Θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς

Το σχόλιο του Αλεξάντερ Γκρότεντικ για το Θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στην αλγεβρική γεωμετρία, το θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα για τη συνεκτική συνομολογία. Είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Χίρτσεμπρουχ-Ρίμαν-Ροτς, για τις μιγαδικές πολλαπλότητες, το οποίο είναι η ίδια μια γενίκευση του κλασικού θεωρήματος Ρίμαν-Ροτς για δέσμες γραμμών σε συμπαγείς επιφάνειες Ρίμαν.

Τα θεωρήματα τύπου Ρίμαν-Ροτς συσχετίζουν τα χαρακτηριστικά του Όιλερ της συνομολογίας μιας διανυσματικής δέσμης με τους τοπολογικούς βαθμούς τους, ή γενικότερα τις χαρακτηριστικές τους κλάσεις στην (συνομο)ομολογία ή αλγεβρικά ανάλογα αυτών. Το κλασικό θεώρημα Ρίμαν-Ροτς το κάνει αυτό για καμπύλες και δέσμες γραμμών, ενώ το θεώρημα Χίρτσεμπρουχ-Ρίμαν-Ροτς το γενικεύει σε διανυσματικές δέσμες πάνω από πολλαπλότητες. Το θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς θέτει και τα δύο θεωρήματα σε μια σχετική κατάσταση ενός μορφισμού μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων (ή γενικότερων σχημάτων) και αλλάζει το θεώρημα από μια δήλωση για μια απλή δέσμη, σε μια δήλωση που εφαρμόζεται σε αλυσιδωτά σύμπλοκα από δεμάτια.

Το θεώρημα είχε μεγάλη επιρροή, όχι μόνο για την ανάπτυξη του θεωρήματος του δείκτη Ατίγια - Σίνγκερ. Αντίστροφα, σύνθετα αναλυτικά ανάλογα του θεωρήματος Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα δείκτη για οικογένειες. Ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ έδωσε μια πρώτη απόδειξη σε ένα χειρόγραφο του 1957, το οποίο δημοσιεύθηκε αργότερα . Οι Αρμάν Μπορέλ και Ζαν-Πιέρ Σερ έγραψαν και δημοσίευσαν την απόδειξη του Γκροτέντικ το 1958. Αργότερα, ο Γκρόθεντιεκ και οι συνεργάτες του απλοποίησαν και γενίκευσαν την απόδειξη.

Διατύπωση

Έστω X ένα ομαλό οιονεί προβολικό σχήμα πάνω από ένα σώμα. Κάτω από αυτές τις υποθέσεις, η ομάδα Γκρότεντικ $K_{0}(X)$ των περιορισμένων συμπλεγμάτων συνεκτικών κυψελών είναι κανονικά ισομορφική με την ομάδα Γκρότεντικ των περιορισμένων συμπλεγμάτων διανυσματικών δεσμίδων πεπερασμένου βαθμού. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ισομορφισμό, εξετάζουμε τον χαρακτήρα Τσερν (έναν ρητό συνδυασμό των κλάσεων Τσερν) ως έναν συναρτησιακό μετασχηματισμό:

$\mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),$

όπου $A_{d}(X,\mathbb {Q} )$ είναι η ομάδα Τσάου των κύκλων στο X διάστασης d modulo ρητής ισοδυναμίας, τεντωμένη με τους ρητούς αριθμούς. Στην περίπτωση που το X ορίζεται πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς, η τελευταία ομάδα αντιστοιχίζεται στην ομάδα τοπολογικής συνομολογίας:

$H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).$

Τώρα θεωρούμε έναν κατάλληλο μορφισμό $f\colon X\to Y$ μεταξύ λείων οιονεί προβολικών σχημάτων και ενός περιορισμένου σύμπλοκου από δεμάτια ${{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ στο $X.$

Το θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς συσχετίζει το χάρτη προώθησης

$f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)$

(εναλλασσόμενο άθροισμα ανώτερων άμεσων εικόνων) και προώθηση

$f_{*}\colon A(X)\to A(Y),$

από τον τύπο

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).$

Εδώ $\mathrm {td} (X)$ είναι το γένος Τοντ του X. Έτσι το θεώρημα δίνει ένα ακριβές μέτρο για την έλλειψη αντιμεταθετικότητας της λήψης της ώθησης προς τα εμπρός με τις παραπάνω έννοιες και του χαρακτήρα Τσερν και δείχνει ότι οι απαιτούμενοι διορθωτικοί παράγοντες εξαρτώνται μόνο από τα X και Y. Στην πραγματικότητα, δεδομένου ότι το γένος Τοντ είναι συναρτησιακό και πολλαπλασιαστικό σε ακριβείς ακολουθίες, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον τύπο Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς ως εξής

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),$

όπου $T_{f}$ είναι η σχετική εφαπτομένη της f, που ορίζεται ως το στοιχείο $TX-f^{*}(TY)$ στο $K_{0}(X)$. Για παράδειγμα, όταν η f είναι ένας λείος μορφισμός, η $T_{f}$ είναι απλά μια διανυσματική δέσμη, γνωστή ως η εφαπτομενική δέσμη κατά μήκος των ινών της f.

Χρησιμοποιώντας τη θεωρία A¹-ομοτοπίας, το θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ρος επεκτάθηκε από τους Νάβαρο Navarro & Navarro (2017)) στην περίπτωση όπου η f είναι ένας κατάλληλος χάρτης μεταξύ δύο ομαλών σχημάτων.

Γενίκευση και εξειδίκευση

Οι γενικεύσεις του θεωρήματος μπορούν να γίνουν στη μη ομαλή περίπτωση θεωρώντας μια κατάλληλη γενίκευση του συνδυασμού $\mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)$ και στη μη ορθή περίπτωση θεωρώντας την συνομολογία με συμπαγή υποστήριξη.

Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροτς επεκτείνει το θεώρημα Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς σε αριθμητικά σχήματα.

Το θεώρημα Χίρζεμπρουχ-Ρίμαν-Ροτς είναι (ουσιαστικά) η ειδική περίπτωση όπου το Y είναι ένα σημείο και το σώμα είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών.

Μια εκδοχή του θεωρήματος Ρίμαν-Ροτς για θεωρίες προσανατολισμένης συνομολογίας αποδείχθηκε από τους Ιβάν Πάνιν και Αλεξάντερ Σμίρνοφ και αφορά πολλαπλασιαστικές πράξεις μεταξύ αλγεβρικών θεωριών προσανατολισμένης συνομολογίας (όπως ο αλγεβρικός κομπορντισμός). Το Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς είναι μια ειδική περίπτωση αυτού του αποτελέσματος, και ο χαρακτήρας Τσερν εμφανίζεται φυσικά σε αυτό το πλαίσιο.

Παραδείγματα

Διανυσματικές δέσμες σε καμπύλη

Μια διανυσματική δέσμη $E\to C$ βαθμού $n$ και βαθμού $d$ (που ορίζεται ως ο βαθμός του προσδιοριστή της- ή ισοδύναμα ο βαθμός της πρώτης κλάσης Τσερν) πάνω σε μια ομαλή προβολική καμπύλη πάνω σε ένα σώμα $k$ έχει έναν τύπο παρόμοιο με τον τύπο Ρίμαν-Ροτς για δέσμες γραμμών. Αν πάρουμε $X=C$ και $Y=\{*\}$ ένα σημείο, τότε ο τύπος Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς μπορεί να διαβαστεί ως εξής

${\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}$

ως εκ τούτου,

$\chi (C,E)=d+n(1-g).$

Αυτός ο τύπος ισχύει επίσης για συνεκτικές δέσμες βαθμού $n$ και βαθμού $d$.

Ομαλοί κατάλληλοι χάρτες

Ένα από τα πλεονεκτήματα του τύπου Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς είναι ότι μπορεί να ερμηνευτεί ως μια σχετική εκδοχή του τύπου Χίρζεμπρουχ-Ρίμαν-Ροτς. Παραδείγματος χάριν, ένας ομαλός μορφισμός $f\colon X\to Y$ έχει ίνες οι οποίες είναι όλες ισοδιάστατες (και ισομορφικές ως τοπολογικοί χώροι όταν η βάση αλλάζει σε $\mathbb {C}$). Το γεγονός αυτό είναι χρήσιμο στη θεωρία moduli όταν εξετάζεται ένας χώρος moduli ${\mathcal {M}}$ που παραμετροποιεί ομαλούς κατάλληλους χώρους. Παραδείγματος χάριν, ο Ντέιβιντ Μάμφορντ χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο για να συμπεράνει τις σχέσεις του δακτυλίου Τσάου στον χώρο moduli των αλγεβρικών καμπυλών.

Moduli των καμπυλών

Για τη στοίβα moduli των καμπυλών γένους $g$ (και χωρίς σημειωμένα σημεία) ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ υπάρχει μια καθολική καμπύλη $\pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ όπου ${\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}$ (είναι η στοίβα moduli των καμπυλών γένους $g$ και ενός σημειωμένου σημείου. Στη συνέχεια, ορίζει τις ταυτολογικές κλάσεις

${\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}$

όπου $1\leq l\leq g$ και <$\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ είναι η σχετική διπλασιαστική δέσμη. Ας σημειωθεί ότι η ίνα του $\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ πάνω από ένα σημείο $[C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ αυτή είναι η διπλασιαστική στιβάδα $\omega _{C}$. Κατάφερε να βρει σχέσεις μεταξύ του $\lambda _{i}$ και του $\kappa _{i}$ περιγράφοντας το $\lambda _{i}$ ως άθροισμα του $\kappa _{i}$ (συμπέρασμα 6. 2) στον δακτύλιο τσάου $A^{*}({\mathcal {M}}_{g})$ του λείου τόπου χρησιμοποιώντας Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς. Επειδή η ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ είναι μια ομαλή στοίβα Ντελίνιε-Μάμφορντ, εξέτασε μια κάλυψη από ένα σχήμα ${\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ που παρουσιάζει ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]$ για κάποια πεπερασμένη ομάδα $G$. Χρησιμοποιεί Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς στο $\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}$ για να πάρει

$\mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))$

Επειδή

$\mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},$

έτσι προκύπτει ο τύπος

$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).$

Ο υπολογισμός του $\mathrm {ch} (\mathbb {E} )$ μπορεί στη συνέχεια να μειωθεί ακόμη περισσότερο. Σε ζυγές διαστάσεις $2k$,

${\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.$

Επίσης, στη διάσταση 1,

$\lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),$

όπου $\delta$ είναι μια κλάση στο σύνορο. Στην περίπτωση $g=2$ και στον λείο τόπο ${\mathcal {M}}_{g}$ υπάρχουν οι σχέσεις

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}$

το οποίο μπορεί να συναχθεί αναλύοντας τον χαρακτήρα Τσερν του $\mathbb {E}$.

Κλειστή ενσωμάτωση

Οι κλειστές ενσωματώσεις $f\colon Y\to X$ έχουν επίσης μια περιγραφή χρησιμοποιώντας τον τύπο Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς, δείχνοντας μια άλλη μη τετριμμένη περίπτωση όπου ο τύπος ισχύει.. Για μια ομαλή ποικιλία $X$ διάστασης $n$ και μια υποδιαίρεση $Y$ συνδιαστάσεων $k$, υπάρχει ο τύπος

$c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]$

χρησιμοποιώντας τη σύντομη ακριβή ακολουθία

$0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0$,

υπάρχει ο τύπος

$c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]$

για ιδεώδη δέσμη, δεδομένου ότι $1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})$.

Εφαρμογές

Οιονεί προβολική ικανότητα των χώρων moduli

Η μέθοδος Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί ότι ένας αδρός χώρος moduli $M$, όπως ο χώρος moduli των αιχμηρών αλγεβρικών καμπυλών $M_{g,n}$, δέχεται ενσωμάτωση σε έναν προβολικό χώρο, άρα είναι μια οιονεί προβολική ποικιλία. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί εξετάζοντας τις κανονικά συσχετιζόμενες δέσμες στην $M$ και μελετώντας τον βαθμό των συσχετιζόμενων γραμμοδεσμών. Παραδείγματος χάριν, η $M_{g,n}$ περιέχει την οικογένεια των καμπυλών

$\pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}$

με τμήματα

$s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}$

που αντιστοιχούν στα σημειωμένα σημεία. Αφού κάθε ίνα έχει την κανονική δέσμη $\omega _{C}$, υπάρχουν οι σχετικές δέσμες γραμμών

$\Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))$ και $\chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).$

Προκύπτει ότι

$\Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)$

είναι μια άφθονη δέσμη γραμμών ^{pg 209}, επομένως ο τραχύς χώρος moduli $M_{g,n}$ είναι οιονεί προβολικός.

Ιστορία

Η εκδοχή του θεωρήματος Ρίμαν-Ροτς από τον Αλεξάντερ Γκροτέντικ μεταφέρθηκε αρχικά σε μια επιστολή προς τον Ζαν-Πιερ Σερ γύρω στο 1956-1957. Δημοσιοποιήθηκε στο αρχικό Arbeitstagung της Βόννης, το 1957. Ο Σερ και ο Αρμάν Μπορέλ διοργάνωσαν στη συνέχεια ένα σεμινάριο στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον για την κατανόησή της. Η τελική δημοσιευμένη εργασία ήταν στην πραγματικότητα η έκθεση Μπορέλ-Σερ.

Η σημασία της προσέγγισης του Γκροτέντικ βασίζεται σε διάφορα σημεία. Πρώτον, ο Γκροτέντικ άλλαξε την ίδια την πρόταση: το θεώρημα ήταν, εκείνη την εποχή, κατανοητό ως θεώρημα για μια ποικιλία, ενώ ο Γκροτέντικ το είδε ως θεώρημα για έναν μορφισμό μεταξύ ποικιλιών. Βρίσκοντας τη σωστή γενίκευση, η απόδειξη έγινε απλούστερη, ενώ το συμπέρασμα έγινε πιο γενικό. Εν ολίγοις, ο Γκροτέντικ εφάρμοσε μια ισχυρή κατηγορική προσέγγιση σε ένα δύσκολο κομμάτι της ανάλυσης. Επιπλέον, ο Γκροτέντικ εισήγαγε τις K-ομάδες, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι οποίες άνοιξαν το δρόμο για την αλγεβρική K-θεωρία.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Κλάσεις Τσερν

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Enumerative Geometry and Classical Algebraic Geometry
• Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III
• From Riemann to Differential Geometry and Relativity
• Lectures on Algebraic Geometry II: Basic Concepts, Coherent Cohomology ...
• A Celebration of Algebraic Geometry

Δημοσιεύσεις

• Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck· Luc Illusie, επιμ. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225). Lecture Notes in Mathematics (στα Γαλλικά). 225. Berlin; New York: Springer-Verlag. xii+700. doi:10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8. 
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1958), «Le théorème de Riemann–Roch», Bulletin de la Société Mathématique de France 86: 97–136, doi:10.24033/bsmf.1500, ISSN 0037-9484 
• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62046-X,  
• Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis 
• Panin, Ivan· Smirnov, Alexander (2000). «Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties». 
• «The Grothendieck Riemann–Roch theorem». 3264 and All That. 2016. σελίδες 481–510. doi:10.1017/CBO9781139062046.016. ISBN 9781107017085. 

• The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem
• The thread "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
• The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
• The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.