Επίπεδη τοπολογία

Στα μαθηματικά, η επίπεδη τοπολογία είναι μια τοπολογία Γκρότεντικ που εφαρμόζεται στην αλγεβρική γεωμετρία. Χρησιμοποιείται για τον ορισμό της θεωρίας της επίπεδης συνομολογίας- παίζει επίσης θεμελιώδη ρόλο στη θεωρία της καθόδου (faithfully flat descent). Ο όρος επίπεδη προέρχεται από τα επίπεδα πρότυπα (flat modules).

Υπάρχουν διάφορες ελαφρώς διαφορετικές επίπεδες τοπολογίες, οι πιο συνηθισμένες από τις οποίες είναι η τοπολογία fppf και η τοπολογία fpqc. fppf σημαίνει fidèlement plate de présentation finie πιστά επίπεδη πεπερασμένης παρουσίασης, και σε αυτή την τοπολογία ένας μορφισμός αφινικών σχημάτων είναι μορφισμός κάλυψης αν είναι πιστά επίπεδος και πεπερασμένης παρουσίασης. fpqc fidèlement plate et quasi-compacte σημαίνει πιστά επίπεδος και οιονεί συμπαγής, και σε αυτή την τοπολογία ένας μορφισμός αφινικών σχημάτων είναι μορφισμός κάλυψης αν είναι πιστά επίπεδος. Και στις δύο κατηγορίες, μια οικογένεια κάλυψης ορίζεται ως μια οικογένεια που είναι μια κάλυψη σε ανοικτά υποσύνολα Ζαρίτσκι. Στην τοπολογία fpqc, κάθε πιστά επίπεδος οιονεί συμπαγής μορφισμός είναι καλυπτικός . Αυτές οι τοπολογίες σχετίζονται στενά με την κάθοδο. Η «καθαρή» πιστά επίπεδη τοπολογία χωρίς άλλες συνθήκες περατότητας, όπως η οιονεί συμπαγής ή η πεπερασμένη παρουσίαση, δεν χρησιμοποιείται ευρέως επειδή δεν είναι υποκανονική- με άλλα λόγια, οι απεικονιζόμενοι συναρτησιακοί φορείς δεν χρειάζεται να είναι δέσμες.

Δυστυχώς, η ορολογία για τις επίπεδες τοπολογίες δεν είναι παγιωμένη. Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο «τοπολογία» για μια προ-τοπολογία, και υπάρχουν διάφορες ελαφρώς διαφορετικές προ-τοπολογίες που μερικές φορές ονομάζονται fppf ή fpqc (προ)τοπολογία, οι οποίες μερικές φορές οδηγούν στην ίδια τοπολογία.

Η επίπεδη συνομολογία εισήχθη από τον Γκρότεντικ περίπου το 1960 .

Οι μεγάλες και οι μικρές τοποθεσίες fppf

Έστω X ένα αφινικό σχήμα. Ορίζουμε ένα fppf κάλυμμα του X ως μια πεπερασμένη και από κοινού επιρριπτική οικογένεια μορφισμών

(φ_a : X_a → X)

με κάθε X_a αφινικό και κάθε φ_a επίπεδο, με πεπερασμένη παρουσίαση. Αυτό δημιουργεί μια προ-τοπολογία: για X αυθαίρετο, ορίζουμε ένα fppf κάλυμμα του X ως μια οικογένεια

(φ_a : X_a → X)

η οποία είναι ένα κάλυμμα fppf μετά την αλλαγή βάσης σε ένα ανοικτό αφινικό υποσχήμα του X. Αυτή η προ-τοπολογία δημιουργεί μια τοπολογία που ονομάζεται τοπολογία fppf. (Αυτή δεν είναι η ίδια με την τοπολογία που θα παίρναμε αν ξεκινούσαμε με αυθαίρετα X και X_a και θεωρούσαμε ότι οι οικογένειες κάλυψης είναι από κοινού επιρριπτικές οικογένειες επίπεδων, πεπερασμένων μορφισμών). Χρησιμοποιούμε τον όρο Fppf για την κατηγορία των συστημάτων με την τοπολογία fppf.

Η μικρή περιοχή fppf του X είναι η κατηγορία O(X_fppf) της οποίας τα αντικείμενα είναι σχήματα U με ένα σταθερό μορφισμό U → X που είναι μέρος κάποιας οικογένειας κάλυψης. (Αυτό δεν σημαίνει ότι ο μορφισμός είναι επίπεδος, πεπερασμένης παρουσίασης.) Οι μορφισμοί είναι μορφισμοί σχημάτων συμβατών με τους σταθερούς χάρτες στο X. Ο μεγάλος fppf τόπος του X είναι η κατηγορία Fppf/X, δηλαδή η κατηγορία των σχημάτων με σταθερό χάρτη στο X, θεωρούμενη με την fppf τοπολογία.

Το «Fppf» είναι συντομογραφία των λέξεων «fidèlement plate de présentation finie», δηλαδή «πιστά επίπεδη και πεπερασμένης παρουσίασης». Κάθε επιρριπτική οικογένεια επίπεδων και πεπερασμένης παρουσίασης μορφισμών είναι μια οικογένεια κάλυψης για αυτή την τοπολογία, εξ ου και το όνομα. Ο ορισμός της προτοπολογίας fppf μπορεί επίσης να δοθεί με μια επιπλέον συνθήκη οιονεί πεπερασμένης παρουσίασης- προκύπτει από το Πόρισμα 17.16.2 στην EGA IV₄ ότι αυτό δίνει την ίδια τοπολογία.

Οι μεγάλες και οι μικρές τοποθεσίες του fpqc

Έστω X ένα αφινικό σχήμα. Ορίζουμε ένα fpqc κάλυμμα του X ως μια πεπερασμένη και από κοινού επιρριπτική οικογένεια μορφισμών {u_α : X_α → X} με κάθε X_α αφινικό και κάθε u_α επίπεδο. Αυτό δημιουργεί μια προ-τοπολογία: Για το X αυθαίρετο, ορίζουμε ένα fpqc κάλυμμα του X να είναι μια οικογένεια {u_α : X_α → X} η οποία είναι ένα fpqc κάλυμμα μετά την αλλαγή βάσης σε ένα ανοικτό αφινικό υποσχήμα του X. Αυτή η προ-τοπολογία παράγει μια τοπολογία που ονομάζεται fpqc τοπολογία. (Αυτή δεν είναι η ίδια με την τοπολογία που θα παίρναμε αν ξεκινούσαμε με αυθαίρετα X και X_α και θεωρούσαμε ότι οι οικογένειες κάλυψης είναι από κοινού επιρριπτικές οικογένειες επίπεδων μορφισμών). Γράφουμε Fpqc για την κατηγορία συστημάτων με την τοπολογία fpqc.

Η μικρή fpqc περιοχή του X είναι η κατηγορία O(X_fpqc) της οποίας τα αντικείμενα είναι σχήματα U με ένα σταθερό μορφισμό U → X που είναι μέρος κάποιας οικογένειας κάλυψης. Οι μορφισμοί είναι μορφισμοί σχημάτων συμβατών με τους σταθερούς χάρτες στο X. Η μεγάλη fpqc τοποθεσία του X είναι η κατηγορία Fpqc/X, δηλαδή η κατηγορία σχημάτων με σταθερό χάρτη στο X, θεωρούμενη με την fpqc τοπολογία.

Το «Fpqc» είναι συντομογραφία για το «fidèlement plate quasi-compacte», δηλαδή «πιστά επίπεδο και οιονεί συμπαγές». Κάθε επιρριπτική οικογένεια επίπεδων και οιονεί συμπαγών μορφισμών είναι μια οικογένεια κάλυψης για αυτή την τοπολογία, εξ ου και το όνομα.

Επίπεδη συνομολογία

Η διαδικασία για τον ορισμό των ομάδων συνομολογίας είναι η συνήθης: η συνομολογία ορίζεται ως η ακολουθία των παράγωγων φορέων του φορέα που παίρνει τα τμήματα μιας δέσμης αβελιανών ομάδων.

Ενώ οι ομάδες αυτές έχουν πολλές εφαρμογές, δεν είναι γενικά εύκολο να υπολογιστούν, εκτός από τις περιπτώσεις όπου ανάγονται σε άλλες θεωρίες, όπως η συνομολογία étale.

Παράδειγμα

Το ακόλουθο παράδειγμα δείχνει γιατί η «πιστά επίπεδη τοπολογία» χωρίς συνθήκες περατότητας δεν συμπεριφέρεται καλά. Ας υποθέσουμε ότι η X είναι η αφινική γραμμή πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο k. Για κάθε κλειστό σημείο x του X, μπορούμε να θεωρήσουμε τον τοπικό δακτύλιο R_x στο σημείο αυτό, που είναι διακριτός δακτύλιος αποτίμησης του οποίου το φάσμα έχει ένα κλειστό σημείο και ένα (γενικό) ανοικτό σημείο. Συνδέουμε αυτά τα φάσματα μεταξύ τους ταυτοποιώντας τα ανοικτά σημεία τους για να λάβουμε ένα σχήμα Y. Υπάρχει ένας φυσικός χάρτης από το Y στο X. Η αφινική γραμμή X καλύπτεται από τα σύνολα Spec(R_x) τα οποία είναι ανοικτά στην πιστά επίπεδη τοπολογία, και κάθε ένα από αυτά τα σύνολα έχει έναν φυσικό χάρτη προς το Y, και αυτοί οι χάρτες είναι οι ίδιοι στις τομές. Ωστόσο, δεν μπορούν να συνδυαστούν για να δώσουν έναν χάρτη από το X στο Y, επειδή οι υποκείμενοι χώροι του X και του Y έχουν διαφορετικές τοπολογίες.

Δημοσιεύσεις

• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5 
• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9 
• Chambert-Loir, Antoine (1998), «Cohomologie cristalline: un survol», Expositiones Mathematicae 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/publications 
• Dwork, Bernard (1960), «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety», American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327 
• Grothendieck, Alexander (1966), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966), Letter to J. Tate, https://agrothendieck.github.io/divers/LGT66scan.pdf .
• Grothendieck, Alexander (1968), «Crystals and the de Rham cohomology of schemes», στο: Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L. και άλλοι, επιμ., Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, 3, Amsterdam: North-Holland, σελ. 306–358, https://agrothendieck.github.io/divers/CRCSscan.pdf 
• Illusie, Luc (1975), «Report on crystalline cohomology», Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., 29, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 459–478 
• Illusie, Luc (1976), «Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)», Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, Lecture Notes in Math., 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 53–60, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1974-1975__17__53_0, ανακτήθηκε στις 2007-09-20 
• Illusie, Luc (1994), «Crystalline cohomology», Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., σελ. 43–70 
• Kedlaya, Kiran S. (2009), «p-adic cohomology», στο: Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L. και άλλοι, επιμ., Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., 80, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 667–684, ISBN 978-0-8218-4703-9 

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Revisiting derived crystalline cohomology
• Crystalline Cohomology of Superschemes
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Arithmetic Duality Theorems (PDF), online book by James Milne, explains at the level of flat cohomology duality theorems originating in the Tate–Poitou duality of Galois cohomology
• The fppf topology is generated by Zariski coverings and surjective finite locally free morphisms