Στροφοειδές

Στη γεωμετρία, ένα στροφοειδές^[1]^[2] είναι μια καμπύλη που δημιουργείται από μια δεδομένη καμπύλη $C$ και τα σημεία $A$ (το σταθερό σημείο) και $O$ (ο πόλος) ως εξής: Έστω $L$ μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το $O$ και τέμνει τη $C$ στο $K$ . Έστω τώρα P₁ και P₂ τα δύο σημεία της $L$ των οποίων η απόσταση από το $K$ είναι ίδια με την απόσταση από το $A$ στο $K$ (δηλαδή $KP$ ₁ = $KP$ ₂ = $AK$ ). Ο τόπος αυτών των σημείων P₁ και P₂ είναι τότε το στροφοειδές του $C$ ως προς τον πόλο O και το σταθερό σημείο $A$ . Σημειώστε ότι τα $AP$ ₁ και $AP$ ₂ είναι σε ορθή γωνία σε αυτή την κατασκευή.

Στην ειδική περίπτωση όπου η $C$ είναι ευθεία, το $A$ βρίσκεται πάνω στη $C$ και το $O$ δεν βρίσκεται πάνω στη $C$ , τότε η καμπύλη ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές. Εάν, επιπλέον, η $OA$ είναι κάθετη στη $C$ , τότε η καμπύλη ονομάζεται ορθή στροφοειδής ή απλώς στροφοειδής από ορισμένους συγγραφείς. Το δεξιό στροφοειδές ονομάζεται επίσης λογοκυκλική καμπύλη ή φυλλόμορφη καμπύλη.

Εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολικές συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω^[3] ότι η καμπύλη $C$ δίνεται από τη σχέση $r=f(\theta ),$ όπου η αρχή λαμβάνεται ως $O$ . Έστω $A$ το σημείο $(a', b)$ . Αν $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ είναι ένα σημείο της καμπύλης η απόσταση από το $K$ στο $A$ είναι

d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.

Τα σημεία στην ευθεία $OK$ έχουν πολική γωνία $θ$ , και τα σημεία σε απόσταση $d$ από $K$ στην ευθεία αυτή έχουν απόσταση $f(\theta )\pm d$ από την αρχή. Επομένως, η εξίσωση του στροφοειδούς δίνεται από τη σχέση

r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

Καρτεσιανές συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $C$ που δίνεται παραμετρικά από $(x (t), y (t))$ . Έστω $A$ το σημείο $(a, b)$ και έστω $O$ το σημείο $($ p, q). Τότε, με μια απλή εφαρμογή του πολικού τύπου, το στροφοειδές δίνεται παραμετρικά από:

u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),

όπου

n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.

Ένας εναλλακτικός πολικός τύπος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μιγαδική φύση των παραπάνω τύπων περιορίζει τη χρησιμότητά τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Υπάρχει ένας εναλλακτικός τύπος που είναι μερικές φορές απλούστερος στην εφαρμογή. Αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν η $C$ είναι μια τομή Μακλάουριν με πόλους $O$ και $A$ .

Έστω $O$ η αρχή και $A$ το σημείο $(a', 0)$ . Έστω $K$ ένα σημείο της καμπύλης, $θ$ η γωνία μεταξύ OK και του άξονα $x$ και η γωνία μεταξύ AK και του άξονα $x$ }. Ας υποθέσουμε ότι $θ$ μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση $θ$ , ας πούμε $\vartheta =l(\theta ).$ Έστω $ψ$ η γωνία στο $Κ$ , οπότε $\psi =\vartheta -\theta .$ Μπορούμε να προσδιορίσουμε το $r$ ως προς το $l$ χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων. Δεδομένου ότι

{r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.

Έστω P₁ και P₂ τα σημεία του $OK$ που απέχουν απόσταση $AK$ από το $K$ , με αρίθμηση έτσι ώστε $\psi =\angle P_{1}KA$ και $\pi -\psi =\angle AKP_{2}.$ $△ P 1 KA$ είναι ισοσκελής με γωνία κορυφής $ψ$ , οπότε οι υπόλοιπες γωνίες, $\angle AP_{1}K$ και $\angle KAP_{1}$ είναι ${\tfrac {\pi -\psi }{2}}.$ Η γωνία μεταξύ $AP$ ₁ και του $x$ -άξονα είναι τότε

l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.

Με ένα παρόμοιο επιχείρημα, ή απλά χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι $AP$ ₁ και $AP$ ₂ βρίσκονται σε ορθή γωνία, η γωνία μεταξύ $AP$ ₂ και του άξονα $x$ είναι τότε

l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.

Η πολική εξίσωση για το στροφοειδές μπορεί τώρα να προκύψει από l₁ και l₂ από τον παραπάνω τύπο:

{\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}

$C$ είναι μια σέκτα Μακλάουριν με πόλους $O$ και $A$ όταν $l$ είναι της μορφής $q\theta +\theta _{0},$ στην περίπτωση αυτή οι l₁ και l₂ θα έχουν την ίδια μορφή οπότε το στροφοειδές είναι είτε μια άλλη τομή του Μακλάουριν είτε ένα ζεύγος τέτοιων καμπυλών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει επίσης μια απλή πολική εξίσωση για την πολική εξίσωση αν η αρχή μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά $a$ .

Ειδικές περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πλάγια στροφοειδή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $C$ μια ευθεία που διέρχεται από την $A$ . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, $l(\theta )=\alpha$ όπου $α$ είναι μια σταθερά. Τότε $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ και $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.$ Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, που ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές^[4], με αρχή στο $O$ είναι τότε

r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}

και

r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.

Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις περιγράφουν την ίδια καμπύλη.

Μετακίνηση της αρχής στην $A$ (και πάλι, βλέπε Τομή Μακλάουριν) και αντικαθιστώντας $-a$ με $a$ προκύπτει

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},

και η περιστροφή κατά $\alpha$ με τη σειρά της παράγει

r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.

Σε ορθογώνιες συντεταγμένες, με αλλαγή σταθερών παραμέτρων, αυτό είναι

y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.

Πρόκειται για κυβική καμπύλη και, από την έκφραση σε πολικές συντεταγμένες, είναι ρητή. Έχει κόμβο στο $(0, 0)$ και την ευθεία $y = b$ είναι ασυμπτωτική.

Δεξί στροφοειδές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θέτοντας $\alpha =\pi /2$ στο

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

δίνει

r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).

Αυτό ονομάζεται δεξί στροφοειδές^[5] και αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου $C$ είναι ο $y$ -άξονας, $A$ είναι η αρχή και $O$ είναι το σημείο $(a', 0)$ .

Η καρτεσιανή εξίσωση είναι η εξής

y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x).

Η καμπύλη μοιάζει με το Folium του Ντεκάρτ^[6] και η ευθεία x = -a είναι μια ασύμπτωτη σε δύο κλάδους. Η καμπύλη έχει δύο ακόμη ασύμπτωτες, στο επίπεδο με μιγαδικές συντεταγμένες, που δίνονται από

x\pm iy=-a.

Κύκλοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $C$ ένας κύκλος^[7] που διέρχεται από $O$ και $A$ , όπου $O$ είναι η αρχή και $A$ είναι το σημείο $(a, 0)$ . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, $l(\theta )=\alpha +\theta$ όπου $\alpha$ είναι μια σταθερά. Τότε $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ και $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.$ Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, το οποίο ονομάζεται λοξό στροφοειδές, με αρχή στο $O$ είναι τότε

r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}

και

r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.

Αυτές είναι οι εξισώσεις των δύο κύκλων που επίσης διέρχονται από $O$ και $A$ και σχηματίζουν γωνίες $\pi /4$ με $C$ στα σημεία αυτά.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. σελίδες 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.
E. H. Lockwood (1961). «Strophoids». A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. σελίδες 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
R. C. Yates (1952). «Strophoids». A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. σελίδες 217–220.
Weisstein, Eric W., "Strophoid" από το MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Right Strophoid" από το MathWorld.
Sokolov, D.D. (2001), «Strophoid», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=S/s090630
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Right Strophoid», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Right.html .
Hilbert Modular Forms
David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic 1917-1933
Geometry and the Imagination

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Weisstein, Eric W. «Strophoid». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.
↑ «Definition of STROPHOID». www.merriam-webster.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.
↑ «Strophoids, a family of cubic curves with remarkable properties» (PDF).
↑ «oblique strophoid». www.2dcurves.com. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.
↑ «strophoid». www.2dcurves.com. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.
↑ Chisholm, Hugh, επιμ.. (1911) «Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate» Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάννικα 16 (11η έκδοση) Cambridge University Press, σελ. 919
↑ W., Weisstein, Eric. «Circle Strophoid -- from Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[1] Weisstein, Eric W. «Strophoid». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[2] «Definition of STROPHOID». www.merriam-webster.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[3] «Strophoids, a family of cubic curves with remarkable properties» (PDF).

[4] «oblique strophoid». www.2dcurves.com. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[5] «strophoid». www.2dcurves.com. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[6] Chisholm, Hugh, επιμ.. (1911) «Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate» Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάννικα 16 (11η έκδοση) Cambridge University Press, σελ. 919

[7] W., Weisstein, Eric. «Circle Strophoid -- from Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 22 Ιουνίου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]