Πίνακας Πλύκερ

Ο πίνακας Πλύκερ είναι ένας ειδικός αντισυμμετρικός πίνακας 4 × 4 που ταυτίζεται με μια ευθεία γραμμή στον προβολικό χώρο^[1]. Ο πίνακας ορίζεται από 6 συντεταγμένες Πλύκερ με 4 βαθμούς ελευθερίας. Πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Γιούλιους Πλύκερ (Julius Plücker).

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια ευθεία γραμμή στο χώρο ορίζεται από δύο διαφορετικά σημεία $A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ και $B=\left(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ σε ομογενείς συντεταγμένες του προβολικού χώρου^[2]^[3]^[4]. Ο πίνακας Plücker του είναι:

[\mathbf {L} ]_{\times }\propto \mathbf {A} \mathbf {B} ^{\top }-\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\top }=\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)

Όπου το αντισυμμετρικό σύστημα $4\times 4$ -πίνακας ορίζεται από τις 6 συντεταγμένες Πλύκερ

\mathbf {L} \propto (L_{01},L_{02},L_{03},L_{12},L_{13},L_{23})^{\top }

με

L_{ij}=A_{i}B_{j}-B_{i}A_{j}.

Οι συντεταγμένες Πλύκερ πληρούν τις σχέσεις Γκράσμαν-Πλύκερ^[5]

L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}=0

και ορίζονται σε κλίμακα. Ένας πίνακας Πλύκερ έχει μόνο βαθμό 2 και τέσσερις βαθμούς ελευθερίας (όπως οι γραμμές στον $\mathbb {R} ^{3}$ ). Είναι ανεξάρτητοι από μια συγκεκριμένη επιλογή των σημείων $\mathbf {A}$ και $\mathbf {B}$ και μπορούν να θεωρηθούν ως γενίκευση της εξίσωσης της γραμμής, δηλαδή του σταυροειδούς γινομένου τόσο για την τομή (συνάντηση) δύο ευθειών, όσο και για την ευθεία σύνδεσης δύο σημείων στο προβολικό επίπεδο.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πίνακας Πλύκερ μας επιτρέπει να εκφράσουμε τις ακόλουθες γεωμετρικές πράξεις ως γινόμενο πίνακα-διανύσματος:

Το επίπεδο περιέχει γραμμή: $\mathbf {0} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$
$\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$ είναι το σημείο τομής της ευθείας $\mathbf {L}$ και του επιπέδου $\mathbf {E}$ ('Meet')
Το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία: $\mathbf {0} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X}$
$\mathbf {E} =[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }\mathbf {X}$ είναι το κοινό επίπεδο $\mathbf {E}$ , το οποίο περιέχει τόσο το σημείο $\mathbf {X}$ όσο και την ευθεία $\mathbf {L}$ ('Join').
Κατεύθυνση μιας γραμμής: $[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }=[\mathbf {L} ]_{\times }(0,0,0,1)^{\top }=\left(-L_{03},-L_{13},-L_{23},0\right)^{\top }$ (Σημείωση: Το τελευταίο μπορεί να ερμηνευτεί ως ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων)
Το πλησιέστερο σημείο στην αρχή $\mathbf {X} _{0}\cong [\mathbf {L} ]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\pi ^{\infty }.$

Μοναδικότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο αυθαίρετα διακριτά σημεία της ευθείας μπορούν να γραφούν ως γραμμικός συνδυασμός των $\mathbf {A}$ και $\mathbf {B}$ :

\mathbf {A} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta {\text{ και }}\mathbf {B} ^{\prime }\propto \mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta .

Ο πίνακας Πλύκερ τους είναι συνεπώς:

{\begin{aligned}{[}\mathbf {L} ^{\prime }{]}_{\times }&=\mathbf {A} ^{\prime }\mathbf {B} ^{\prime }-\mathbf {B} ^{\prime }\mathbf {A} ^{\prime }\\[6pt]&=(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )^{\top }-(\mathbf {A} \gamma +\mathbf {B} \delta )(\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta )^{\top }\\[6pt]&=\underbrace {(\alpha \delta -\beta \gamma )} _{\lambda }[\mathbf {L} ]_{\times },\end{aligned}}

μέχρι την κλίμακα που ταυτίζεται με την κλίμακα $[\mathbf {L} ]_{\times }$ .

Τομή με επίπεδο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\mathbf {E} =\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}$ συμβολίζει το επίπεδο με την εξίσωση

E_{0}x+E_{1}y+E_{2}z+E_{3}=0.

η οποία δεν περιέχει τη γραμμή $\mathbf {L}$ . Τότε, το διανυσματικό γινόμενο πίνακα με τον πίνακα Πλύκερ περιγράφει ένα σημείο

\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} =\mathbf {A} {\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-\mathbf {B} {\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=\mathbf {A} \alpha +\mathbf {B} \beta ,

η οποία βρίσκεται στην ευθεία $\mathbf {L}$ επειδή είναι γραμμικός συνδυασμός των $\mathbf {A}$ και $\mathbf {B}$ . Η $\mathbf {X}$ περιέχεται επίσης στο επίπεδο $\mathbf {E}$ .

\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {E} ^{\top }[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} ={\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {A} } }}{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {B} ^{\top }\mathbf {E} } }}-{\underset {\beta }{\underbrace {\mathbf {E} ^{\top }\mathbf {B} } }}{\underset {\alpha }{\underbrace {\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {E} } }}=0,

και επομένως πρέπει να είναι το σημείο τομής τους.

Επιπλέον, το γινόμενο του πίνακα Πλύκερ με ένα επίπεδο είναι το μηδενικό διάνυσμα, ακριβώς αν η ευθεία $\mathbf {L}$ περιέχεται εξ ολοκλήρου στο επίπεδο:

\alpha =\beta =0\iff \mathbf {E}

περιέχει

\mathbf {L} .

Δυϊκός πίνακας Πλύκερ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον προβολικό τρισδιάστατο χώρο, τόσο τα σημεία όσο και τα επίπεδα έχουν την ίδια αναπαράσταση ως 4-διανύσματα και η αλγεβρική περιγραφή της γεωμετρικής τους σχέσης (το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο) είναι συμμετρική. Αν αλλάξουμε τους όρους επίπεδο και σημείο σε ένα θεώρημα, λαμβάνουμε ένα δυϊκό θεώρημα το οποίο είναι επίσης αληθές.^[6]

Στην περίπτωση του πίνακα Πλύκερ, υπάρχει μια διπλή αναπαράσταση της ευθείας στο χώρο ως τομή δύο επιπέδων:

E=\left(E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}

και

F=\left(F_{0},F_{1},F_{2},F_{3}\right)^{\top }\in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}

σε ομογενείς συντεταγμένες του προβολικού χώρου. Ο πίνακας Πλύκερ τους είναι:

\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {E} \mathbf {F} ^{\top }-\mathbf {F} \mathbf {E} ^{\top }

και

\mathbf {G} =\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X}

περιγράφει το επίπεδο $\mathbf {G}$ που περιέχει τόσο το σημείο $\mathbf {X}$ όσο και την ευθεία $\mathbf {L}$ .

Σχέση μεταξύ πρωταρχικών και δυϊκών πινάκων Πλύκερ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Καθώς το διάνυσμα $\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E}$ , με ένα αυθαίρετο επίπεδο $\mathbf {E}$ , είναι είτε το μηδενικό διάνυσμα είτε ένα σημείο της ευθείας, προκύπτει:

\forall \mathbf {E} \in \mathbb {R} {\mathcal {P}}^{3}:\,\mathbf {X} =[\mathbf {L} ]_{\times }\mathbf {E} {\text{ lies on }}\mathbf {L} \iff \left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }\mathbf {X} =\mathbf {0} .

Επομένως:

\left([{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }[\mathbf {L} ]_{\times }\right)^{\top }=[\mathbf {L} ]_{\times }\left[{\tilde {\mathbf {L} }}\right]_{\times }=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{4\times 4}.

Το ακόλουθο γινόμενο πληροί αυτές τις ιδιότητες:

{\begin{aligned}&\left({\begin{array}{cccc}0&L_{23}&-L_{13}&L_{12}\\-L_{23}&0&L_{03}&-L_{02}\\L_{13}&-L_{03}&0&L_{01}\\-L_{12}&L_{02}&-L_{01}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-L_{01}&-L_{02}&-L_{03}\\L_{01}&0&-L_{12}&-L_{13}\\L_{02}&L_{12}&0&-L_{23}\\L_{03}&L_{13}&L_{23}&0\end{array}}\right)\\[10pt]={}&\left(L_{01}L_{23}-L_{02}L_{13}+L_{03}L_{12}\right)\cdot \left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=\mathbf {0} ,\end{aligned}}

λόγω της σχέσης Γκράσμαν-Πλύκερ. Με τη μοναδικότητα των πινάκων Πλύκερ μέχρι το βαθμωτό πολλαπλάσιο, για τις πρωταρχικές συντεταγμένες Πλύκερ

\mathbf {L} =\left(L_{01},\,L_{02},\,L_{03},\,L_{12},\,L_{13},\,L_{23}\right)^{\top }

προκύπτει η ακόλουθη διπλή συντεταγμένη Πλύκερ:

{\tilde {\mathbf {L} }}=\left(L_{23},\,-L_{13},\,L_{12},\,L_{03},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }.

Στο προβολικό επίπεδο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δυϊκότητα των πράξεων σύνδεσης και συνάντησης σε δισδιάστατο χώρο.

Η "ένωση" δύο σημείων στο προβολικό επίπεδο είναι η πράξη της σύνδεσης δύο σημείων με μια ευθεία γραμμή. Η εξίσωση της ευθείας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το διασταυρούμενο γινόμενο:

\mathbf {l} \propto \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\\b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}\\a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}l_{0}\\l_{1}\\l_{2}\end{array}}\right).

Αντίστροφα, μπορεί κανείς να εκφράσει τη "συνάντηση" ή την τομή δύο ευθειών με το διασταυρούμενο γινόμενο:

\mathbf {x} \propto \mathbf {l} \times \mathbf {m}

Η σχέση με τους πίνακες Πλύκερ γίνεται εμφανής, αν γράψουμε το διασταυρούμενο γινόμενο ως γινόμενο πίνακα-διανύσματος με έναν αντισυμμετρικό πίνακα:

[\mathbf {l} ]_{\times }=\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\top }-\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\top }=\left({\begin{array}{ccc}0&l_{2}&-l_{1}\\-l_{2}&0&l_{0}\\l_{1}&-l_{0}&0\end{array}}\right)

και κατ' αναλογία $[\mathbf {x} ]_{\times }=\mathbf {l} \mathbf {m} ^{\top }-\mathbf {m} \mathbf {l} ^{\top }$

Γεωμετρική ερμηνεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\mathbf {d} =\left(-L_{03},\,-L_{13},\,-L_{23}\right)^{\top }$ and $\mathbf {m} =\left(L_{12},\,-L_{02},\,L_{01}\right)^{\top }$ , then we can write^[7]

[\mathbf {L} ]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[\mathbf {m} ]_{\times }&\mathbf {d} \\-\mathbf {d} &0\end{array}}\right)

και

[{\tilde {\mathbf {L} }}]_{\times }=\left({\begin{array}{cc}[-\mathbf {d} ]_{\times }&\mathbf {m} \\-\mathbf {m} &0\end{array}}\right),

όπου $\mathbf {d}$ είναι η μετατόπιση και $\mathbf {m}$ είναι η ροπή της ευθείας, συγκρίνετε τη γεωμετρική διαίσθηση των συντεταγμένων Πλύκερ.

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Richter-Gebert, Jürgen (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Projective Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
Jorge Stolfi (1991). Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations. Academic Press. ISBN 978-1483247045.
From original Stanford University 1988 Ph.D. dissertation, Primitives for Computational Geometry, available as [1].
Blinn, James F. (Aug 1977). «A homogeneous formulation for lines in 3 space». ACM SIGGRAPH Computer Graphics 11 (2): 237–241. doi:10.1145/965141.563900. ISSN 0097-8930.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
Computer Vision
Heegner Modules and Elliptic Curves
Modular Forms and String Duality
Advances in Visual Computing: 4th International Symposium, ISVC 2008, Las ...
Uncertain Projective Geometry: Statistical Reasoning for Polyhedral Object ...

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «Computer Vision - Dual Plücker Matrix. • Dual Plücker matrix:» (PDF).
↑ «Homogeneous Coordinates - University of Calgary» (PDF).
↑ «[En] Notes on Plücker Coordinate». A L I D A (στα Κορεατικά). 17 Ιανουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.
↑ «Plücker coordinates - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.
↑ Carrillo-Pacheco, Jesús (2024-01). «On Lagrangian Grassmannian Variety and Plücker Matrices» (στα αγγλικά). Mathematics 12 (6): 858. doi:10.3390/math12060858. ISSN 2227-7390. https://www.mdpi.com/2227-7390/12/6/858.
↑ «Projective 3D Geometry» (PDF).
↑ «Geometric Interpretation of System of Equations». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.

[1] «Computer Vision - Dual Plücker Matrix. • Dual Plücker matrix:» (PDF).

[2] «Homogeneous Coordinates - University of Calgary» (PDF).

[3] «[En] Notes on Plücker Coordinate». A L I D A (στα Κορεατικά). 17 Ιανουαρίου 2023. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.

[4] «Plücker coordinates - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.

[5] Carrillo-Pacheco, Jesús (2024-01). «On Lagrangian Grassmannian Variety and Plücker Matrices» (στα αγγλικά). Mathematics 12 (6): 858. doi:10.3390/math12060858. ISSN 2227-7390. https://www.mdpi.com/2227-7390/12/6/858.

[6] «Projective 3D Geometry» (PDF).

[7] «Geometric Interpretation of System of Equations». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουνίου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]