλαμβανόμενα ψηφία είναι 03 και
• τα επόμενα επαναλαμβανόμενα ψηφία είναι 571428.

Μετατροπή επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων σε κλάσματα

Λαμβάνοντας υπόψη ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό, είναι δυνατόν να υπολογιστεί το κλάσμα που το παρήγαγε. Για παράδειγμα:

${\begin{aligned}2x&=0.333333\ldots \\10x&=3.333333\ldots \\9x&=3\ \\x&=3/9=1/3\end{aligned}}$

Ένα άλλο παράδειγμα:

${\begin{aligned}x&=0.836363636\ldots \\10x&=8.3636363636\ldots \\1000x&=836.36363636\ldots \\990x&=836.36363636\ldots -8.36363636\ldots =828\ \\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{aligned}}$

Μια συντόμευση

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί, ιδίως εάν η επανάληψη έχει n ψηφία, τα οποία είναι όλα μηδέν, εκτός από το τελευταίο, το οποίο είναι 1.Για παράδειγμα, για n=7:

${\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\(10^{7}-1)x=9999999x&=1\\x&={1 \over 10^{7}-1}={1 \over 9999999}\end{aligned}}$

Έτσι, αυτός ο συγκεκριμένος επαναλαμβανόμενος δεκαδικός αντιστοιχεί στο κλάσμα 1 / (10n - 1), όπου ο παρονομαστής είναι ο αριθμός γραμμένος ως n φορές το ψηφίο 9.Γνωρίζοντας αυτό, μια γενική επανάληψη δεκαδικών μπορεί να εκφραστεί ως ένα κλάσμα, χωρίς να λύσουμε μια εξίσωση.Για παράδειγμα, ένας λόγος θα μπορούσε:

${\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}$

Είναι δυνατόν να πάρετε μια γενική φόρμουλα που εκφράζει έναν επαναλαμβανόμενο δεκαδικό με n ψηφίο της περιόδου (μήκος επαναλήψεων), που αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, ως κλάσμα:

x = 0.(A₁A₂…A_n)

10ⁿx = A₁A₂…A_n.(A₁A₂…A_n)

(10ⁿ − 1)x = 99…99x = A₁A₂ … A_n

x = A₁A₂…A_n/(10ⁿ − 1)

= A₁A₂…A_n/99…99

Πιο αναλυτικά το ένα παίρνει τις ακόλουθες περιπτώσεις.

Εάν ο επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι μεταξύ 0 και 1 και η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι n φορές μεγάλη, το πρώτο που συμβαίνει αμέσως μετά το δεκαδικό σημείο, τότε το κλάσμα (δεν μειώνεται απαραιτήτως) θα είναι ο ακέραιος αριθμός που αντιπροσωπεύεται από τη n-ψηφίων ομάδα διαιρούμενη από έναν εκπροσωπούμενο από n φορές το ψηφίο 9. Για παράδειγμα,

• 0.444444… = 4/9 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 4 (1-ψήφια ομάδα),
• 0.565656… = 56/99 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 56 (2-ψήφια ομάδα),
• 0.012012… = 12/999 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 012 (μία 3-ψήφια ομάδα), και αυτό μειώνεται περαιτέρω στο 4/333.
• 0.9999999… = 9/9 = 1, δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 9 (επίσης 1-ψήφια ομάδα)

Αν ο επαναλαμβανόμενος δεκαδικός είναι όπως παραπάνω, εκτός από το ότι υπάρχουν k (έξτρα) ψηφία, 0 μεταξύ υποδιαστολής και η επαναλαμβανόμενη n - ψήφια ομάδα, τότε μπορεί κανείς απλά να προσθέσει k ψηφία, 0 μετά τον n φορές του ψηφίου 9 του παρονομαστή (και όπως πριν το κλάσμα ίσως απλοποιηθεί στη συνέχεια). Για παράδειγμα,

• 0.000444… = 4/9000 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 4 και αυτή προηγείται κατά 3 μηδενικά,
• 0.005656… = 56/9900 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 56 και προηγείται από 2 μηδενικά,
• 0.00012012… = 12/99900 = 2/16650 δεδομένου ότι η επαναλαμβανόμενη ομάδα είναι 012 και προηγείται από 2 μηδενικά (!).

Κάθε επαναλαμβανόμενος δεκαδικός, όχι της μορφής που περιγράφεται ανωτέρω, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ενός δεκαδικού απόληξης και ενός επαναλαμβανόμενου δεκαδικού ενός εκ των δύο ανωτέρω τύπων (στην πραγματικότητα ο πρώτος τύπος αρκεί, αλλά θα μπορούσε να απαιτήσει από τον δεκαδικό απόληξης να είναι αρνητικό). Για παράδειγμα,

• 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900 ή εναλλακτικά 1.23444… = 0.79 + 0.44444… = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665 ή εναλλακτικά 0.3789789… = −0.6 + 0.9789789… = −6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Επομένως, ο ενδεχόμενος επαναλαμβανόμενος δεκαδικός με περίοδο n , και k ψηφία μετά την υποδιαστολή, τα οποία δεν ανήκουν στο επαναληπτικό μέρος, μπορεί να γραφεί ως (όχι κατ 'ανάγκη μειωμένο) κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι (10ⁿ − 1)10^k.

Αντίθετα, η περίοδος του επαναλαμβανόμενου δεκαδικού ενός κλάσματος c/d θα είναι (το πολύ) ο μικρότερος αριθμός n έτσι ώστε 10ⁿ − 1 διαιρούμενο με d.

Για παράδειγμα, το κλάσμα 2/7 έχει d= 7, και το μικρότερο k που κάνει 10^k − 1 διαιρούμενο με 7 είναι k = 6, επειδή 999,999 = 7 × 142857. Η περίοδος του κλάσματος 2/7 είναι επομένως 6.

Επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ως άπειρη σειρά

Ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ψηφίο μπορεί επίσης να εκφραστεί ως μια άπειρη σειρά. Δηλαδή, ένας επαναλαμβανόμενος δεκαδικός μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού των ρητών αριθμών. Για να πάρετε το πιο απλό παράδειγμα,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}={1 \over 10}+{1 \over 100}+{1 \over 1000}+\cdots =0.{\overline {1}}$

Η παραπάνω σειρά είναι μια γεωμετρική σειρά με τον πρώτο όρο ως 1/10 και το κοινό παράγοντα 1/10. Επειδή η απόλυτη τιμή του κοινού παράγοντα είναι μικρότερη από 1, μπορούμε να πούμε ότι η γεωμετρική σειρά συγκλίνει και βρίσκει την ακριβή τιμή με τη μορφή ενός κλάσματος με τη χρήση του ακόλουθου τύπου όπου ο a είναι ο πρώτος όρος της σειράς και r είναι ο κοινός παράγοντας.

$\ {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{9}}=0.{\overline {1}}$