Πίνακας Καρτάν

Στα μαθηματικά, ο όρος πίνακας Καρτάν^[1]^[2] έχει τρεις έννοιες. Όλες αυτές πήραν το όνομά τους από τον Γάλλο μαθηματικό Ελί Καρτάν. Είναι αξιοσημείωτο ότι οι πίνακες Καρτάν στο πλαίσιο των αλγεβρών Λι ερευνήθηκαν για πρώτη φορά από τον Βίλχελμ Κίλινγκ, ενώ η μορφή Κίλινγκ οφείλεται στον Καρτάν.

Άλγεβρες Λι

Ένας («συμμετρικός») γενικευμένος πίνακας Καρτάν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας $A=(a_{ij})$ με ακέραιες εγγραφές τέτοιες ώστε

Για τις διαγώνιες εγγραφές, $a_{ii}=2$ .
Για μη διαγώνιες εγγραφές, $a_{ij}\leq 0$ .
$a_{ij}=0$ αν και μόνο αν $a_{ji}=0$
$A$ μπορεί να γραφεί ως $DS$ , όπου $D$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας και $S$ είναι ένας συμμετρικός πίνακας.

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας Καρτάν για το G₂ μπορεί να αναλυθεί ως εξής:

{\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.

Η τρίτη προϋπόθεση δεν είναι ανεξάρτητη, αλλά αποτελεί στην πραγματικότητα συνέπεια της πρώτης και της τέταρτης προϋπόθεσης.

Μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ένα D με θετικές διαγώνιες εισόδους. Σε αυτή την περίπτωση, αν ο S στην παραπάνω ανάλυση είναι θετικά ορισμένος, τότε ο A λέγεται ότι είναι ένας πίνακας Καρτάν.

Ο πίνακας Καρτάν μιας απλής άλγεβρας Λί είναι ο πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι τα βαθμωτά γινόμενα

a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}

^[3]

(μερικές φορές αποκαλούνται ακέραιοι αριθμοί Καρτάν) όπου r_i είναι οι απλές ρίζες της άλγεβρας. Οι καταχωρήσεις είναι ολοκληρωμένες από μία από τις ιδιότητες των ριζών. Η πρώτη συνθήκη προκύπτει από τον ορισμό, η δεύτερη από το γεγονός ότι για $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ είναι μια ρίζα που αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των απλών ριζών r_i και r_j με θετικό συντελεστή για το r_j και, επομένως, ο συντελεστής για το r_i πρέπει να είναι μη αρνητικός. Το τρίτο ισχύει επειδή η ορθογωνιότητα είναι μια συμμετρική σχέση. Και τέλος, έστω $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ και $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ . Επειδή οι απλές ρίζες καλύπτουν έναν ευκλείδειο χώρο, το S είναι θετικά ορισμένο.

Αντίστροφα, δεδομένου ενός γενικευμένου πίνακα Καρτάν, μπορεί κανείς να ανακτήσει την αντίστοιχη άλγεβρα Λι. (Βλέπε άλγεβρα Κακ-Μούντυ για περισσότερες λεπτομέρειες).

Ταξινόμηση

Ένας $n\times n$ πίνακας A είναι αποσυνθέσιμος εάν υπάρχει ένα μη κενό κατάλληλο υποσύνολο $I\subset \{1,\dots ,n\}$ τέτοιο ώστε $a_{ij}=0$ όποτε $i\in I$ και $j\notin I$ . Το A είναι μη αποσυνθέσιμο αν δεν είναι αποσυνθέσιμο.

Έστω A ένας μη διασπώμενος γενικευμένος πίνακας Καρτάν. Λέμε ότι ο A είναι πεπερασμένου τύπου αν όλα τα κύρια ελάχιστά του είναι θετικά, ότι ο A είναι αφινικού τύπου αν τα κατάλληλα κύρια ελάχιστά του είναι θετικά και ο A έχει ορίζουσα 0, και ότι ο A είναι απροσδιόριστου τύπου αλλιώς.

Οι πεπερασμένου τύπου αδιάσπαστοι πίνακες ταξινομούν τις απλές άλγεβρες Λι πεπερασμένης διάστασης (των τύπων $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ ), ενώ οι αφινικού τύπου αδιάσπαστοι πίνακες ταξινομούν τις αφινικές άλγεβρες Λι (π.χ. πάνω σε κάποιο αλγεβρικά κλειστό σώμα χαρακτηριστικού 0).

Ορίζουσες των πινάκων Καρτάν των απλών αλγεβρών Λι

Οι ορίζουσες των πινάκων Καρτάν των απλών αλγεβρών Λι δίνονται στον ακόλουθο πίνακα (μαζί με A₁=B₁=C₁, B₂=C₂, D₃=A₃, D₂=A₁A₁, E₅=D₅, E₄=A₄, and E₃=A₂A₁).^[4]

A_n	B_n	C_n	D_n n ≥ 3	E_n 3 ≤ n ≤ 8	F₄	G₂
n + 1	2	2	4	9 − n	1	1

Μια άλλη ιδιότητα αυτής της ορίζουσας είναι ότι είναι ίση με το δείκτη του σχετικού συστήματος ριζών, δηλαδή είναι ίση με $|P/Q|$ όπου $P, Q$ συμβολίζουν το πλέγμα βαρών και το πλέγμα ριζών, αντίστοιχα.

Αναπαραστάσεις πεπερασμένης διάστασης αλγεβρών

Στη θεωρία των modular απεικονίσεων, και γενικότερα στη θεωρία των απεικονίσεων των πεπερασμένων διαστάσεων συσχετιστικών αλγεβρών A που δεν είναι ημιμονοσήμαντες, ένας πίνακας Καρτάν ορίζεται θεωρώντας ένα (πεπερασμένο) σύνολο κύριων μη διασπώμενων ενοτήτων και γράφοντας σειρές σύνθεσης γι' αυτές ως προς τις μη αναγώγιμες ενότητες, δίνοντας έναν πίνακα ακεραίων αριθμών που μετρά τον αριθμό των εμφανίσεων ενός μη αναγώγιμου πρότυπου.

Ταξινόμηση μη ανασυνθέσιμων πινάκων Καρτάν

Ορίζουμε όλους τους μη ανασυνθέσιμους πίνακες Καρτάν (εκτός από την ισοδυναμία). Η ονομασία στην ακόλουθη απαρίθμηση ακολουθεί τη συνήθη ταξινόμηση των πεπερασμένων διαστάσεων απλών αλγεβρών Λι ^[5]^[6]

A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1

B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2

C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3

D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4

E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}

E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}

E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}

F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}

G_{2}={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}

Πίνακες Καρτάν στη Μ-θεωρία

Στη Μ-θεωρία, μπορεί κανείς να θεωρήσει μια γεωμετρία με δύο κύκλους που τέμνονται μεταξύ τους σε πεπερασμένο αριθμό σημείων, στο όριο όπου το εμβαδόν των δύο κύκλων μηδενίζεται. Σε αυτό το όριο, εμφανίζεται μια τοπική ομάδα συμμετρίας. Ο πίνακας των αριθμών τομής μιας βάσης των δύο κύκλων εικάζεται ότι είναι ο πίνακας Καρτάν της άλγεβρας Λί της τοπικής αυτής ομάδας συμμετρίας^[7].

Αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Στη Μ-θεωρία έχουμε σολιτόνια τα οποία είναι δισδιάστατες επιφάνειες που ονομάζονται μεμβράνες ή 2-μεμβράνες. Μια 2-μεμβράνη έχει μια τάση και έτσι τείνει να συρρικνώνεται, αλλά μπορεί να τυλίγεται γύρω από ένα δίκυκλο που την εμποδίζει να συρρικνωθεί στο μηδέν.

Επομένως, μπορεί κανείς να συμπυκνώσει μια διάσταση που μοιράζονται όλοι οι δύο κύκλοι και τα σημεία τομής τους και στη συνέχεια να πάρει το όριο όπου αυτή η διάσταση συρρικνώνεται στο μηδέν, επιτυγχάνοντας έτσι μια μείωση των διαστάσεων πάνω σε αυτή τη διάσταση. Κατόπιν προκύπτει η θεωρία χορδών τύπου ΙΙΑ ως όριο της Μ-θεωρίας, με τις 2-βράνες που τυλίγουν έναν δίκυκλο και περιγράφονται τώρα από μια ανοιχτή χορδή που τεντώνεται μεταξύ των D-βρανών. Υπάρχει μια τοπική ομάδα συμμετρίας U(1) για κάθε D-μεμβράνη, που μοιάζει με τον βαθμό ελευθερίας της μετακίνησής της χωρίς να αλλάζει ο προσανατολισμός της. Το όριο όπου οι δύο κύκλοι έχουν μηδενικό εμβαδόν είναι το όριο όπου αυτές οι D-βράνες είναι η μία πάνω στην άλλη, έτσι ώστε να έχουμε μια ενισχυμένη τοπική ομάδα συμμετρίας.

Τώρα, μια ανοιχτή χορδή που τεντώνεται μεταξύ δύο D-βρανών αντιπροσωπεύει μια γεννήτρια άλγεβρας Λι, και ο αντιμεταθέτης δύο τέτοιων γεννητριών είναι μια τρίτη, που αντιπροσωπεύεται από μια ανοιχτή χορδή, την οποία παίρνουμε κολλώντας τις άκρες δύο ανοιχτών χορδών. Η τελευταία σχέση μεταξύ διαφορετικών ανοιχτών χορδών εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να τέμνονται οι 2-βράνες στην αρχική M-θεωρία, δηλαδή στους αριθμούς τομής των δύο κύκλων. Έτσι, η άλγεβρα Λι εξαρτάται εξ ολοκλήρου από αυτούς τους αριθμούς τομής. Η ακριβής σχέση με τον πίνακα Καρτάν οφείλεται στο γεγονός ότι ο τελευταίος περιγράφει τους αντιμεταθέτες των απλών ριζών, οι οποίοι σχετίζονται με τους δικύκλους στη βάση που έχει επιλεγεί.

Οι γεννήτορες στην υποάλγεβρα Καρτάν αναπαρίστανται από ανοικτές χορδές που τεντώνονται μεταξύ μιας D-βράνης και του εαυτού της.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. σελίδες 126–132. ISBN 0-486-42000-0.
Fulton, William· Harris, Joe (1991). Representation theory: A first course. Graduate Texts in Mathematics. 129. Springer-Verlag. σελ. 334. ISBN 0-387-97495-4.
Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. 9. Springer-Verlag. σελίδες 55–56. doi:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN 0-387-90052-7.
Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6. .

Παραπομπές

↑ Weisstein, Eric W. «Cartan Matrix». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2024.
↑ «Cartan matrix - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2024.
↑ Georgi, Howard (22 Οκτωβρίου 1999). Lie Algebras in Particle Physics (2 έκδοση). Westview Press. σελ. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
↑ Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices
↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem.
↑ Sen, Ashoke (1997). «A Note on Enhanced Gauge Symmetries in M- and String Theory». Journal of High Energy Physics 1997 (9): 001. doi:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

[1] Weisstein, Eric W. «Cartan Matrix». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2024.

[2] «Cartan matrix - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2024.

[3] Georgi, Howard (22 Οκτωβρίου 1999). Lie Algebras in Particle Physics (2 έκδοση). Westview Press. σελ. 115. ISBN 0-7382-0233-9.

[4] Cartan-Gram determinants for the simple Lie Groups Alfred C. T. Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, November 1982

[5] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices

[6] James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem.

[7] Sen, Ashoke (1997). «A Note on Enhanced Gauge Symmetries in M- and String Theory». Journal of High Energy Physics 1997 (9): 001. doi:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]