Μέτρο (μαθηματικά)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
(Ανακατεύθυνση από Μέτρο (Μαθηματικά))
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση


Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση \mu:\Sigma\rightarrow[0, +\infty] ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα \Sigma με τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή \{E_i\}_{i\in I} ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων
 \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i).
  • Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:
\mu(\varnothing)=0.

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το \mathbb{R} ή το \mathbb{C} εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Εξωτερικό μέτρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ένα σύνολο X, και έστω \mathcal{P}(X) το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση \mu:\mathcal{P}(X)\rightarrow[0, +\infty] με τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • \mu(\varnothing) = 0.
  • Αν A\subseteq B\subseteq X, τότε \mu(A)\leq\mu(B).
  • Αν \{A_n\} είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε \mu\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr) \leq \sum_n\mu(A_n).

Σ-περατότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω (X, \Sigma, \mu) ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε E \in \Sigma, υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων {A_n} με \bigcup_n A_n = E τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή \mu(A_i) < +\infty.