Θεωρία Αρακέλοφ

Στα μαθηματικά, η θεωρία Αρακέλοφ ^[1](ή γεωμετρία Αρακέλοφ) είναι μια προσέγγιση της διοφαντικής γεωμετρίας^[2], που πήρε το όνομά της από τον Σούρεν Αρακέλοφ. Χρησιμοποιείται για τη μελέτη διοφαντικών εξισώσεων ^[3]σε υψηλότερες διαστάσεις.

Ιστορικό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κύριο κίνητρο πίσω από τη γεωμετρία Αρακέλοφ είναι το γεγονός ότι υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ πρώτων ιδεωδών ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ και πεπερασμένων τόπων $v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R}$ , αλλά υπάρχει επίσης ένας τόπος στο άπειρο $v_{\infty }$ , που δίνεται από την Αρχιμήδεια αποτίμηση, ο οποίος δεν έχει αντίστοιχο πρώτο ιδεώδες. Η γεωμετρία Αράκελοφ δίνει μια τεχνική για τη συμπύκνωση του ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ σε έναν πλήρη χώρο

{\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}

ο οποίος έχει ένα πρώτο που βρίσκεται στο άπειρο. Η αρχική κατασκευή του Αρακέλοφ μελετά μια τέτοια θεωρία, όπου ένας ορισμός των διαιρετών είναι κατασκευαστής για ένα σχήμα ${\mathfrak {X}}$ σχετικής διάστασης 1 πάνω από το ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ έτσι ώστε να επεκτείνεται σε μια επιφάνεια Ρίμαν $X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )$ για κάθε αποτίμηση στο άπειρο. Επιπλέον, εξοπλίζει αυτές τις επιφάνειες Ρίμαν με Ερμιτιανές μετρικές σε ολόμορφες διανυσματικές δέσμες πάνω από το X(C), τα μιγαδικά σημεία του $X$ . Αυτή η επιπλέον Ερμιτιανή δομή εφαρμόζεται ως υποκατάστατο για την αστοχία του σχήματος Spec(Z) να είναι μια πλήρης ποικιλία.

Να σημειωθεί ότι υπάρχουν και άλλες τεχνικές για την κατασκευή ενός πλήρους χώρου που επεκτείνει τον ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ , ο οποίος αποτελεί τη βάση της γεωμετρίας F₁^[4].

Αρχικός ορισμός των διαιρετών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $K$ ένα πεδίο, ${\mathcal {O}}_{K}$ ο δακτύλιος των ακεραίων αριθμών του, και $X$ μια καμπύλη γένους $g$ πάνω από το $K$ με ένα μη ιδιαζον μοντέλο ${\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ , που ονομάζεται αριθμητική επιφάνεια. Επίσης, έχουμε

\infty :K\to \mathbb {C}

να είναι μια περιεκτικότητα πεδίων (η οποία υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύει ένα μέρος του απείρου). Επίσης, θα αφήσουμε $\infty :K\to \mathbb {C}$ να είναι η σχετική επιφάνεια Ρίμαν από την αλλαγή βάσης στο $\mathbb {C}$ . Χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να ορίσουμε έναν c-διαιρέτη ως έναν τυπικό γραμμικό συνδυασμό

D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }

όπου $C_{i}$ είναι ένα μη αναγώγιμο κλειστό υποσύνολο του ${\mathfrak {X}}$ συνδιαστάσεων 1, $k_{i}\in \mathbb {Z}$ , και $\lambda _{\infty }\in \mathbb {R}$ , και το άθροισμα

\sum _{\infty }

αντιπροσωπεύει το άθροισμα πάνω σε κάθε πραγματική εμφύτευση του $K\to \mathbb {C}$ και πάνω σε μία εμφύτευση για κάθε ζεύγος μιγαδικών εμφυτεύσεων $K\to \mathbb {C}$ . Το σύνολο των c-διαχωριστών σχηματίζει μια ομάδα ${\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})$ .

Αποτελέσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Αρακέλοφ (1974, 1975) όρισε μια θεωρία τομής στις αριθμητικές επιφάνειες που συνδέονται με ομαλές προβολικές καμπύλες πάνω από αριθμητικά σώματα, με σκοπό να αποδείξει ορισμένα αποτελέσματα, γνωστά στην περίπτωση των συναρτησιακών πεδίων, στην περίπτωση των αριθμητικών σωμάτων. Ο Γερντ Φάλτινγκς (1984) επέκτεινε το έργο του Αρακέλοφ, καθιερώνοντας αποτελέσματα όπως ένα θεώρημα Ρίμαν-Ροχ, έναν τύπο της Νέτερ, ένα θεώρημα δείκτη Χοτζ και τη μη αρνητικότητα της αυτοτομής της διπλασιαστικής σφαίρας σε αυτό το πλαίσιο.

Η θεωρία Αρακέλοφ χρησιμοποιήθηκε από τον Πολ Βόιτα (1991) για να δώσει μια νέα απόδειξη της εικασίας Μόρντελ και από τον Γκερντ Φάλτινγκς (1991) στην απόδειξη της γενίκευσης της εικασίας Μόρντελ από τον Σερζ Λανγκ.

Ο Πιερ Ντελίν (Pierre Deligne (1987)) ανέπτυξε ένα πιο γενικό πλαίσιο για τον ορισμό του ζεύγους τομής που ορίζεται σε μια αριθμητική επιφάνεια πάνω στο φάσμα ενός δακτυλίου ακεραίων αριθμών από τον Αρακέλοφ. Ο Σού-Γου Ζανγκ (Shou-Wu Zhang (1992)) ανέπτυξε μια θεωρία θετικών δεσμών γραμμών και απέδειξε ένα θεώρημα τύπου Νακάι-Μοϊσεζόν για αριθμητικές επιφάνειες. Περαιτέρω εξελίξεις στη θεωρία των θετικών γραμμοδεσμών από τον Ζανγκ (Zhang (1993, 1995a, 1995b)) και τους Λουσιέν Σπιρό, Εμμανουέλ Ούλμο και Ζανγκ (Lucien Szpiro, Emmanuel Ullmo, και Zhang (1997)) κατέληξαν στην απόδειξη της εικασίας Μπογκομόλοφ από τους Ούλμο (Ullmo (1998)) και Ζανγκ (Zhang (1998))^[5].

Η θεωρία του Αρακέλοφ γενικεύτηκε από τους Ανρί Ζιλέ και Κριστόφ Σουλέ σε υψηλότερες διαστάσεις. Δηλαδή, οι Ζιλέ και Σουλέ όρισαν ένα ζεύγος τομής σε μια αριθμητική ποικιλία. Ένα από τα κύρια αποτελέσματα των Ζιλέ και Σουλέ είναι το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ των Ζιλέ & Σουλέ (Gillet & Soulé (1992)), μια επέκταση του θεωρήματος των Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροχ σε αριθμητικές ποικιλίες. Για αυτό ορίζεται η αριθμητική ομάδα Τσάου(Chow) CH^p(X) μιας αριθμητικής ποικιλίας X και ορίζονται οι κλάσεις Τσερν για ερματικές διανυσματικές δέσμες πάνω από την X που παίρνουν τιμές στις αριθμητικές ομάδες Τσάου(Chow) 9. Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ περιγράφει στη συνέχεια πώς συμπεριφέρεται η κλάση Τσερν κατά την προώθηση διανυσματικών δεσμίδων κάτω από έναν κατάλληλο χάρτη αριθμητικών ποικιλιών. Μια πλήρης απόδειξη αυτού του θεωρήματος δημοσιεύθηκε μόλις πρόσφατα από τους Ζιλέ , Ρέσλερ και Σουλέ.

Η θεωρία τομής του Αρακέλοφ για αριθμητικές επιφάνειες αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ζαν-Μπενουά Μποστ (Jean-Benoît Bost (1999)). Η θεωρία του Μποστ βασίζεται στη χρήση συναρτήσεων Γκριν οι οποίες, μέχρι λογαριθμικές ιδιομορφίες, ανήκουν στο χώρο Σόμπολεβ $L_{1}^{2}$ . Σε αυτό το πλαίσιο, ο Μποστ λαμβάνει ένα θεώρημα αριθμητικού δείκτη Χοτζ και το χρησιμοποιεί για να λάβει θεωρήματα Λέφσετζ για αριθμητικές επιφάνειες.

Αριθμητικές ομάδες Τσάου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο αριθμητικός κύκλος συνδιάστασης p είναι ένα ζεύγος (Z, g) όπου Z ∈ Z^p(X) είναι ένας p-κύκλος στο X και g είναι ένα ρεύμα Γκριν για το Z, μια υψηλότερης διάστασης γενίκευση μιας συνάρτησης Γκριν. Η αριθμητική ομάδα Τσάου ${\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)$ συνδιάστασης p είναι το πηλίκο αυτής της ομάδας προς την υποομάδα που παράγεται από ορισμένους "τετριμμένους" κύκλους.^[6]

Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνηθες θεώρημα των Γκρότεντικ, Ρίμαν και Ροχ περιγράφει πώς συμπεριφέρεται ο χαρακτήρας Τσερν υπό την προώθηση των κυψελών και δηλώνει ότι ch(f_*(E))= f_*(ch(E)Td_X/Y), όπου f είναι ένας κατάλληλος μορφισμός από το X στο Y και E είναι μια διανυσματική δέσμη πάνω από το f. Το αριθμητικό θεώρημα των Ρίμαν και Ροχ είναι παρόμοιο, εκτός από το ότι η κλάση Τοντ πολλαπλασιάζεται με μια συγκεκριμένη δυναμοσειρά. Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ δηλώνει

${\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))$

όπου

Τα X και Y είναι κανονικά προβολικά αριθμητικά σχήματα.
Το f είναι ένας ομαλός κατάλληλος χάρτης από το X στο Y.
Το E είναι μια αριθμητική διανυσματική δέσμη πάνω στο X.
${\hat {\mathrm {ch} }}$ είναι ο αριθμητικός χαρακτήρας Τσερν.
T_X/Yείναι η σχετική εφαπτομενική δέσμη
${\hat {\mathrm {Td} }}$ είναι η αριθμητική κλάση Τοντ.
${\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)$ είναι ${\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))$
R(X) είναι η προσθετική χαρακτηριστική κλάση που συνδέεται με την τυπική δυναμοσειρά $\sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].$

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Arakelov, Suren J. (1974), «Intersection theory of divisors on an arithmetic surface», Math. USSR Izv. 8 (6): 1167–1180, doi:10.1070/IM1974v008n06ABEH002141, Zbl 0355.14002
Arakelov, Suren J. (1975), «Theory of intersections on an arithmetic surface», Proc. Internat. Congr. Mathematicians Vancouver, 1, Amer. Math. Soc., σελ. 405–408, Zbl 0351.14003
Bost, Jean-Benoît (1999), «Potential theory and Lefschetz theorems for arithmetic surfaces», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4 32 (2): 241–312, doi:10.1016/s0012-9593(99)80015-9, ISSN 0012-9593, Zbl 0931.14014, http://www.numdam.org/article/ASENS_1999_4_32_2_241_0.pdf
Deligne, P. (1987), «Le déterminant de la cohomologie», Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985), Contemporary Mathematics, 67, Providence, RI: American Mathematical Society, σελ. 93–177, doi:10.1090/conm/067/902592
Faltings, Gerd (1984), «Calculus on Arithmetic Surfaces», Annals of Mathematics, Second Series 119 (2): 387–424, doi:10.2307/2007043
Faltings, Gerd (1991), «Diophantine Approximation on Abelian Varieties», Annals of Mathematics, Second Series 133 (3): 549–576, doi:10.2307/2944319
Faltings, Gerd (1992), Lectures on the arithmetic Riemann–Roch theorem, Annals of Mathematics Studies, 127, Princeton, NJ: Princeton University Press, doi:10.1515/9781400882472, ISBN 0-691-08771-7
Gillet, Henri; Soulé, Christophe (1992), «An arithmetic Riemann–Roch Theorem», Inventiones Mathematicae 110: 473–543, doi:10.1007/BF01231343
Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), «Introduction to Arakelov geometry», Algebraic geometry in East Asia (Kyoto, 2001), River Edge, NJ: World Sci. Publ., σελ. 1–74, doi:10.1142/9789812705105_0001, ISBN 978-981-238-265-8
Lang, Serge (1988), Introduction to Arakelov theory, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1031-3, ISBN 0-387-96793-1, Zbl 0667.14001
Manin, Yu. I.· Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second έκδοση). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
Soulé, Christophe (2001) [1994], "Arakelov theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33, Cambridge: Cambridge University Press, σελ. viii+177, doi:10.1017/CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8
Szpiro, Lucien; Ullmo, Emmanuel; Zhang, Shou-Wu (1997), «Equirépartition des petits points», Inventiones Mathematicae 127 (2): 337–347, doi:10.1007/s002220050123 .
Ullmo, Emmanuel (1998), «Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes», Annals of Mathematics 147 (1): 167–179, doi:10.2307/120987, Zbl 0934.14013
Vojta, Paul (1991), «Siegel's Theorem in the Compact Case», Annals of Mathematics (Annals of Mathematics, Vol. 133, No. 3) 133 (3): 509–548, doi:10.2307/2944318
Zhang, Shou-Wu (1992), «Positive line bundles on arithmetic surfaces», Annals of Mathematics 136 (3): 569–587, doi:10.2307/2946601 .
Zhang, Shou-Wu (1993), «Admissible pairing on a curve», Inventiones Mathematicae 112 (1): 421–432, doi:10.1007/BF01232429 .
Zhang, Shou-Wu (1995a), «Small points and adelic metrics», Journal of Algebraic Geometry 8 (1): 281–300 .
Zhang, Shou-Wu (1995b), «Positive line bundles on arithmetic varieties», Journal of the American Mathematical Society 136 (3): 187–221, doi:10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7 .
Zhang, Shou-Wu (1996), «Heights and reductions of semi-stable varieties», Compositio Mathematica 104 (1): 77–105 .
Zhang, Shou-Wu (1998), «Equidistribution of small points on abelian varieties», Annals of Mathematics 147 (1): 159–165, doi:10.2307/120986 .

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Lang, Serge (6 Δεκεμβρίου 2012). Introduction to Arakelov Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1031-3.
↑ Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (1 Δεκεμβρίου 2013). Diophantine Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1210-2.
↑ Peyre, Emmanuel· Rémond, Gaël (10 Μαρτίου 2021). Arakelov Geometry and Diophantine Applications. Springer Nature. ISBN 978-3-030-57559-5.
↑ «The n-Category Café». golem.ph.utexas.edu (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 3 Ιουνίου 2024.
↑ Leong, Y. K. (July–December 2018). «Shou-Wu Zhang: Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry». Imprints (The Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore) (32): 32–36. https://ims.nus.edu.sg/wp-content/uploads/2020/05/imprints-32-2018.pdf. Ανακτήθηκε στις 5 May 2019.
↑ Manin & Panchishkin (2008) pp.400–401

[1] Lang, Serge (6 Δεκεμβρίου 2012). Introduction to Arakelov Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1031-3.

[2] Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (1 Δεκεμβρίου 2013). Diophantine Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1210-2.

[3] Peyre, Emmanuel· Rémond, Gaël (10 Μαρτίου 2021). Arakelov Geometry and Diophantine Applications. Springer Nature. ISBN 978-3-030-57559-5.

[4] «The n-Category Café». golem.ph.utexas.edu (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 3 Ιουνίου 2024.

[5] Leong, Y. K. (July–December 2018). «Shou-Wu Zhang: Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry». Imprints (The Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore) (32): 32–36. https://ims.nus.edu.sg/wp-content/uploads/2020/05/imprints-32-2018.pdf. Ανακτήθηκε στις 5 May 2019.

[6] Manin & Panchishkin (2008) pp.400–401

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]