Θεώρημα Κράμερ (αλγεβρικές καμπύλες)

Στην αλγεβρική γεωμετρία, το θεώρημα Κράμερ (αλγεβρικές καμπύλες)^[1] δίνει τον αναγκαίο και επαρκή αριθμό σημείων στο πραγματικό επίπεδο που εμπίπτουν σε μια αλγεβρική καμπύλη για τον μοναδικό προσδιορισμό της καμπύλης σε μη εκφυλισμένες περιπτώσεις. Ο αριθμός αυτός είναι

{\frac {n(n+3)}{2}},

όπου $n$ είναι ο βαθμός της καμπύλης. Το θεώρημα οφείλεται στον Γκαμπριέλ Κράμερ^[2], ο οποίος το δημοσίευσε το 1750.^[3]

Παραδείγματος χάριν, μια ευθεία (βαθμού 1) καθορίζεται από 2 διακριτά σημεία της: μία και μόνο μία ευθεία διέρχεται από αυτά τα δύο σημεία. Ομοίως, μια μη εκφυλισμένη κωνική (πολυωνυμική εξίσωση στα $x$ και $y$ όπου το άθροισμα των δυνάμεων κάθε όρου δεν υπερβαίνει το 2, άρα με βαθμό 2) προσδιορίζεται μοναδικά από 5 σημεία σε γενική θέση (τρία από τα οποία δεν βρίσκονται πάνω σε ευθεία).

Η διαίσθηση για την περίπτωση των κωνικών έχει ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι τα συγκεκριμένα σημεία εμπίπτουν σε μια έλλειψη. Πέντε στοιχεία είναι τότε απαραίτητα και επαρκή για την αναγνώριση της έλλειψης: η οριζόντια θέση του κέντρου της έλλειψης, η κατακόρυφη θέση του κέντρου, ο μεγάλος άξονας (το μήκος της μεγαλύτερης χορδής), ο μικρός άξονας (το μήκος της μικρότερης χορδής που διέρχεται από το κέντρο, κάθετα στον μεγάλο άξονα) και ο προσανατολισμός περιστροφής της έλλειψης (ο βαθμός στον οποίο ο μεγάλος άξονας αποκλίνει από την οριζόντια). Πέντε σημεία της γενικής θέσης αρκούν για την παροχή αυτών των πέντε πληροφοριών, ενώ τέσσερα σημεία δεν αρκούν.

Παραγωγή του τύπου

Ο αριθμός των διακριτών όρων^[4] (συμπεριλαμβανομένων εκείνων με μηδενικό συντελεστή) σε μια εξίσωση n-th βαθμού σε δύο μεταβλητές (n + 1)(n + 2) / 2. Αυτό συμβαίνει επειδή οι όροι n-th βαθμού είναι $x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},$ αριθμώντας συνολικά n + 1. Οι όροι (n − 1) βαθμού είναι $x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},$ που αριθμούν συνολικά n- και ούτω καθεξής μέσω των όρων πρώτου βαθμού $x$ και $y,$ , που αριθμούν συνολικά 2, και του μοναδικού όρου μηδενικού βαθμού (η σταθερά). Το άθροισμα αυτών είναι (n + 1) + n + (n − 1) + ... + 2 + 1 = (n + 1)(n + 2) / 2 όροι, ο καθένας με τον δικό του συντελεστή. Ωστόσο, ένας από αυτούς τους συντελεστές είναι περιττός για τον προσδιορισμό της καμπύλης, επειδή μπορούμε πάντα να διαιρέσουμε μέσω της πολυωνυμικής εξίσωσης με οποιονδήποτε από τους συντελεστές, δίνοντας μια ισοδύναμη εξίσωση με έναν συντελεστή σταθερό στο 1, και έτσι [(n + 1)(n + 2) / 2] − 1 = n(n + 3) / 2 εναπομείναντες συντελεστές.

Παραδείγματος χάριν, μια εξίσωση τέταρτου βαθμού έχει τη γενική μορφή

x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,

με 4(4+3)/2 = 14 συντελεστές.

Ο προσδιορισμός μιας αλγεβρικής καμπύλης μέσω ενός συνόλου σημείων περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των τιμών αυτών των συντελεστών στην αλγεβρική εξίσωση έτσι ώστε κάθε ένα από τα σημεία να ικανοποιεί την εξίσωση. Με δεδομένα n(n + 3) / 2 σημείων (x_i, y_i), κάθε ένα από αυτά τα σημεία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μιας ξεχωριστής εξίσωσης αντικαθιστώντας το στη γενική πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n, δίνοντας n(n + 3) / 2 γραμμικές εξισώσεις στους n(n + 3) / 2 άγνωστους συντελεστές. Εάν αυτό το σύστημα είναι μη εκφυλισμένο με την έννοια ότι έχει μη μηδενική ορίζουσα, οι άγνωστοι συντελεστές προσδιορίζονται μοναδικά και, κατά συνέπεια, η πολυωνυμική εξίσωση και η καμπύλη της προσδιορίζονται μοναδικά. Περισσότερα από αυτόν τον αριθμό σημείων θα ήταν περιττά, ενώ λιγότερα θα ήταν ανεπαρκή για τη μοναδική επίλυση του συστήματος εξισώσεων για τους συντελεστές.

Εκφυλισμένες περιπτώσεις

Ένα παράδειγμα μιας εκφυλισμένης περίπτωσης, στην οποία n(n + 3) / 2 σημεία της καμπύλης δεν επαρκούν για τον μοναδικό προσδιορισμό της καμπύλης, δόθηκε από τον Κράμερ στο πλαίσιο του παράδοξου του Κράμερ. Έστω ότι ο βαθμός είναι n = 3 και έστω ότι εννέα σημεία είναι όλοι οι συνδυασμοί των x = −1, 0, 1 και y = −1, 0, 1. Περισσότερα από ένα κυβικά περιέχουν όλα αυτά τα σημεία, δηλαδή όλα τα κυβικά της εξίσωσης $a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.$ Έτσι, τα σημεία αυτά δεν προσδιορίζουν ένα μοναδικό κυβικό, παρόλο που υπάρχουν n(n + 3) / 2 = 9 από αυτά. Γενικότερα, υπάρχουν άπειροι κύβοι που διέρχονται από τα εννέα σημεία τομής δύο κύβων (το θεώρημα του Μπεζούτ υπονοεί ότι δύο κύβοι έχουν, γενικά, εννέα σημεία τομής)

Παρομοίως, για την περίπτωση κωνικών n = 2, αν τρία από τα πέντε δοσμένα σημεία εμπίπτουν όλα στην ίδια ευθεία, μπορεί να μην καθορίζουν μοναδικά την καμπύλη.

Περιορισμένες περιπτώσεις

Εάν η καμπύλη απαιτείται να ανήκει σε μια συγκεκριμένη υποκατηγορία πολυωνυμικών εξισώσεων n-th βαθμού, τότε λιγότερα από n(n + 3) / 2 σημεία μπορεί να είναι απαραίτητα και επαρκή για τον προσδιορισμό μιας μοναδικής καμπύλης. Παραδείγματος χάριν, τρία (μη συγγραμμικά) σημεία προσδιορίζουν έναν κύκλο: ο γενικός κύκλος δίνεται από την εξίσωση $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ όπου το κέντρο βρίσκεται στο (a, b) και η ακτίνα είναι r. Ισοδύναμα, αναπτύσσοντας τους τετραγωνικούς όρους, η γενική εξίσωση είναι $x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,$ όπου $k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.$ Εδώ επιβάλλονται δύο περιορισμοί σε σχέση με τη γενική κωνική περίπτωση του n = 2: ο συντελεστής του όρου στο xy περιορίζεται να ισούται με 0 και ο συντελεστής του y² περιορίζεται να ισούται με τον συντελεστή του x². Έτσι, αντί για πέντε σημεία που απαιτούνται, απαιτούνται μόνο 5 − 2 = 3, που συμπίπτουν με τις 3 παραμέτρους a, b, k (ισοδύναμα a, b, r) που πρέπει να προσδιοριστούν.