Διάνυσμα Πόυντινγκ

Ακτινοβολία Δίπολου, Δίπολο παράλληλο στον z άξονα, ηλεκτρικό πεδίο και διάνυσμα Πόυντινγκ στο επίπεδο x-z.

Στη φυσική, το διάνυσμα Πόυντινγκ μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά τη ροή ενέργειας (σε W/m²) ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ονομάστηκε έτσι από τον εφευρέτη του Τζον Χένρι Πόυντινγκ. Ο Όλιβερ Χεβισάιντ ανακάλυψε ανεξάρτητα το διάνυσμα Πόυντινγκ. Στην πρωτότυπη εργασία του Πόυντινγκ και σε πολλά εγχειρίδια ορίζεται ως:

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,$

η οποία συχνά καλείται μορφή Έιμπραχαμ. Εδώ το E είναι το ηλεκτρικό πεδίο και H το βοηθητικό μαγνητικό πεδίο. (Όλα τα έντονα γράμματα αναπαριστούν διανύσματα.) Μερικές φορές χρησιμοποιείται ένας εναλλακτικός ορισμός σε όρους ηλεκτρικού πεδίου E και του μαγνητικού πεδίου B, ο οποίος εξηγείται παρακάτω. Είναι επίσης δυνατόν να συνδυαστεί το πεδίο μετατόπισης D και το μαγνητικό πεδίο B για να παρθεί η μορφή Μινκόφσκι του διανύσματος Πόυντινγκ, ή να χρησιμοποιηθούν τα D και H για την κατασκευή μιας άλλης. Η επιλογή είναι αμφιλεγόμενη: ο Pfeifer et al. συνοψίζει θαυμάσια την ενός αιώνα διαμάχη μεταξύ των υποστηρικτών των μορφών Έιμπραχαμ και Μινκόφσκι.

Ερμηνεία

Το διάνυσμα Πόυντινγκ εμφανίζεται στο θεώρημα Πόυντινγκ, ένα νόμο διατήρησης της ενέργειας,

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} _{f}\cdot \mathbf {E} ,$

όπου J_f είναι η πυκνότητα ρεύματος των ελεύθερων φορτίων και u είναι η πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας,

$u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right),$

όπου B είναι το μαγνητικό πεδίο και D το πεδίο ηλεκτρικής μετατόπισης.

Ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος αναπαριστά την συνολική ροή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας σε ένα μικρό όγκο, ενός ο δεύτερος όρος αναπαριστά το αφαιρούμενο μέρος του έργου που επιτελείται από ελεύθερα ηλεκτρικά ρεύματα τα οποία δεν μετατρέπονται απαραίτητα σε ηλεκτρομαγνητική ενέργεια (διάχυση, θερμότητα). Σε αυτό τον ορισμό, δεσμευμένα ηλεκτρικά ρεύματα σε περιλαμβάνονται σε αυτό τον όρο, και αντίθετα συνεισφέρουν στο S και το u.

Σημειώστε ότι το u μπορεί μόνο να δοθεί αν εμπλέκονται γραμμικά, δίχως διασπορά και ομοιόμορφα υλικά, π.χ. αν οι καταστατικές σχέσεις μπορούν να γραφούν ως

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$

όπου ε και μ είναι σταθερές (οι οποίες εξαρτώνται από το υλικό διαμέσου του οποίου ρέει η ενέργεια), καλούμενες επιτρεπτότητα και διαπερατότητα, αντίστοιχα, του υλικού

Αυτό πρακτικά περιορίζει το θεώρημα Πόυντινγκ σε αυτή τη μορφή σε πεδία στο κενό. Μια γενίκευση σε υλικά διασποράς είναι δυνατή κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες με κόστος επιπλέον όρων και την απώλεια της καθαρής φυσικής ερμηνείας τους.

Το διάνυσμα Πόυντινγκ ερμηνεύεται συνήθως ως μια ροή ενέργειας, αλλά αυτό είναι μονάχα αυστηρά σωστό για ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Η πιο γενική περίπτωση περιγράφεται από το θεώρημα Πόυντινγκ παραπάνω, όπου εμφανίζεται ως απόκλιση, το οποίο σημαίνει ότι μπορεί να περιγράψει μόνο την αλλαγή της πυκνότητας ενέργειας στο χώρο, αντί την ροή.

Διατύπωση σε όρους μικροσκοπικών πεδίων

Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί να είναι πρέπον να οριστεί το διάνυσμα Πόυντινγκ $\mathbf {S}$ ως

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,$

όπου $\mu _{0}$ είναι η μαγνητική σταθερά. Μπορεί να εξαχθεί απευθείας από τις εξισώσεις Μάξγουελ σε όρους ολικού φορτίου και ρεύματος και από το νόμο της δύναμης Λόρεντς μόνο.

Η αντίστοιχη μορφή του θεωρήματος Πόυντινγκ είναι

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,$

όπου $\mathbf {J}$ είναι η ολική πυκνότητα ρεύματος και η πυκνότητα ενέργειας $u$ είναι

$u={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right)$

(με την ηλεκτρική σταθερά $\epsilon _{0}$).

Οι δύο εναλλακτικοί ορισμοί του διανύσματος Πόυντινγκ είναι ισοδύναμοι στο κενό ή σε μη μαγνητικά υλικά, όπου $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, διαφέρουν στο ότι το $\mathbf {S} =1/\mu _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ και το αντίστοιχο $u$ είναι καθαρά ακτινοβολούντα, αφού ο όρος διάχυσης, $-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$, καλύπτει το ολικό ρεύμα, ενώ ο ορισμός σε όρους του $\mathbf {H}$ έχει συνεισφορές από δεσμευμένα ρεύματα τα οποία τότε δεν βρίσκονται στον όρο διάχυσης.

Αφού μόνο τα μικροσκοπικά πεδία $\mathbf {E}$ και $\mathbf {B}$ χρειάζονται στην εξαγωγή του

$\mathbf {S} =1/\mu _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$,

υποθέσεις για κάθε υλικό πιθανόν παρόν μπορούν να αποφευχθούν τελείως, και το διάνυσμα Πόυντινγκ καθώς και το θεώρημα σε αυτό τον ορισμό είναι καθολικά έγκυρα, στο κενό καθώς και σε όλα τα είδη υλικών. Αυτό είναι ειδικά σωστό για την πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας, σε αντίθεση με την περίπτωση παραπάνω.

Αναλλοίωση στην προσθήκη στροβιλισμού ενός πεδίου

Αφού το διάνυσμα Πόυντινγκ εμφανίζεται μόνο στο θεώρημα Πόυντινγκ ως μια απόκλιση $\nabla \cdot \mathbf {S}$, το διάνυσμα Πόυντινγκ είναι αυθαίρετο στο βαθμό που ο στροβιλισμός $\nabla \times \mathbf {F}$ καθενός πεδίου F μπορεί να προστεθεί, επειδή $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} =0$ για κάθε πεδίο. Το να γίνει αυτό δεν είναι σύνηθες, ωστόσο, και θα οδηγήσει σε ανακολουθίες σε μια σχετικιστική περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων σε όρους του τανυστή ενέργειας-ορμής.

Γενίκευση

Το διάνυσμα Πόυντινγκ αναπαριστά την συγκεκριμένη περίπτωση ενός διανύσματος ροής ενέργειας για ηλεκτρομαγνητική ενέργεια. Ωστόσο κάθε τύπος ενέργειας έχει τη κατεύθυνση κίνησης του στο χώρο, καθώς και τη πυκνότητά του, ώστε τα διανύσματα ροής ενέργειας μπορούν να οριστούν και για άλλους τύπους ενέργειας, π.χ. για μηχανική ενέργεια. Το διάνυσμα Ούμοφ-Πόυντινγκ που ανακαλύφθηκε από τον Νικολάι Ούμοφ το 1874 περιγράφει την ροή ενέργειας σε ένα υγρό και ελαστικό μέσο σε μια εντελώς γενικευμένη άποψη.

Παραδείγματα και εφαρμογές

Το διάνυσμα Πόυντινγκ σε ένα ομοαξονικό καλώδιο

Για παράδειγμα, το διάνυσμα Πόυντινγκ μέσα σε ένα διηλεκτρικό μονωτή ενός ομοαξονικού καλωδίου είναι σχεδόν παράλληλο στον άξονα του σύρματος (υποθέτοντας καθόλου πεδία έξω από το καλώδιο) – ώστε ηλεκτρική ενέργεια ρέει διαμέσου του διηλεκτρικού μεταξύ των αγωγών. Αν ο αγωγός-πυρήνας αντικαθιστόταν από ένα σύρμα με σημαντική αντίσταση, τότε το διάνυσμα Πόυντινγκ θα έκλινε προς αυτό το σύρμα, υποδεικνύοντας ότι η ενέργεια ρέει από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσα στο σύρμα, παράγοντας θέρμανση Joule από αντίσταση στο σύρμα.

Το διάνυσμα Πόυντινγκ σε επίπεδα κύματα

Σε ένα ημιτονοειδές ηλεκτρομαγνητικό επίπεδο κύμα μιας σταθερής συχνότητας που διαδίδεται, το διάνυσμα Πόυντινγκ ταλαντώνεται, πάντα δείχνοντας προς την διεύθυνση της διάδοσης. Το κατά μέσο όρο του χρόνου μέγεθος του διανύσματος Πόυντινγκ είναι

$\langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}c}}E_{0}^{2}={\frac {\epsilon _{0}c}{2}}E_{0}^{2},$

όπου $\ E_{0}$ είναι το μέγιστο πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου και $\ c$ είναι η ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο. Αυτή η κατά μέσο όρο του χρόνου τιμή καλείται επίσης ακτινοβολισμός ή ένταση I.

Εξαγωγή

Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό επίπεδο κύμα, τα $\mathbf {E}$ και $\mathbf {B}$ είναι πάντα κάθετα το ένα στο άλλο και στην διεύθυνση διάδοσης. Επιπλέον, τα πλάτη του είναι σχετικά σύμφωνα με τη σχέση

$B_{0}={\frac {E_{0}}{c}},$

και οι εξαρτήσεις χρόνου και θέσης τους είναι

$E\left(t,{\mathbf {r} }\right)=E_{0}\,\cos \left(\omega \,t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right),$

$B\left(t,{\mathbf {r} }\right)=B_{0}\,\cos \left(\omega \,t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right),$

όπου $\ \omega$ είναι η συχνότητα του κύματος και $\mathbf {k}$ είναι το διάνυσμα κύματος. Το εξαρτώμενο από το χρόνο και το μέγεθος θέσης του διανύσματος Poynting είναι τότε

$S(t)={\frac {1}{\mu _{0}}}E_{0}\,B_{0}\,\cos ^{2}\left(\omega t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right)={\frac {1}{\mu _{0}c}}E_{0}^{2}\cos ^{2}\left(\omega t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right)=\epsilon _{0}cE_{0}^{2}\cos ^{2}\left(\omega t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right).$

Στο τελευταίο βήμα, χρησιμοποιήσαμε την ισότητα $\epsilon _{0}\,\mu _{0}={c}^{-2}$. Αφού το κατά μέσο όρο του χρόνου ή του χώρου $\cos ^{2}\left(\omega \,t-{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }\right)$ είναι ½, ακολουθείται ότι

$\left\langle S\right\rangle ={\frac {\epsilon _{0}c}{2}}E_{0}^{2}.$

Διάνυσμα Πόυντινγκ και πίεση ακτινοβολίας

Το S διαιρούμενο με το τετράγωνο της ταχύτητας του φωτός στον ελεύθερο χώρο είναι η πυκνότητα της γραμμικής επιτάχυνσης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Η κατά μέσο όρο του χρόνου ένταση $\langle \mathbf {S} \rangle$ διαιρούμενη με την ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο είναι η πίεση ακτινοβολίας που ασκείται από ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα στην επιφάνεια ενός στόχου:

$P_{rad}={\frac {\langle S\rangle }{c}}.$

Προβλήματα σε συγκεκριμένες περιπτώσεις

Η συχνή χρήση του διανύσματος Πόυντινγκ ως μια ροή ενέργειας αντί στο πλαίσιο του θεωρήματος Πόυντινγκ δίνει βάση σε αμφιλεγόμενες ερμηνείες σε περιπτώσεις που δεν χρησιμοποιείται για να περιγράψει την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Δύο παραδείγματα δίνονται παρακάτω.

Ροή Ισχύος DC σε ένα ομόκεντρο καλώδιο

Η εφαρμογή του Θεωρήματος του Πόυντινγκ σε ένα ομόκεντρο καλώδιο που κουβαλάει DC ρεύμα οδηγεί στην σωστή εξίσωση μεταφοράς ισχύος ${\mathit {P}}={\mathit {V}}{\mathit {I}}$, όπου ${\mathit {V}}$ είναι η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στο καλώδιο και στη γείωση, ${\mathit {I}}$ είναι το ρεύμα που κουβαλάει το καλώδιο. Αυτή η ισχύς ρέει διαμέσου του περιβάλλοντος διηλεκτρικού, και όχι διαμέσου του ιδίου του καλωδίου.

Ωστόσο, είναι γνωστό ότι η ισχύς δεν μπορείς να ακτινοβοληθεί χωρίς επιταχυνόμενα φορτία, π.χ. ρεύματα μεταβαλλόμενα με το χρόνο. Αφού θεωρούμε DC (χρονικά αμετάβλητα) ρεύματα εδώ, η ακτινοβόληση δεν είναι δυνατή. Αυτό έχει οδηγήσει σε προβληματισμό ότι το Διάνυσμα Πόυντινγκ μπορεί να μην αναπαριστά την ροή ισχύος σε συγκεκριμένα συστήματα.

Ανεξάρτητα πεδία E και B

Ανεξάρτητα στατικά πεδία $\mathbf {E}$ και $\mathbf {B}$ δεν έχουν ως αποτέλεσμα ροές ισχύος κατά μήκος της κατεύθυνσης του $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$.

Για παράδειγμα, η εφαρμογή του Θεωρήματος Πόυντινγκ σε ένα ευθύγραμμο μαγνήτη, στον οποίο ένα ηλεκτρικό φορτίο είναι παρόν, οδηγεί στο φαινομενικά παράξενο συμπέρασμα ότι υπάρχει μια συνεχής κυκλοφορία ενέργειας γύρω από το μαγνήτη. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία απόκλιση της ροής ενέργειας, ή σε απλή γλώσσα, ενέργεια η οποία μπαίνει σε μια δεδομένη μονάδα χώρου ισούται με την ενέργεια που βγαίνει από αυτή την μονάδα του χώρου, ώστε δεν υπάρχει συνολική ροή ενέργειας σε αυτή την μονάδα χώρου.

Περαιτέρω διάβασμα

• "Poynting Vector" από το ScienceWorld (Μια πηγή του Wolfram Web) από τον Eric W. Weisstein
• Richard Becker & Sauter, F (1964). Electromagnetic fields and interactions. New York: Dover. ISBN 0486642909. 
• Joseph Edminister (1995). Schaum's outline of theory and problems of electromagnetics. New York: McGraw-Hill Professional. σελ. 225. ISBN 0070212341.