Μορφοκλασματική ακολουθία

Στα μαθηματικά, μια "μορφοκλασματική ακολουθία" είναι μια ακολουθία που περιέχει τον εαυτό της ως υποακολουθία. Εδώ είναι ένα παράδειγμα

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Εάν η πρώτη εμφάνιση κάθε n διαγραφεί, η εναπομένουσα ακολουθία είναι πανομοιότυπη με την αρχική. Η διαδικασία μπορεί να επαναλαμβάνεται επ' άπειρον, έτσι ώστε στην πραγματικότητα η αρχική ακολουθία να μην περιέχει μόνο ένα αντίγραφο του εαυτού της, αλλά έναν άπειρο αριθμό.

Ορισμός

Ο ακριβής ορισμός της μορφοκλασματικής ακολουθίας εξαρτάται από έναν προκαταρκτικό ορισμό: μια ακολουθία x = (x_n)) είναι μια απειροστική ακολουθία αν για κάθε i,

(F1) x_n = i για άπειρα πολλά n.

Έστω a(i,j) ο jth δείκτης n για τον οποίο x_n = i. Μια άπειρη ακολουθία x είναι μορφοκλασματική ακολουθία αν ισχύουν δύο πρόσθετες συνθήκες:

(F2) έαν i+1 = x_n, τότε υπάρχει m < n τέτοιο ώστε

$i=x_{m}$

(F3) έαν h < i τότε για κάθε j υπάρχει ακριβώς ένα k τέτοιο ώστε

$a(i,j)<a(h,k)<a(i,j+1).$

Σύμφωνα με το (F2), η πρώτη εμφάνιση κάθε i > 1 στο x πρέπει να προηγείται τουλάχιστον μία φορά από κάθε έναν από τους αριθμούς 1, 2, ..., i-1, και σύμφωνα με το (F3), μεταξύ διαδοχικών εμφανίσεων του i στο x, κάθε h μικρότερο από το i εμφανίζεται ακριβώς μία φορά.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι ο θ είναι ένας θετικός άρρητος αριθμός. Έστω

S(θ) = το σύνολο των αριθμών c + dθ, όπου c και d είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί

και έστω

c_n(θ) + θd_n(θ)

είναι η ακολουθία που προκύπτει από την τοποθέτηση των αριθμών στο S(θ) σε αύξουσα σειρά. Η ακολουθία c_n(θ) είναι η υπογραφή του θ και είναι μια μορφοκλασματική ακολουθία.

Παραδείγματος χάριν, η υπογραφή της χρυσής τομής (δηλαδή, θ = (1 + sqrt(5))/2) αρχίζει με

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...

και η υπόδειξη του 1/θ = θ - 1 αρχίζει με

1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...

Πρόκειται για τις ακολουθίες OEIS: A084531 και OEIS: A084532 στην On-Line Εγκυκλοπαίδεια Ακέραιων Ακολουθιών, όπου δίνονται περαιτέρω παραδείγματα από διάφορα αριθμοθεωρητικά και συνδυαστικά περιβάλλοντα.

Βιβιογραφία

• C* - Algebras and Numerical Analysis
• Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning
• Advanced Computational and Communication Paradigms
• Algorithm Engineering: 5th International Workshop, WAE 2001 Aarhus T.5
• The Oxford Handbook of Algorithmic Music

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Η online Εγκυκλοπαίδεια των ακεραίων ακολουθιών:
  • Ακολουθία OEIS A002260 (Τρίγωνο T(n,k) = k για k = 1..n)
  • Ακολουθία OEIS A004736 (Τρίγωνο που διαβάζεται κατά σειρές: η σειρά n απαριθμεί τους πρώτους n θετικούς ακέραιους αριθμούς σε φθίνουσα σειρά)
  • Ακολουθία OEIS A003603 (Μορφοκλασματική ακολουθία που λαμβάνεται από τους αριθμούς Fibonacci (ή τον πίνακα Wythoff))
  • Ακολουθία OEIS A112382 (Αυτοπεριγραφική μορφοκλασματική ακολουθία: η ακολουθία περιέχει κάθε θετικό ακέραιο)
  • Ακολουθία OEIS A122196 (Μορφοκλασματική ακολουθία: αντίστροφη μέτρηση κατά 2 από διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς)
  • Ακολουθία OEIS A022446 (Μορφοκλασματική ακολουθία της διασποράς των σύνθετων αριθμών)
  • Ακολουθία OEIS A022447 (Μορφοκλασματική ακολουθία της διασποράς των πρώτων αριθμών)
  • Ακολουθία OEIS A125158 (Η Μορφοκλασματική ακολουθία που συνδέεται με την A125150)
  • Ακολουθία OEIS A125159 (Η Μορφοκλασματική ακολουθία που συνδέεται με την A125151)
  • Ακολουθία OEIS A108712 (Μορφοκλασματική ακολουθία, (οι σχεδόν φυσικοί αριθμοί))

• Kimberling, Clark (1997). "Fractal sequences and interspersions". Ars Combinatoria. 45: 157–168. Zbl 0932.11016.

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ
• Χαλί του Σιερπίνσκι
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν
• Σύστημα-L