Ακολουθίες του Cauchy

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ακολουθίες του Cauchy ονομάζονται οι ακολουθίες των οποίων οι όροι έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται. Ονομάστηκαν προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin-Louis Cauchy).

Η χρησιμότητα των ακολούθιων Cauchy έγκειται στο γεγονός ότι σ' ένα πλήρες μετρικό χώρο το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται μόνο από τους όρους της ίδιας της ακολουθίας, αντίθετα με τον ορισμό της σύγκλισης που χρησιμοποιεί την οριακή τιμή, καθώς και τους όρους. Συχνά χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους, τόσο θεωρητικα και εφαρμοσμένα,όπου μια επαναληπτική διαδικασία μπορεί να σχετικά εύκολα να παράγει μια ακολουθία Cauchy, που αποτελείται από τις επαναλήψεις, εκπληρώνοντας έτσι μια λογική κατάσταση, όπως τερματισμός.

Οι παραπάνω έννοιες δεν είναι τόσο άγνωστες όσο φαίνονται αρχικά. Η συνήθης αποδοχή του γεγονότος ότι κάθε πραγματικός αριθμός x έχει μια δεκαδική επέκταση αποτελεί έμμεση παραδοχή ότι μια συγκεκριμένη ακολουθία Cauchy ρητών αριθμών (οι όροι της οποίας είναι οι διαδοχικές αποκοπές δεκαδικής επέκτασης του x) έχει ένα πραγματικό όριο x.

Γενικεύσεις των ακολουθιών Cauchy σε πιο αφηρημένους ενιαίους χώρους υπάρχουν με τη μορφή των φίλτρων Cauchy και δικτύων Cauchy.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πραγματική ακολουθία (x_n)_{n\in\N} είναι Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει |x_n - x_m|<\varepsilon.

Μία ακολουθία (x_n)_{n\in\N} ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει d(x_n, x_m)<\varepsilon.

Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε την ακολουθία x_n=F_{n+1}/F_n στον, όπου F_n, n=1,2,.. οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x_n είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή \phi = (1+\sqrt5)/2. Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ.

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε τοπολογικούς Διανυσματικούς Χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει επίσης μια έννοια της ακολουθίας Cauchy για ένα τοπολογικό διανυσματικό χώρο X: διαλέγωντας μια βάση B για τον X κοντά στο 0, τότε (x_k) είναι ακολουθία Cauchy αν για κάθε V \in B υπάρχει N τ.ω. οποτεδήποτε n,m>N, x_n-x_m είναι στοιχείο του V.

Σε τοπολογικές ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου ότι o ορισμός τοπολογικού διανυσματικού χώρου ως προς μια Cauchy ακολουθία απαιτεί μόνο να υπάρχει μια συνεχής λειτουργία «αφαίρεσης», μπορεί κάλλιστα να αναφέρεται στο πλαίσιο μιας τοπολογικής ομάδας: Μια ακολουθία (x_k) σε μια τοπολογική ομάδα G είναι μια ακολουθία Cauchy αν για κάθε ανοικτή περιοχή U της ταυτοτικής στο G υπάρχει κάποιος αριθμός N τέτοιος ώστε κάθε φορά m,n>Nέπεται ότι x_nx_m^{-1} \in U.

Σε ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει επίσης μια έννοια της Cauchy ακολουθίας σε μια ομάδα G: Έστω H=(H_r) είναι μια φθίνουσα ακολουθία κανονικών υποομάδων της G με πεπερασμένο δείκτη. Στη συνέχεια, μια ακολουθία (x_n) στη G λέγεται ότι είναι Cauchy αν και μόνο αν για κάθε r υπάρχει N τέτοιο ώστε \forall m, n> N, x_n x_m ^ {- 1} \in H_r.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]