Τρικέρατο (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, το τρικέρατο, που μερικές φορές ονομάζεται σύνολο Mandelbar, είναι ένα φράκταλ που ορίζεται με παρόμοιο τρόπο με το σύνολο Μάντελμπροτ, ωστόσο με τη χρήση της απεικόνισης $z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c$ instead of $z\mapsto z^{2}+c$ αντί της απεικόνισης z ↦ z 2 + c z\mapsto z^{2}+c που χρησιμοποιείται για το σύνολο Μάντελμπροτ. Εισήχθη από τους Γου. Ντ. Κρόου, Ρ. Χάσον, Π. Τζ. Ρίπον και Π. Ε. Ντ. Στρέιν-Κλαρκ^[1]. Ο Τζον Μίλνορ βρήκε τα σύνολα τρικέρατο ως μια πρωτότυπη διαμόρφωση στο χώρο παραμέτρων των πραγματικών κυβικών πολυωνύμων και σε διάφορες άλλες οικογένειες ρητών χαρτών^[2].

Το χαρακτηριστικό τριγωνικό σχήμα που δημιουργείται από αυτό το φράκταλ επαναλαμβάνεται με παραλλαγές σε διαφορετικές κλίμακες, παρουσιάζοντας το ίδιο είδος αυτοομοιότητας με το σύνολο Μάντελμπροτ. Εκτός από τα μικρότερα τρικέρατα, μικρότερες εκδοχές του συνόλου Μάντελμπροτ περιέχονται επίσης στο φράκταλ του τρικέρατου.

Επίσημος ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τρικέρατο $T$ ορίζεται από μια οικογένεια τετραγωνικών αντιολωμορφικών πολυωνύμων

f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}

δίνεται από

f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c,

όπου $c$ είναι μια σύνθετη παράμετρος. Για κάθε $c$ , εξετάζεται η εμπρόσθια τροχιά

(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )

του κρίσιμου σημείου $0$ του αντιολομορφικού πολυωνύμου $p_{c}$ . Κατ' αναλογία του συνόλου Μάντελμπροτ, το τρικέρατο ορίζεται ως το σύνολο όλων των παραμέτρων $c$ για τις οποίες η εμπρόσθια τροχιά του κρίσιμου σημείου είναι περιορισμένη. Αυτό είναι ισοδύναμο με τη διατύπωση ότι το τρικέρατο είναι ο τόπος συνδεσιμότητας της οικογένειας των τετραγωνικών αντιολωμορφικών πολυωνύμων, δηλαδή το σύνολο όλων των παραμέτρων $c$ για τις οποίες το σύνολο Julia $J(f_{c})$ είναι συνδεδεμένο.

Τα υψηλότερου βαθμού ανάλογα του τρικέρατου είναι γνωστά ως πολυκέρατα^[3] Πρόκειται για τους τόπους συνδεσιμότητας της οικογένειας των αντιολωμορφικών πολυωνύμων $f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{d}+c$ .

Θεμελιώδεις ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τρικέρατο είναι συμπαγές και συνεκτικό^[4]. Στην πραγματικότητα, ο Νακάνε τροποποίησε την απόδειξη των Ντουαντί και Χάμπαρντ για τη συνεκτικότητα του συνόλου Μάντελμπροτ για να κατασκευάσει έναν δυναμικά ορισμένο πραγματικό αναλυτικό διαφορικό διαμορφισμό από το εξωτερικό του τρικέρατου στο εξωτερικό του κλειστού μοναδιαίου δίσκου στο μιγαδικό επίπεδο. Οι ακτίνες των εξωτερικών παραμέτρων του τρικέρατου μπορούν να οριστούν ως τα αντίστροφα είδωλα των ακτινικών γραμμών υπό αυτόν τον διαφορμορφισμό.
Κάθε υπερβολική συνιστώσα του τρικέρατου είναι απλά συνδεδεμένη^[3].
Το όριο κάθε περιττής περιόδου υπερβολικής συνιστώσας του τρικέρατου περιέχει πραγματικά αναλυτικά τόξα που αποτελούνται από οιονεί συμμορφικά ισοδύναμες αλλά συμμορφικά διαφορετικές παραβολικές παραμέτρους.^[5]^[6] Ένα τέτοιο τόξο ονομάζεται παραβολικό τόξο του τρικέρατου. Αυτό έρχεται σε έντονη αντίθεση με την αντίστοιχη κατάσταση για το σύνολο Μάντελμπροτ, όπου οι παραβολικές παράμετροι μιας δεδομένης περιόδου είναι γνωστό ότι είναι απομονωμένες.
Το όριο κάθε υπερβολικής συνιστώσας περιττής περιόδου αποτελείται αποκλειστικά από παραβολικές παραμέτρους. Πιο συγκεκριμένα, το σύνορο κάθε υπερβολικής συνιστώσας του τρικέρατου περιττής περιόδου είναι μια απλή κλειστή καμπύλη που αποτελείται ακριβώς από τρία σημεία παραβολικών κορυφών και τρία παραβολικά τόξα, καθένα από τα οποία συνδέει δύο παραβολικές κορυφές^[6].
Κάθε παραβολικό τόξο περιόδου k έχει, και στα δύο άκρα του, ένα διάστημα θετικού μήκους μέσω του οποίου συμβαίνει η διακλάδωση από μια υπερβολική συνιστώσα περιττής περιόδου k σε μια υπερβολική συνιστώσα περιόδου 2k.

Συλλογή εικόνων με διάφορα ζουμ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως και το σύνολο Μάντελμπροτ, το τρικέρατο έχει πολλά πολύπλοκα μοτίβα. Λόγω της ομοιότητάς τους, μοιράζονται πολλά κοινά χαρακτηριστικά. Ωστόσο, στο τρικέρατο, αυτά τα χαρακτηριστικά φαίνονται να συμπιέζονται και να τεντώνονται κατά μήκος των ορίων του.^[7]

Οι ακόλουθες εικόνες είναι προοδευτικά ζουμ σε μια επιλεγμένη τιμή $c$ όπου $c=0.48+0.58i$ . Οι εικόνες δεν έχουν τεντωθεί ή τροποποιηθεί, αλλά φαίνονται ως έχουν όταν μεγεθύνονται.

Αρχικό ζουμ. Το τρικέρατο στο σύνολό του.
6 φορές το αρχικό ζουμ. Πολλές "προεξοχές" ή "ιππόκαμποι" κατά μήκος του άνω "κεφαλιού" συγκλίνουν στο "λαιμό". Ονομάζεται εύστοχα "κοιλάδα σύγκλισης ιππόκαμπων".
20 φορές το αρχικό ζουμ. Πιο προσεκτική ματιά σε μια πλευρά της "κοιλάδας". Οι "ιππόκαμποι" αρχίζουν να παίρνουν σχήμα, φαίνονται παραμορφωμένοι από τους αρχικούς "ιππόκαμπους" κατά μήκος του ορίου Μάντελμπροτ.
40 φορές το αρχικό ζουμ. Ο "ιππόκαμπος" είναι πλέον πλήρως ορατός.

Εφαρμογή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η παρακάτω υλοποίηση ψευδοκώδικα κωδικοποιεί σκληρά τις σύνθετες πράξεις για το Z. Εξετάστε το ενδεχόμενο υλοποίησης των πράξεων σύνθετος αριθμός για να επιτρέψετε πιο δυναμικό και επαναχρησιμοποιήσιμο κώδικα.

For each pixel (x, y) on the screen, do:
{
    x = scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.5, 1))
    y = scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1, 1))
       
    
    zx = x; // zx represents the real part of z
    zy = y; // zy represents the imaginary part of z

  
    iteration = 0
    max_iteration = 1000
  
    while (zx*zx + zy*zy < 4  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtemp = zx*zx - zy*zy + x
        zy = -2*zx*zy + y
        zx = xtemp

        iteration = iteration + 1
    }

    if (iteration == max_iteration) //Belongs to the set
        return insideColor;

    return iteration * color;
}

Περαιτέρω τοπολογικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τρικέρατο δεν συνδέεται με διαδρομές^[5]. Οι Χάμπαρντ και Σλάιχερ έδειξαν ότι υπάρχουν υπερβολικές συνιστώσες του τρικέρατου με περιττή περίοδο που δεν μπορούν να συνδεθούν με την υπερβολική συνιστώσα με περίοδο ένα με διαδρομές. Οι Ινού και Μουκερτζί απέδειξαν έναν ισχυρότερο ισχυρισμό, ότι δηλαδή καμία από τις δύο περιττής περιόδου (μη πραγματικές) υπερβολικές συνιστώσες του τρικέρατου δεν μπορεί να συνδεθεί με διαδρομή^[8].

Είναι γνωστό ότι κάθε ακτίνα ορθολογικών παραμέτρων του συνόλου Μάντελμπροτ προσπίπτει σε μία μόνο παράμετρο.^[9]^[10] Από την άλλη πλευρά, οι ακτίνες ορθολογικών παραμέτρων σε περιττές περιοδικές γωνίες (εκτός από την περίοδο ένα) του τρικέρατου συσσωρεύονται σε τόξα θετικού μήκους που αποτελούνται από παραβολικές παραμέτρους.^[11] Επιπλέον, σε αντίθεση με το σύνολο Μάντελμπροτ, ο δυναμικά φυσικός χάρτης ευθυγράμμισης από ένα μωρό τρικέρατο στο αρχικό τρικέρατο είναι ασυνεχής σε άπειρες παραμέτρους.^[8]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Crowe, W. D.; Hasson, R.; Rippon, P. J.; Strain-Clark, P. E. D. (1 January 1989). «On the structure of the Mandelbar set». Nonlinearity 2 (4): 541. doi:10.1088/0951-7715/2/4/003. Bibcode: 1989Nonli...2..541C.
↑ Milnor, John (1 January 1992). «Remarks on iterated cubic maps». Experimental Mathematics 1 (1): 5–24. http://projecteuclid.org/euclid.em/1048709112. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.
↑ ^3,0 ^3,1 Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 October 2003). «On multicorns and unicorns i: antiholomorphic dynamics, hyperbolic components and real cubic polynomials». International Journal of Bifurcation and Chaos 13 (10): 2825–2844. doi:10.1142/S0218127403008259. Bibcode: 2003IJBC...13.2825N.
↑ Nakane, Shizuo (1 June 1993). «Connectedness of the tricorn». Ergodic Theory and Dynamical Systems 13 (2): 349–356. doi:10.1017/S0143385700007409. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2144300&fileId=S0143385700007409. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.
↑ ^5,0 ^5,1 «Multicorns are not path connected» (PDF). Math.cornell.edu. Ανακτήθηκε στις 6 Μαΐου 2017.
↑ ^6,0 ^6,1 Mukherjee, Sabyasachi; Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 May 2017). «On multicorns and unicorns II: bifurcations in spaces of antiholomorphic polynomials». Ergodic Theory and Dynamical Systems 37 (3): 859–899. doi:10.1017/etds.2015.65.
↑ Chongchitnan, Siri (1 Δεκεμβρίου 2023). Exploring University Mathematics with Python. Springer Nature. ISBN 978-3-031-46270-2.
↑ ^8,0 ^8,1 Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2021). «Discontinuity of Straightening in Anti-holomorphic Dynamics: I». Transactions of the American Mathematical Society 374 (9): 6445–6481. doi:10.1090/tran/8381.
↑ Goldberg, Lisa R.; Milnor, John (1993). «Fixed points of polynomial maps. Part II. Fixed point portraits». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 26 (1): 51–98. doi:10.24033/asens.1667. https://eudml.org/doc/82336. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.
↑ Milnor, John W (1999). «Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account». arXiv:math/9905169.
↑ Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2015). «Non-landing parameter rays of the multicorns». Inventiones Mathematicae 204 (3): 869–893. doi:10.1007/s00222-015-0627-3. Bibcode: 2016InMat.204..869I.

[1] Crowe, W. D.; Hasson, R.; Rippon, P. J.; Strain-Clark, P. E. D. (1 January 1989). «On the structure of the Mandelbar set». Nonlinearity 2 (4): 541. doi:10.1088/0951-7715/2/4/003. Bibcode: 1989Nonli...2..541C.

[2] Milnor, John (1 January 1992). «Remarks on iterated cubic maps». Experimental Mathematics 1 (1): 5–24. http://projecteuclid.org/euclid.em/1048709112. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.

[auto-3] 3,0 ^3,1 Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 October 2003). «On multicorns and unicorns i: antiholomorphic dynamics, hyperbolic components and real cubic polynomials». International Journal of Bifurcation and Chaos 13 (10): 2825–2844. doi:10.1142/S0218127403008259. Bibcode: 2003IJBC...13.2825N.

[4] Nakane, Shizuo (1 June 1993). «Connectedness of the tricorn». Ergodic Theory and Dynamical Systems 13 (2): 349–356. doi:10.1017/S0143385700007409. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2144300&fileId=S0143385700007409. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.

[cornell.edu-5] 5,0 ^5,1 «Multicorns are not path connected» (PDF). Math.cornell.edu. Ανακτήθηκε στις 6 Μαΐου 2017.

[auto1-6] 6,0 ^6,1 Mukherjee, Sabyasachi; Nakane, Shizuo; Schleicher, Dierk (1 May 2017). «On multicorns and unicorns II: bifurcations in spaces of antiholomorphic polynomials». Ergodic Theory and Dynamical Systems 37 (3): 859–899. doi:10.1017/etds.2015.65.

[7] Chongchitnan, Siri (1 Δεκεμβρίου 2023). Exploring University Mathematics with Python. Springer Nature. ISBN 978-3-031-46270-2.

[auto2-8] 8,0 ^8,1 Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2021). «Discontinuity of Straightening in Anti-holomorphic Dynamics: I». Transactions of the American Mathematical Society 374 (9): 6445–6481. doi:10.1090/tran/8381.

[9] Goldberg, Lisa R.; Milnor, John (1993). «Fixed points of polynomial maps. Part II. Fixed point portraits». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 26 (1): 51–98. doi:10.24033/asens.1667. https://eudml.org/doc/82336. Ανακτήθηκε στις 6 May 2017.

[10] Milnor, John W (1999). «Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account». arXiv:math/9905169.

[11] Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2015). «Non-landing parameter rays of the multicorns». Inventiones Mathematicae 204 (3): 869–893. doi:10.1007/s00222-015-0627-3. Bibcode: 2016InMat.204..869I.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]