Νόμος των Μπιο-Σαβάρ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ηλεκτρομαγνητισμός
\Phi_B = \oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0
Ηλεκτρισμός · Μαγνητισμός
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής Β μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιο-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: curl A = B, όπου το A μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του B. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου Β στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς η δύναμη Λόρεντζ παρέχει τη λύση του πεδίου Ε.

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex)[1] [2] [3].

Εισαγωγή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ και η δύναμη Λόρεντζ είναι τόσο θεμελιώδεις για τον ηλεκτρομαγνητισμό, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

I d\mathbf{l},

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

 d\mathbf{B} = K_m \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}

όπου

K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} \,, όπου \mu_0 είναι η μαγνητική σταθερά,
I\mathbf{} είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,
d\mathbf{l} είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,
\mathbf{\hat r} είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,
r\mathbf{} είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος j:

\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dv}

όπου

\mathbf{\hat{r}} =  { \mathbf{r} \over r } είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του r και
dv = είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος I, το μαγνητικό πεδίο Β είναι

 \mathbf B = K_m I \int \frac{d\mathbf l \times \mathbf{\hat r}}{r^2}

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου q\mathbf{} που κινείται με σταθερή ταχύτητα \mathbf{v}, η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή:

 \mathbf{B} = K_m \frac{  q \mathbf{v} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}

Μικροσκοπική κλίμακα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη μικροσκοπική κλίμακα, ο νόμος των Μπιο-Σαβάρ γίνεται

 \mathbf{H} = \epsilon \mathbf{v} \times \mathbf{E}

όπου η λύση στο \mathbf{E} είναι η δύναμη Κουλόμπ, και όπου

\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}

οπότε,


\mathbf{B} = \mathbf{v}\times \frac{1}{c^2}\mathbf{E}


Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόσωπα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ηλεκτρομαγνητισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed. έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. εισαγωγή στην αεροδυναμική (παρουσίαση στα αγγλικά)
  2. λύσεις της εξίσωσης Laplace σε 3D
  3. "απόδειξη" του νόμου Biot-Savart στην αεροδυναμική

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]