Φτέρη του Μπάρνσλεϊ

Η φτέρη του Μπάρνσλεϊ είναι ένα φράκταλ που πήρε το όνομά του από τον Βρετανό μαθηματικό Μάικλ Μπάρνσλεϊ, ο οποίος το περιέγραψε για πρώτη φορά στο βιβλίο του "Φράκταλ παντού"^[1].

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η φτέρη είναι ένα από τα βασικά παραδείγματα αυτοομοειδών συνόλων, δηλαδή ένα μαθηματικά παραγόμενο μοτίβο που μπορεί να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μεγέθυνση ή σμίκρυνση. Όπως και το τρίγωνο Σιερπίνσκι, η φτέρη του Μπάρνσλεϊ δείχνει πώς μπορούν να δημιουργηθούν γραφικά όμορφες δομές από επαναλαμβανόμενες χρήσεις μαθηματικών τύπων με υπολογιστές. Το βιβλίο του Μπάρνσλει του 1988 με τίτλο "Φράκταλ παντού" (Fractals Everywhere)^[2] βασίζεται στο μάθημα που δίδασκε για προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές στη Σχολή Μαθηματικών του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Τζόρτζια, με τίτλο " Μορφοκλασματική Γεωμετρία " (Fractal Geometry). Μετά τη δημοσίευση του βιβλίου, αναπτύχθηκε ένα δεύτερο μάθημα, που ονομάστηκε Θεωρία μέτρησης φράκταλ.^[1] Το έργο του Μπάρνσλεϊ αποτέλεσε πηγή έμπνευσης για τους γραφίστες που προσπαθούν να μιμηθούν τη φύση με μαθηματικά μοντέλα.

Ο κώδικας της φτέρης που ανέπτυξε ο Μπάρνσλεϊ είναι ένα παράδειγμα ενός συστήματος επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (IFS) για τη δημιουργία ενός φράκταλ. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του κολλάζ. Έχει χρησιμοποιήσει τα φράκταλ για να μοντελοποιήσει ένα ευρύ φάσμα φαινομένων στην επιστήμη και την τεχνολογία, αλλά πιο συγκεκριμένα τις δομές των φυτών.

 Τα IFS παρέχουν πρότυπα για ορισμένα φυτά, φύλλα και φτέρες, λόγω της αυτοομοιότητας που εμφανίζεται συχνά στις δομές διακλάδωσης στη φύση. Όμως η φύση παρουσιάζει επίσης τυχαίες καταστάσεις και παραλλαγές από το ένα επίπεδο στο άλλο- δεν υπάρχουν δύο φτέρες που να μοιάζουν ακριβώς μεταξύ τους και τα διακλαδισμένα φύλλα γίνονται φύλλα σε μικρότερη κλίμακα. Τα φράκταλ με μεταβλητές V επιτρέπουν αυτή την τυχαιότητα και τη μεταβλητότητα σε όλες τις κλίμακες, ενώ ταυτόχρονα δέχονται μια συνεχή εξάρτηση από τις παραμέτρους που διευκολύνει τη γεωμετρική μοντελοποίηση. Αυτοί οι παράγοντες μας επιτρέπουν να φτιάξουμε τα υβριδικά βιολογικά πρότυπα... ...υποθέτουμε ότι όταν βρεθεί ένα γεωμετρικό μοντέλο φράκταλ V -μεταβλητών που έχει καλή αντιστοιχία με τη γεωμετρία ενός συγκεκριμένου φυτού, τότε υπάρχει μια συγκεκριμένη σχέση μεταξύ αυτών των δέντρων κώδικα και των πληροφοριών που είναι αποθηκευμένες στα γονίδια του φυτού.
 
-Μάικλ Μπάρνσλεϊ κ.ά.^[3]

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η φτέρη του Μπάρνσλεϊ χρησιμοποιεί τέσσερις συγγενείς μετασχηματισμούς. Ο τύπος για έναν μετασχηματισμό έχει ως εξής:

f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}

Ο Μπάρνσλεϊ παρουσιάζει τον κώδικα IFS για το φράκταλ της φτέρης Black Spleenwort ως πίνακα τιμών που εμφανίζεται σε έναν πίνακα^[4]. Στον πίνακα, οι στήλες "a" έως "f" είναι οι συντελεστές της εξίσωσης και το "p" αντιπροσωπεύει τον παράγοντα πιθανότητας.

w	a	b	c	d	f	p	Παραγόμενη μερίδα
ƒ₁	0	0	0	0.16	0	0.01	Στέλεχος
ƒ₂	0.85	0.04	−0.04	0.85	1.60	0.85	Διαδοχικά μικρότερα φυλλάδια
ƒ₃	0.20	−0.26	0.23	0.22	1.60	0.07	Το μεγαλύτερο αριστερό φυλλάδιο
ƒ₄	−0.15	0.28	0.26	0.24	0.44	0.07	Το μεγαλύτερο δεξιό φυλλάδιο

Αυτές αντιστοιχούν στους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}

f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}

f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}

f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}

Παραγωγή από υπολογιστή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρότι η φτέρη του Μπάρνσλεϊ θα μπορούσε θεωρητικά να σχεδιαστεί με το χέρι, με στυλό και χαρτί γραφικής παράστασης, ο αριθμός των αναγκαίων επαναλήψεων ανέρχεται σε δεκάδες χιλιάδες, γεγονός που καθιστά τη χρήση υπολογιστή πρακτικά υποχρεωτική. Πολλά διαφορετικά μοντέλα υπολογιστών της φτέρης του Μπάρνσλεϊ είναι δημοφιλή στους σύγχρονους μαθηματικούς. Εφόσον τα μαθηματικά προγραμματίζονται σωστά χρησιμοποιώντας τον πίνακα σταθερών του Μπάρνσλεϊ, θα παραχθεί το ίδιο σχήμα φτέρης.

Το πρώτο σημείο που σχεδιάζεται είναι στην αρχή (x₀ = 0, y₀ = 0) και στη συνέχεια τα νέα σημεία υπολογίζονται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τυχαία έναν από τους ακόλουθους τέσσερις μετασχηματισμούς συντεταγμένων:^[5]^[6]

ƒ₁

x_{n + 1} = 0

y_{n + 1} = 0.16 y_n.

Αυτός ο μετασχηματισμός συντεταγμένων επιλέγεται 1% του χρόνου και απλώς συνδέει οποιοδήποτε σημείο σε ένα σημείο του πρώτου ευθύγραμμου τμήματος στη βάση του στελέχους. Στην επαναληπτική παραγωγή, λειτουργεί ως επαναφορά στη βάση του στελέχους. Το κρίσιμο είναι ότι δεν επαναφέρει ακριβώς στο (0,0), γεγονός που του επιτρέπει να συμπληρώσει το βασικό στέλεχος το οποίο μεταφράζεται και χρησιμεύει ως ένα είδος "πυρήνα" από τον οποίο παράγονται όλα τα άλλα τμήματα της φτέρης μέσω των μετασχηματισμών ƒ₂, ƒ₃, ƒ₄.

ƒ₂

x_{n + 1} = 0.85 x_n + 0.04 y_n

y_{n + 1} = −0.04 x_n + 0.85 y_n + 1.6.

Ο μετασχηματισμός αυτός κωδικοποιεί τη σχέση αυτοομοιότητας ολόκληρης της φτέρης με την υποδομή που αποτελείται από τη φτέρη με την αφαίρεση του τμήματος που περιλαμβάνει τα δύο κάτω φύλλα. Στην αναπαράσταση του πίνακα, μπορεί να φανεί ότι πρόκειται για μια ελαφρά δεξιόστροφη περιστροφή, με κλίμακα ελαφρώς μικρότερη και μεταφρασμένη προς τη θετική κατεύθυνση y. Στην επαναληπτική παραγωγή, ο μετασχηματισμός αυτός εφαρμόζεται με πιθανότητα 85% και είναι διαισθητικά υπεύθυνος για τη δημιουργία του κύριου στελέχους και τη διαδοχική κάθετη δημιουργία των φύλλων εκατέρωθεν του στελέχους από τα "αρχικά" φύλλα στη βάση.

ƒ₃

x_{n + 1} = 0.2 x_n − 0.26 y_n

y_{n + 1} = 0.23 x_n + 0.22 y_n + 1.6.

Αυτός ο μετασχηματισμός κωδικοποιεί την αυτοομοιότητα ολόκληρης της φτέρης με το κάτω αριστερό φύλλο. Στην αναπαράσταση του πίνακα, φαίνεται ότι πρόκειται για μια περιστροφή σχεδόν 90° κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, με κλιμάκωση σε μέγεθος περίπου 30% με μετατόπιση προς τη θετική κατεύθυνση y. Στην επαναληπτική παραγωγή, εφαρμόζεται με πιθανότητα 7% και είναι διαισθητικά υπεύθυνη για τη δημιουργία του κάτω αριστερού φύλλου.

ƒ₄

x_{n + 1} = −0.15 x_n + 0.28 y_n

y_{n + 1} = 0.26 x_n + 0.24 y_n + 0.44.

Ομοίως, αυτός ο μετασχηματισμός κωδικοποιεί την αυτοομοιότητα ολόκληρης της φτέρης με το κάτω δεξί φύλλο. Από τον προσδιοριστή του γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι περιλαμβάνει μια αντανάκλαση και μπορεί να θεωρηθεί ως ένας παρόμοιος μετασχηματισμός με τον ƒ3, αν και με μια αντανάκλαση γύρω από τον άξονα y. Στην επαναληπτική-δημιουργία, εφαρμόζεται με πιθανότητα 7% και είναι υπεύθυνη για τη δημιουργία του κάτω δεξιού φύλλου.

Μεταλλαγμένες ποικιλίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παίζοντας με τους συντελεστές, είναι δυνατόν να δημιουργηθούν μεταλλαγμένες ποικιλίες φτέρης. Στην εργασία του σχετικά με τα φράκταλ με μεταβλητές V, ο Μπάρνσλεϊ αποκαλεί αυτό το χαρακτηριστικό υπερφράκταλ^[3].

Ένας πειραματιστής έχει καταλήξει σε έναν πίνακα συντελεστών για την παραγωγή μιας άλλης εντυπωσιακά φυσικής εμφάνισης φτέρης ωστόσο, που μοιάζει με την φτέρη Cyclosorus ή Thelypteridaceae. Αυτοί είναι οι εξής:^[7]^[8]

w	a	b	c	d	e	f	p
ƒ₁	0	0	0	0.25	0	−0.4	0.02
ƒ₂	0.95	0.005	−0.005	0.93	−0.002	0.5	0.84
ƒ₃	0.035	−0.2	0.16	0.04	−0.09	0.02	0.07
ƒ₄	−0.04	0.2	0.16	0.04	0.083	0.12	0.07

Ψευδοκώδικας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

draw all pixels on screen white
x = 0.0
y = 0.0
n = 0.0
xn = 0.0
yn = 0.0
while n < maximum iterations:
    r = random() between 0 and 1
    if r < 0.01
        xn = 0.0
        yn = 0.16 * y
    else if r < 0.86
        xn = 0.85 * x + 0.04 * y
        yn = -0.04 * x + 0.85 * y + 1.6
    else if r < 0.93
        xn = 0.2 * x - 0.26 * y
        yn = 0.23 * x + 0.22 * y + 1.6
    else
        xn = -0.15 * x + 0.22 * y
        yn = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44
    draw pixel (xn, yn) green on screen
    x = xn
    y = yn
    increment n

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)
↑ Barnsley, Michael F. (2012). Fractals Everywhere. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-48870-7.
↑ ^3,0 ^3,1 Michael Barnsley, et al.,«"V-variable fractals and superfractals"» (PDF). (2.22 MB)
↑ Fractals Everywhere, table III.3, IFS code for a fern.
↑ Barnsley, Michael (2000). Fractals everywhere. Morgan Kaufmann. σελ. 86. ISBN 0-12-079069-6. Ανακτήθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2010.
↑ Weisstein, Eric. «Barnsley's Fern». Ανακτήθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2010.
↑ Other fern varieties with supplied coefficients
↑ A Barnsley fern generator

[Fractals-1] 1,0 ^1,1 Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)

[2] Barnsley, Michael F. (2012). Fractals Everywhere. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-48870-7.

[V-variable-3] 3,0 ^3,1 Michael Barnsley, et al.,«"V-variable fractals and superfractals"» (PDF). (2.22 MB)

[Fractals-3-4] Fractals Everywhere, table III.3, IFS code for a fern.

[5] Barnsley, Michael (2000). Fractals everywhere. Morgan Kaufmann. σελ. 86. ISBN 0-12-079069-6. Ανακτήθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2010.

[6] Weisstein, Eric. «Barnsley's Fern». Ανακτήθηκε στις 7 Ιανουαρίου 2010.

[7] Other fern varieties with supplied coefficients

[8] A Barnsley fern generator

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]