Θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ είναι μαθηματικό θεώρημα στη θεωρία του κόσκινου. Είναι ένα βασικό συστατικό σε αποδείξεις του θεωρήματος του Τσεν σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ.[1]:272 Αποδείχθηκε το 1965 από τους Βόλφγκανγκ Μπ. Γιούρκατ και Χανς-Έγκον Ρίχερτ.[2]

Δήλωση του θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αυτή η διατύπωση είναι από τους Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ.[3]:81 Άλλες διατυπώσεις είναι από τους Γιούρκατ και Ρίχερτ,[2]:230 Χάλμπερσταμ και Ρίχτερτ,[4]:231 και Νάθανσον.[1]:257

Ας υποθέσουμε ότι Α είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ακέραιων και Ρ είναι ένα σύνολο πρώτων αριθμών. Γράφουμε Ad για τον αριθμό των στοιχείων του Α που διαιρούνται με το d και Ρ(z) για το γινόμενο από τα στοιχεία του Ρ που είναι μικρότερα από το z. Γράφουμε το ω(d) για την πολλαπλασιαστική συνάρτηση έτσι ώστε το ω(p)/p να είναι περίπου ο λόγος των στοιχείων του Α που διαιρούνται από το p. Τέλος γράφουμε X για οποιαδήποτε κατάλληλη προσέγγιση του |A|, και να γράψει το υπόλοιπο ως

Γράφουμε S(A,P,z) για τον αριθμό των στοιχείων σε Α που είναι σχετικά πρώτοι P(z). Γράφουμε

Γράφουμε ν(m) για τον αριθμό των διακριτών πρώτων διαιρετών του m. Γράφουμε F1 και f1 για τις εξισώσεις που πληρούν ορισμένες διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ[3]:67–68 για τον ορισμό και ιδιότητες).

Υποθέτουμε ότι η διάσταση (πυκνότητα κοσκινίσματος[ασαφές]) είναι 1: όπου υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε για το 2 ≤ z < w να έχουμε

(Το βιβλίο των Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ[3] επεκτείνει το θεώρημα σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1.), Τότε το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ ορίζει ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς ψ και z με 2 ≤ zyX έχουμε

και

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Ανακτήθηκε στις 14 Μαρτίου 2009. 
  2. 2,0 2,1 Jurkat, W. B.; Richert, H.-E. (1965). «An improvement of Selberg's sieve method I». Acta Arithmetica XI: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa11/aa11118.pdf. Ανακτήθηκε στις 2009-02-17. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics. 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6. 
  4. Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs. 4. London: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6.