Μέθοδος Νιούτον

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην αριθμητική ανάλυση η Μέθοδος Νιούτον (γνωστή και ως μέθοδος Νιούτον-Ράφσον, Newton-Raphson), είναι μία από τις καλύτερες μεθόδους διαδοχικών προσεγγίσεων για την προσεγγιστική εύρεση των ριζών μιας πραγματικής συνάρτησης. Η μέθοδος Νιούτον είναι ικανή να συγκλίνει σημαντικά γρήγορα, ειδικά αν η επαναληπτική διαδικασία ξεκινήσει «αρκετά κοντά» στην ζητούμενη λύση. Το πόσο «αρκετά κοντά» πρέπει να είναι εξαρτάται από το πρόβλημα. Αν η μέθοδος ξεκινήσει μακρυά από την επιθυμητή λύση υπάρχει πιθανότητα να μην συγκλίνει. Έτσι καλές υλοποιήσεις της μεθόδου θεωρούνται αυτές που έχουν ενσωματωμένη διαδικασία εντοπισμού και ενδεχομένως αποφυγής της μη σύγκλισης.

Με δεδομένη την συνάρτηση ƒ(x) και την παράγωγό της ƒ '(x), ξεκινώντας με ένα τυχαίο x0 μία καλύτερη προσέγγιση x1 είναι η

x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

Μια σημαντική και κάπως απρόβλεπτη εφαρμογή της μεθόδου είναι η διαίρεση Νιούτον-Ράφσον, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την γρήγορη εύρεση του αντίστροφου ενός αριθμού χρησιμοποιώντας μόνο πολλαπλασιασμό και αφαίρεση.

Ο αλγόριθμος είναι ο πρώτος της κλάσης της μεθόδου Χάουσχόλντερ, και τον διαδέχεται ή μέθοδος Χάλεϊ.

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Newton's method της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).