Αστροειδής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Αστροειδής
Κατασκευή της αστροειδούς (ως υποκυκλοειδής καμπύλη)
Η αστροειδής περιβάλλει μια οικογένεια ελλείψεων με παραμέτρους που έχουν σταθερό άθροισμα: α + β = σταθερό.

Η αστροειδής είναι μια συγκεκριμένη μαθηματική καμπύλη (που ανήκει στην οικογένεια των υποκυκλοειδών) με τέσσερις ακμές. Συγκεκριμένα, είναι ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου σε ένα κύκλο καθώς αυτός κυλά μέσα σε ένα άλλο σταθερό κύκλο με τετραπλάσια ακτίνα.[1] Ισοδύναμα, είναι επίσης ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου σε ένα κύκλο καθώς αυτός κυλά μέσα σε ένα μεγαλύτερο κύκλο με ακτίνα 4/3 φορές μεγαλύτερη. Μπορεί επίσης να οριστεί ως το περίγραμμα που προκύπτει όταν σε δύο ορθογώνιους άξονες κυλάμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σταθερού μήκουε έτσι ώστε τα άκρα του να είναι πάντα στους άξονες. 

Το σύγχρονο όνομα προέρχεται από την ελληνική λέξη για το "αστέρι" και στο παρελθόν είχε και διαφορετικά ονόματα [2][3].

Εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν η ακτίνα του μεγάλου σταθερού κύκλο είναι α, τότε η εξίσωση δίνεται από[4]

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι

Η πολική εξίσωση είναι[5]

Με απλές αλγεβρικές πράξεις μπορούμε να δούμε ότι η εξίσωσή της μπορεί να γραφεί ως:

το οποίο σημείναι ότι η αστροειδής είναι μια πραγματική αλγεβρική καμπύλη του βαθμού έξι.

Μετρικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιοχή που περικλείεται[6]
Μήκος της καμπύλης

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Yates
  2. J. J. v. Littrow (1838). «§99. Die Astrois». Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. Wien, σελ. 299. https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299. 
  3. Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Leipzig, σελ. 224. 
  4. Yates, for section
  5. Mathworld
  6. Yates, for section

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]