Θεώρημα Μπεζού (πολυώνυμα)

Στην άλγεβρα, το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.

Θεώρημα (Μπεζού) — Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο και $Q(x)=x-r$. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $Q(x)$ είναι $R(x)=P(r)$.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=x^{4}-9x^{2}+2x-2$ και $Q(x)=x-3$. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $Q$ είναι $P(3)=4$.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι

$P(x)=(x-3)\cdot (x^{3}+3x^{2}+2)+4,$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με $P(3)=4$.

Παράδειγμα 2ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=3x^{4}+2x+5$ και $Q(x)=x-2$. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $Q$ είναι $P(2)=7$.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι

$P(x)=(x-2)\cdot (3x^{4}+2x+5)+7,$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με $P(2)=7$.

Παράδειγμα 3ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=x^{n}-y^{n}$. Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι

$P(x)=(x-y)\cdot (x^{n-1}+yx^{n-2}+\ldots +y^{n-2}x+y^{n-1}),$

και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το $Q(x)=x-y$ είναι μηδέν (που είναι ίσο με $P(y)=0$).

Αποδείξεις

Απόδειξη (με Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων)  

Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα $\Pi (x)$ και $R(x)$ με $\operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (Q)$, τέτοια ώστε

$P(x)=\Pi (x)\cdot Q(x)+R(x).$

Επομένως, όταν το $Q(x)=x-r$, τότε έχουμε ότι

$P(x)=\Pi (x)\cdot (x-r)+R.$

Για $x=r$, λαμβάνουμε ότι $P(r)=R$.

Απόδειξη (με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων)  

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε $x,y\in \mathbb {R}$ και $r\in \mathbb {N}$,

$x^{r}-y^{r}=(x-y)\cdot (x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1})$.

και θα γράψουμε $S_{r}=x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1}$. Επομένως,

${\begin{aligned}P(x)-P(r)&=(a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0})-(a_{n}r^{n}+\ldots +a_{1}r+a_{0})\\&=a_{n}\cdot (x^{n}-r^{n})+\ldots +a_{1}\cdot (x-r)\\&=a_{n}\cdot (x-r)\cdot S_{n}+\ldots +a_{1}\cdot (x-r)\cdot S_{1}\\&=(x-r)\cdot (a_{n}S_{n}+\ldots +a_{1}S_{1}).\end{aligned}}$

Επομένως,

$P(x)=(x-r)\cdot (a_{n}S_{n}+\ldots +a_{1}S_{1})+P(r),$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι $P(r)$.

Συνέπειες

Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι $P(r)=0$ ανν το $r$ είναι ρίζα.

Πόρισμα — Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο και $Q(x)=x-r$. Τότε το $Q$ είναι παράγοντας του $P$ ανν το $r$ είναι ρίζα του $P$.

Πόρισμα — Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο και $Q(x)=ax+b$. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ και του $Q$ είναι $P(-b/a)$.

Δείτε επίσης

• Πολυώνυμο
• Θεώρημα διαίρεσης για πολυώνυμα