Μέτρο (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Μέτρο (Μαθηματικά))
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα με τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων
  • Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το ή το εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Εξωτερικό μέτρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα σύνολο X, και έστω το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • Αν , τότε .
  • Αν είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε .

Σ-περατότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε , υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων με τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή .