Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη

Μανωμένα του Αρχιμήδη.

Ο ελλειψογράφος του Αρχιμήδη είναι ένα μηχανισμός που σχεδιάζει το σχήμα της έλλειψης. Αποτελείται από δύο οδηγούς των οποίων η κίνηση περιορίζεται σε δύο κάθετα κανάλια ή ράγες και μία ράβδο, η οποία είναι συνδεδεμένη με τους οδηγούς, έτσι ώστε η απόσταση των οδηγών να παραμένει σταθερή. Καθώς οι οδηγοί κινούνται μπρος-πίσω, κατά μήκος των κάθετων καναλιών, το άκρο της ράβδου κινείται σε ελλειπτική τροχιά. Οι ημιάξονες a και b της έλλειψης, έχουν μήκη ίσα με τις αποστάσεις του άκρου της ράβδου από καθέναν από τους δύο οδηγούς. Στο άκρο της ράβδου επισυνάπτεται κατάλληλο μέσο ανάλογα με την εργασία που θέλουμε να επιτελέσουμε (γραφίδα, κοπίδι κ.λ.π.).  Συνήθως οι αποστάσεις α και β είναι ρυθμιζόμενες, έτσι ώστε το μέγεθος και το σχήμα της έλλειψης να μπορεί να αλλάξει.

Για την ιστορία του ελλειψογράφου δεν έχουμε σαφείς πληροφορίες. Η συσκευή χρονολογείται από την εποχή του Πρόκλου ίσως ακόμη και την εποχή του Αρχιμήδη.

Ένα animation του ελλειψογράφου του Αρχιμήδη σε δράση.

Ξύλινες εκδόσεις του ελλειψογράφου του Αρχιμήδη έχουν παραχθεί επίσης, ως παιχνίδια και πωλούνται με το ονομασία   Μηχανές που δεν κάνουν τίποτα (Kentucky do nothing machines). Σε αυτά τα παιχνίδια η γραφίδα αντικαθίσταται από μια απλή λαβή.

Μαθηματικά

Διάγραμμα

Η απόδειξη για το ότι ο συγκεκριμένος μηχανισμός παράγει ελλείψεις είναι σχετικά απλή. Έστω ότι το C είναι το εξωτερικό άκρο της ράβδου, και A, B είναι οι δύο οδηγοί που κινούνται στις σταθερές κάθετες τροχιές. Επίσης, θεωρούμε ότι p είναι η σταθερή απόσταση μεταξύ των δύο οδηγών και q η απόσταση από το άκρο της ράβδου προς τον δεύτερο οδηγό (όπως στο διάγραμμα). Ας υποθέσουμε ότι οι οδηγοί Α και Β κινούνται κατά μήκος των αξόνων y και x αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία θ με τον x-άξονα, οι συντεταγμένες του σημείου C, δίνονται από

$x=(p+q){\text{συνθ}}$

$y=q{\text{ημθ}}$

Αυτές είναι οι κλασσικές παραμετρικές εξισώσεις μιας έλλειψης με κέντρο το Ο (την αρχή των αξόνων). Με απλές αλγεβρικές πράξεις μπορούμε να καταλήξουμε στην:

${\frac {x^{2}}{(p+q)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q^{2}}}=1.$

Ο ελλειψογράφος του Αρχιμήδη είναι ένα παράδειγμα σύνδεσης τεσσάρων ράβδων (four-bar-linkage)  με δύο οδηγούς και δύο άξονες. Είναι επίσης μια είναι ειδική περίπτωση του πιο γενικού πλάγιου ελλειψογράφου. Στον πλάγιο ελλειψογράφο οι άξονες δεν είναι αναγκαστικά κάθετοι και τα τρία σημεία A, B, C μπορεί να σχηματίζουν τρίγωνο. Ο πλάγιος ελλειψογράφος εξακολουθεί να παράγει ελλείψεις.

Μια πραγματική κατασκευή του ελλειψογράφου του Αρχιμήδη, που κατασκευάστηκε περί το  1900, και είναι τώρα μέρος του Αρχείου του  Smithsonian Institution.

Ελλειωογράφος με 3 οδηγούς.

Αναφορές

• J. W. Downs: Πρακτική Κωνικών τομών: Οι Γεωμετρικές Ιδιότητες της Ελλείψεις, Παραβολές και Υπερβολές. Courier Dover 2003, (ISBN 978-0-486-42876-5), pp. 4-5 (restricted online copy, σ. 4, στα Google Books)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Βίντεο από διάφορους ελλειωογράφους σε δράση
• Κοπή ελλείψεων σε ξύλο
• Φωτογραφία μιας μηχανής που δεν κάνει τίποτα
• Οδηγίες για το πώς να κατασκευάσουμε μια μηχανή που δεν Κάνει Τίποτα
• Το βίντεο μηχανής που δεν κάνει τίποτα κατασκευασμένο από Lego τουβλάκια
• "Wonky Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη" , Μια εξερεύνηση γενικότερων ελλειψογράφων.
• ΗΠΑ δίπλωμα Ευρεσιτεχνίας 4306598 για κοπή ελλείψεων που επιτρέπει τη δημιουργία μικρών ελλείψεων
• Η κινηματική Γεωμετρία και η σπείρα του Αρχιμήδη, Μυστριώτη Γεωργία
• Ο Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη, MathStudies blog.