Διάνυσμα Poynting

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Ακτινοβολία Δίπολου, Δίπολο παράλληλο στον z άξονα, ηλεκτρικό πεδίο και διάνυσμα Poynting στο επίπεδο x-z.

Στη φυσική, το διάνυσμα Poynting μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά τη ροή ενέργειας (σε W/m2) ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ονομάστηκε έτσι από τον εφευρέτη του John Henry Poynting. Ο Oliver Heaviside ανακάλυψε ανεξάρτητα το διάνυσμα Poynting. Στην πρωτότυπη εργασία του Poynting και σε πολλά εγχειρίδια ορίζεται ως:

\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H},

η οποία συχνά καλείται μορφή Abraham. Εδώ το E είναι το ηλεκτρικό πεδίο και H το βοηθητικό μαγνητικό πεδίο.[1][2] (Όλα τα έντονα γράμματα αναπαριστούν διανύσματα.) Μερικές φορές χρησιμοποιείται ένας εναλλακτικός ορισμός σε όρους ηλεκτρικού πεδίου E και του μαγνητικού πεδίου B, ο οποίος εξηγείται παρακάτω. Είναι επίσης δυνατόν να συνδυαστεί το πεδίο μετατόπισης D και το μαγνητικό πεδίο B για να παρθεί η μορφή Minkowski του διανύσματος Poynting, ή να χρησιμοποιηθούν τα D και H για την κατασκευή μιας άλλης.[3] Η επιλογή είναι αμφιλεγόμενη: ο Pfeifer et al.[4] συνοψίζει θαυμάσια την ενός αιώνα διαμάχη μεταξύ των υποστηρικτών των μορφών Abraham και Minkowski.

Ερμηνεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το διάνυσμα Poynting εμφανίζεται στο θεώρημα Poynting, ένα νόμο διατήρησης της ενέργειας,[2]

\frac{\partial u}{\partial t} = - \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{S} -\mathbf{J}_{f} \cdot \mathbf{E},

όπου Jf είναι η πυκνότητα ρεύματος των ελεύθερων φορτίων και u είναι η πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας,

u = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right),

όπου B είναι το μαγνητικό πεδίο και D το πεδίο ηλεκτρικής μετατόπισης.

Ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος αναπαριστά την συνολική ροή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας σε ένα μικρό όγκο, ενός ο δεύτερος όρος αναπαριστά το αφαιρούμενο μέρος του έργου που επιτελείται από ελεύθερα ηλεκτρικά ρεύματα τα οποία δεν μετατρέπονται απαραίτητα σε ηλεκτρομαγνητική ενέργεια (διάχυση, θερμότητα). Σε αυτό τον ορισμό, δεσμευμένα ηλεκτρικά ρεύματα σε περιλαμβάνονται σε αυτό τον όρο, και αντίθετα συνεισφέρουν στο S και το u.

Σημειώστε ότι το u μπορεί μόνο να δοθεί αν εμπλέκονται γραμμικά, δίχως διασπορά και ομοιόμορφα υλικά, π.χ. αν οι καταστατικές σχέσεις μπορούν να γραφούν ως

\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu

όπου ε και μ είναι σταθερές (οι οποίες εξαρτώνται από το υλικό διαμέσου του οποίου ρέει η ενέργεια), καλούμενες επιτρεπτότητα και διαπερατότητα, αντίστοιχα, του υλικού[2]

Αυτό πρακτικά περιορίζει το θεώρημα Poynting σε αυτή τη μορφή σε πεδία στο κενό. Μια γενίκευση σε υλικά διασποράς είναι δυνατή κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες με κόστος επιπλέον όρων και την απώλεια της καθαρής φυσικής ερμηνείας τους.[2]

Το διάνυσμα Poynting ερμηνεύεται συνήθως ως μια ροή ενέργειας, αλλά αυτό είναι μονάχα αυστηρά σωστό για ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Η πιο γενική περίπτωση περιγράφεται από το θεώρημα Poynting παραπάνω, όπου εμφανίζεται ως απόκλιση, το οποίο σημαίνει ότι μπορεί να περιγράψει μόνο την αλλαγή της πυκνότητας ενέργειας στο χώρο, αντί την ροή.

Διατύπωση σε όρους μικροσκοπικών πεδίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί να είναι πρέπον να οριστεί το διάνυσμα Poynting \mathbf{S} ως

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \times \mathbf{B},

όπου \mu_0 είναι η μαγνητική σταθερά. Μπορεί να εξαχθεί απευθείας από τις εξισώσεις Maxwell σε όρους ολικού φορτίου και ρεύματος και από το νόμο της δύναμης Lorentz μόνο.

Η αντίστοιχη μορφή του θεωρήματος Poynting είναι

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = - \mathbf{J}\cdot\mathbf{E},

όπου \mathbf{J} είναι η ολική πυκνότητα ρεύματος και η πυκνότητα ενέργειας u είναι

u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right)

(με την ηλεκτρική σταθερά \epsilon_0).

Οι δύο εναλλακτικοί ορισμοί του διανύσματος Poynting είναι ισοδύναμοι στο κενό ή σε μη μαγνητικά υλικά, όπου \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H}. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, διαφέρουν στο ότι το \mathbf{S}=1/\mu_0 \mathbf{E}\times\mathbf{B} και το αντίστοιχο u είναι καθαρά ακτινοβολούντα, αφού ο όρος διάχυσης, -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}, καλύπτει το ολικό ρεύμα, ενώ ο ορισμός σε όρους του \mathbf{H} έχει συνεισφορές από δεσμευμένα ρεύματα τα οποία τότε δεν βρίσκονται στον όρο διάχυσης.[5]

Αφού μόνο τα μικροσκοπικά πεδία \mathbf{E} και \mathbf{B} χρειάζονται στην εξαγωγή του

\mathbf{S}=1/\mu_0 \mathbf{E}\times\mathbf{B},

υποθέσεις για κάθε υλικό πιθανόν παρόν μπορούν να αποφευχθούν τελείως, και το διάνυσμα Poynting καθώς και το θεώρημα σε αυτό τον ορισμό είναι καθολικά έγκυρα, στο κενό καθώς και σε όλα τα είδη υλικών. Αυτό είναι ειδικά σωστό για την πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας, σε αντίθεση με την περίπτωση παραπάνω.[5]

Αναλλοίωση στην προσθήκη στροβιλισμού ενός πεδίου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αφού το διάνυσμα Poynting εμφανίζεται μόνο στο θεώρημα Poynting ως μια απόκλιση \nabla\cdot\mathbf{S}, το διάνυσμα Poynting είναι αυθαίρετο στο βαθμό που ο στροβιλισμός \nabla\times\mathbf F καθενός πεδίου F μπορεί να προστεθεί,[2] επειδή \nabla\cdot\nabla\times\mathbf F=0 για κάθε πεδίο. Το να γίνει αυτό δεν είναι σύνηθες, ωστόσο, και θα οδηγήσει σε ανακολουθίες σε μια σχετικιστική περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων σε όρους του τανυστή ενέργειας-ορμής.

Γενίκευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το διάνυσμα Poynting αναπαριστά την συγκεκριμένη περίπτωση ενός διανύσματος ροής ενέργειας για ηλεκτρομαγνητική ενέργεια. Ωστόσο κάθε τύπος ενέργειας έχει τη κατεύθυνση κίνησης του στο χώρο, καθώς και τη πυκνότητά του, ώστε τα διανύσματα ροής ενέργειας μπορούν να οριστούν και για άλλους τύπους ενέργειας, π.χ. για μηχανική ενέργεια. Το διάνυσμα Umov-Poynting[6] που ανακαλύφθηκε από τον Nikolay Umov το 1874 περιγράφει την ροή ενέργειας σε ένα υγρό και ελαστικό μέσο σε μια εντελώς γενικευμένη άποψη.

Παραδείγματα και εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το διάνυσμα Poynting σε ένα ομοαξονικό καλώδιο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για παράδειγμα, το διάνυσμα Poynting μέσα σε ένα διηλεκτρικό μονωτή ενός ομοαξονικού καλωδίου είναι σχεδόν παράλληλο στον άξονα του σύρματος (υποθέτοντας καθόλου πεδία έξω από το καλώδιο) – ώστε ηλεκτρική ενέργεια ρέει διαμέσου του διηλεκτρικού μεταξύ των αγωγών. Αν ο αγωγός-πυρήνας αντικαθιστόταν από ένα σύρμα με σημαντική αντίσταση, τότε το διάνυσμα Poynting θα έκλινε προς αυτό το σύρμα, υποδεικνύοντας ότι η ενέργεια ρέει από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσα στο σύρμα, παράγοντας θέρμανση Joule από αντίσταση στο σύρμα.

Το διάνυσμα Poynting σε επίπεδα κύματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε ένα ημιτονοειδές ηλεκτρομαγνητικό επίπεδο κύμα μιας σταθερής συχνότητας που διαδίδεται, το διάνυσμα Poynting ταλαντώνεται, πάντα δείχνοντας προς την διεύθυνση της διάδοσης. Το κατά μέσο όρο του χρόνου μέγεθος του διανύσματος Poynting είναι

\langle S \rangle = \frac{1}{2 \mu_0 c} E_0^2 = \frac{\epsilon_0 c}{2}  E_0^2,

όπου \ E_0 είναι το μέγιστο πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου και \ c είναι η ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο. Αυτή η κατά μέσο όρο του χρόνου τιμή καλείται επίσης ακτινοβολισμός ή ένταση I.

Εξαγωγή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό επίπεδο κύμα, τα \mathbf{E} και \mathbf{B} είναι πάντα κάθετα το ένα στο άλλο και στην διεύθυνση διάδοσης. Επιπλέον, τα πλάτη του είναι σχετικά σύμφωνα με τη σχέση

B_0 = \frac{E_0}{c},

και οι εξαρτήσεις χρόνου και θέσης τους είναι

E\left(t,{\mathbf r}\right) = E_0\,\cos\left(\omega\,t- {\mathbf k} \cdot {\mathbf r} \right),
B\left(t,{\mathbf r}\right) = B_0\,\cos\left(\omega\,t- {\mathbf k} \cdot {\mathbf r} \right),

όπου \ \omega είναι η συχνότητα τπυ κύματος και \mathbf{k} είναι το διάνυσμα κύματος. Το εξαρτώμενο από το χρόνο και το μέγεθος θέσης του διανύσματος Poynting είναι τότε

S(t) = \frac{1}{\mu_0} E_0\,B_0\,\cos^2\left(\omega t-{\mathbf k} \cdot {\mathbf r}\right) =
   \frac{1}{\mu_0 c} E_0^2 \cos^2\left(\omega t-{\mathbf k} \cdot {\mathbf r} \right) =
   \epsilon_0 c E_0^2 \cos^2\left(\omega t-{\mathbf k} \cdot {\mathbf r} \right).

Στο τελευταίο βήμα, χρησιμοποιήσαμε την ισότητα \epsilon_0\,\mu_0 = {c}^{-2}. Αφού το κατά μέσο όρο του χρόνου ή του χώρου \cos^2\left(\omega\,t-{\mathbf k} \cdot {\mathbf r}\right) είναι ½, ακολουθείται ότι

\left\langle S \right\rangle = \frac{\epsilon_0 c}{2} E_0^2.

Διάνυσμα Poynting και πίεση ακτινοβολίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το S διαιρούμενο με το τετράγωνο της ταχύτητας του φωτός στον ελεύθερο χώρο είναι η πυκνότητα της γραμμικής επιτάχυνσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Η κατά μέσο όρο του χρόνου ένταση \langle\mathbf{S}\rangle διαιρούμενη με την ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο είναι η πίεση ακτινοβολίας που ασκείται από ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στην επιφάνεια ενός στόχου:

P_{rad}=\frac{\langle S\rangle}{c}.

Προβλήματα σε συγκεκριμένες περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συχνή χρήση του διανύσματος Poynting ως μια ροή ενέργειας αντί στο πλαίσιο του θεωρήματος Poynting δίνει βάση σε αμφιλεγόμενες ερμηνείες σε περιπτώσεις που δεν χρησιμοποιείται για να περιγράψει την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Δύο παραδείγματα δίνονται παρακάτω.

Ροή Ισχύος DC σε ένα ομόκεντρο καλώδιο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εφαρμογή του Θεωρήματος Poynting σε ένα ομόκεντρο καλώδιο που κουβαλάει DC ρεύμα οδηγεί στην σωστή εξίσωση μεταφοράς ισχύος \mathit{P} = \mathit{V}\mathit{I}, όπου \mathit{V} είναι η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στο καλώδιο και στη γείωση, \mathit{I} είναι το ρεύμα που κουβαλάει το καλώδιο. Αυτή η ισχύς ρέει διαμέσου του περιβάλλοντος διηλεκτρικού, και όχι διαμέσου του ιδίου του καλωδίου.[7]

Ωστόσο, είναι γνωστό ότι η ισχύς δεν μπορείς να ακτινοβοληθεί χωρίς επιταχυνόμενα φορτία, π.χ. ρεύματα μεταβαλλόμενα με το χρόνο. Αφού θεωρούμε DC (χρονικά αμετάβλητα) ρεύματα εδώ, η ακτινοβόληση δεν είναι δυνατή. Αυτό έχει οδηγήσει σε προβληματισμό ότι το Διάνυσμα Poynting μπορεί να μην αναπαριστά την ροή ισχύος σε συγκεκριμένα συστήματα.[8][9]

Ανεξάρτητα πεδία E και B[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ανεξάρτητα στατικά πεδία \mathbf{E} και \mathbf{B} δεν έχουν ως αποτέλεσμα ροές ισχύος κατά μήκος της κατεύθυνσης του \mathbf{E} \times \mathbf{B}.

Για παράδειγμα, η εφαρμογή του Θεωρήματος Poynting σε ένα ευθύγραμμο μαγνήτη, στον οποίο ένα ηλεκτρικό φορτίο είναι παρόν, οδηγεί στο φαινομενικά παράξενο συμπέρασμα ότι υπάρχει μια συνεχής κυκλοφορία ενέργειας γύρω από το μαγνήτη.[7] Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία απόκλιση της ροής ενέργειας, ή σε απλή γλώσσα, ενέργεια η οποία μπαίνει σε μια δεδομένη μονάδα χώρου ισούται με την ενέργεια που βγαίνει από αυτή την μονάδα του χώρου, ώστε δεν υπάρχει συνολική ροή ενέργειας σε αυτή την μονάδα χώρου

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Poynting, J. H. (1884). "On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field". Phil. Trans. 175: 277. doi:10.1098/rstl.1884.0016. http://www.archive.org/details/collectedscienti00poynuoft. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 John David Jackson (1998). Classical electrodynamics (Third έκδοση). New York: Wiley. ISBN 047130932X. http://worldcat.org/isbn/047130932X. 
  3. Kinsler, P. (2009). "Four Poynting theorems" (reprint). Eur. J. Phys. 30: 983. doi:10.1088/0143-0807/30/5/007. http://arxiv.org/abs/0908.1721. 
  4. Pfeifer, R.N.C. (2007). "Momentum of an electromagnetic wave in dielectric media". Rev. Mod. Phys. 79: 1197. doi:10.1103/RevModPhys.79.1197. http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.79.1197. 
  5. 5,0 5,1 Richter, F. (2008). "Poynting's theorem and energy conservation in the propagation of light in bounded media" (reprint). Europhys. Lett. 81: 67005. doi:10.1209/0295-5075/81/67005. http://arxiv.org/pdf/0710.0515v3. 
  6. Umov, N. A. (1874). "Ein Theorem über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen". Zeitschrift für Mathematik und Physik XIX: 97. 
  7. 7,0 7,1 Jordan, Edward; Balmain, Keith (2003), Electromagnetic Waves and Radiating Systems (Second έκδοση), New Jersey: Prentice-Hall 
  8. Jeffries, Clark (Sep., 1992). "A New Conservation Law for Classical Electrodynamics" (PDF). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM Review). Retrieved on 2008-03-04.
  9. Robinson, F. N. H. (Dec., 1994). "Poynting's Vector: Comments on a Recent Paper by Clark Jeffries". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM Review).

Περαιτέρω διάβασμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]