Ψηφιακή επεξεργασία σήματος

Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος (ΨΕΣ, αγγλ.: Digital signal processing ή DSP) ασχολείται με την επεξεργασία σημάτων στο πεδίο του χρόνου, του χώρου ή/και της συχνότητας, τα οποία αναπαρίστανται ως ακολουθίες αριθμών ή συμβόλων. Η ψηφιακή και η αναλογική επεξεργασία σήματος συναποτελούν το διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο της επεξεργασία σήματος που βασίζονται σε τεχνικές των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Κάποιες εφαρμογές της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος είναι η επεξεργασία ήχου, η αναγνώριση φωνής, η επεξεργασία σημάτων από σόναρ, ραντάρ και συστοιχίες αισθητήρων, η εκτίμηση φάσματος, η στατιστική επεξεργασία σήματος, η ψηφιακή επεξεργασία εικόνας, η επεξεργασία σήματος στις τηλεπικοινωνίες, ο έλεγχος συστημάτων, η επεξεργασία βιοϊατρικών σημάτων και η επεξεργασία σεισμικών δεδομένων.

Ο σκοπός της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος συνήθως είναι η μέτρηση, το φιλτράρισμα ή η συμπίεση συνεχόμενων αναλογικών φυσικών σημάτων. Το πρώτο βήμα συνήθως είναι η μετατροπή του σήματος από αναλογικό σε ψηφιακό, μέσω δειγματοληψίας και κβάντισης σήματος με τη βοήθεια ενός μετατροπέα αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (ADC), ο οποίος μετασχηματίζει το αναλογικό σήμα σε μια ακολουθία από αριθμούς. Συχνά όμως το ζητούμενο σήμα εξόδου είναι επίσης αναλογικό παρόλο που η επεξεργασία έχει ψηφιακό χαρακτήρα, επομένως χρειάζεται και ένας μετατροπέας ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (DAC). Αν και αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι πιο πολύπλοκη σε σχέση με την αναλογική επεξεργασία και έχει διακριτό πεδίο τιμών, η χρήση υπολογιστικής ισχύος στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σχέση με την αναλογική επεξεργασία σήματος σε πολλές εφαρμογές, όπως ο εντοπισμός και η διόρθωση λαθών στις επικοινωνίες και η συμπίεση δεδομένων.

Οι αλγόριθμοι ΨΕΣ εκτελούνται από παλιά σε υπολογιστές, σε εξειδικευμένους επεξεργαστές που ονομάζονται ψηφιακοί επεξεργαστές σήματος σε υλικό που κατασκευάζεται ειδικά για αυτόν τον σκοπό, όπως τα ολοκληρωμένα κυκλώματα εφαρμογών (Application-Specific Integrated Circuits, ASIC). Σήμερα χρησιμοποιούνται και άλλες τεχνολογίες για την ψηφιακή επεξεργασία σήματος όπως οι ισχυροί μικροεπεξεργαστές γενικής χρήσης, οι συστοιχίες επιτόπια προγραμματιζόμενων πυλών (FPGA), οι ψηφιακοί ελεγκτές σήματος (κυρίως σε εφαρμογές στη βιομηχανία, όπως ο έλεγχος κινητήρων) και οι επεξεργαστές ροής (stream processors).

Δειγματοληψία σήματος

Η ψηφιακή επεξεργασία σήματος χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο, λόγω της αυξανόμενης χρήσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Για να χρησιμοποιηθεί ένα αναλογικό σήμα σε έναν υπολογιστή πρέπει να μετατραπεί σε ψηφιακό μέσω ενός μετατροπέα από αναλογικό σε ψηφιακό.

Η δειγματοληψία συνήθως γίνεται σε δύο στάδια, τη μετατροπή σε διακριτές τιμές (discretization) και τον κβαντισμό (quantization). Στο πρώτο στάδιο, το πεδίο των σημάτων χωρίζεται σε κλάσεις ισοδυναμίας και ο κβαντισμός προκύπτει από την αντικατάσταση ενός σήματος από το αντίστοιχο σήμα που αναπαριστά την κλάση ισοδυναμίας του. Στο στάδιο του κβαντισμού οι τιμές του σήματος αναπαριστώνται από τιμές από ένα πεπερασμένο σύνολο.

Το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist-Shannon δηλώνει ότι ένα σήμα μπορεί να ανακατασκευαστεί με ακρίβεια από τα δείγματά του αν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι μεγαλύτερη ή ίση με την υψηλότερη συχνότητα του σήματος - κάτι τέτοιο όμως απαιτεί άπειρα δείγματα. Στην πράξη η συχνότητα δειγματοληψίας είναι συχνά αρκετά μεγαλύτερη από την διπλή συχνότητα που απαιτεί το εύρος ζώνης του σήματος.

Ένας μετατροπέας από ψηφιακό σε αναλογικό χρησιμοποιείται για να γίνει το ψηφιακό σήμα πάλι αναλογικό. Η χρήση υπολογιστή είναι βασικό συστατικό στα συστήματα ψηφιακού ελέγχου (digital control systems).

Πεδία της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος

Στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος οι μηχανικοί συνήθως μελετούν ψηφιακά σήματα σε ένα από τα παρακάτω πεδία: στον χρόνο (σήματα μιας διάστασης), στον χώρο (πολυδιάστατα σήματα), και στα πεδία της συχνότητας (frequency domain), της αυτοσυσχέτισης (autocorrelation), και των κυματιδίων (wavelet domains). Επιλέγουν το πεδίο στο οποίο θα γίνει η επεξεργασία του σήματος με βάση ποιο πεδίο αναπαριστά καλύτερα τα βασικά χαρακτηριστικά του σήματος. Μια ακολουθία από δείγματα από μια συσκευή μετρήσεων έχει σαν αποτέλεσμα μια αναπαράσταση στον χρόνο ή στον χώρο, ενώ ένας διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ παράγει πληροφορία στο πεδίο της συχνότητας, το φάσμα συχνοτήτων. Η αυτοσυσχέτιση ορίζεται σαν η συσχέτιση μεταξύ του σήματος και του εαυτού του ανά μεταβαλλόμενα χωρικά ή χρονικά διαστήματα.

Χρόνος και χώρος

Η πιο συχνή προσέγγιση για αναπαράσταση στο πεδίο του χρόνου ή του χώρου είναι η επεξεργασία του σήματος εισόδου με μια μέθοδο που ονομάζεται φιλτράρισμα (filtering). Το ψηφιακό φιλτράρισμα συνήθως αποτελείται από έναν γραμμικό μετασχηματισμό μεταξύ ενός δείγματος του σήματος εισόδου ή εξόδου και των γύρω του δειγμάτων. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να χαρακτηριστεί ένα φίλτρο, κάποιοι από αυτούς είναι:

• Ένα «γραμμικό» φίλτρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός των δειγμάτων εισόδου, ενώ υπάρχουν και «μη γραμμικά» φίλτρα. Τα γραμμικά φίλτρα ικανοποιούν την συνθήκη της υπέρθεσης (superposition), δηλαδή αν η είσοδος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός από διαφορετικά σήματα (το καθένα με κάποιο αριθμητικό βάρος), η έξοδος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των αντίστοιχων σημάτων εξόδου με αντίστοιχα βάρη.
• Ένα «αιτιατό» φίλτρο μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο προηγούμενα δείγματα των σημάτων εισόδου ή εξόδου, ενώ ένα «μη αιτιατό» φίλτρο χρησιμοποιεί δείγματα της εισόδου από μελλοντικές στιγμές. Ένα μη αιτιατό φίλτρο μπορεί συνήθως να γίνει αιτιατό με την προσθήκη καθυστέρησης σε αυτό.
• Ένα «αναλλοίωτο στον χρόνο» φίλτρο έχει σταθερές ιδιότητες στον χρόνο. Άλλα φίλτρα, όπως τα προσαρμοστικά φίλτρα (adaptive filters) αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.
• Κάποια φίλτρα είναι «σταθερά» ενώ άλλα είναι «ασταθή». Ένα σταθερό φίλτρο παράγει μια έξοδο που συγκλίνει σε μια σταθερή τιμή με τον χρόνο ή παραμένει μέσα σε κάποια πεπερασμένα όρια. Ένα ασταθές φίλτρο μπορεί να παράγει μια έξοδο που μεγαλώνει χωρίς όριο, ενώ η είσοδός του να είναι μέσα σε κάποια όρια ή ακόμα και μηδενική.
• Ένα φίλτρο «πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης» (finite impulse response, FIR) χρησιμοποιεί μόνο τα σήματα εισόδου, ενώ ένα φίλτρο «άπειρης κρουστικής απόκρισης» (infinite impulse response, IIR) χρησιμοποιεί τόσο το σήμα εισόδου όσο και προηγούμενα δείγματα από το σήμα εξόδου. Τα φίλτρα FIR είναι πάντα σταθερά, ενώ τα φίλτρα IIR μπορεί να είναι ασταθή.

Τα φίλτρα μπορούν να αναπαρασταθούν από μπλοκ διαγράμματα, τα οποία στη συνέχεια μπορούν να οδηγήσουν σε έναν αλγόριθμο επεξεργασίας δειγμάτων που να υλοποιείται μέσω εντολών σε υλικό. Ένα φίλτρο μπορεί επίσης να περιγραφεί σαν εξίσωση διαφορών (difference equation), ένα σύνολο από μηδενικά και πόλους ή, αν είναι φίλτρο FIR, σαν κρουστική ή βηματική απόκριση.

Η έξοδος ενός ψηφιακού φίλτρου σε κάποια είσοδο μπορεί να υπολογιστεί από την συνέλιξη του σήματος εισόδου με την κρουστική απόκριση.

Συχνότητα

Τα σήματα μετατρέπονται από το πεδίο του χρόνου ή του χώρου στο πεδίο της συχνότητας μέσω του μετασχηματισμού Φουριέ. Ο μετασχηματισμός Φουριέ μετατρέπει την πληροφορία του σήματος σε δύο στοιχεία ανά συχνότητα, το μέγεθος και την φάση. Συχνά ο μετασχηματισμός Φουριέ μετατρέπεται στο πεδίο της ισχύος, που είναι το μέγεθος κάθε συχνότητας υψωμένο στο τετράγωνο.

Ο πιο συχνός σκοπός της ανάλυσης σημάτων στο πεδίο της συχνότητας είναι η ανάλυση ιδιοτήτων του σήματος. Ο μηχανικός μπορεί να μελετήσει το φάσμα των συχνοτήτων για να εντοπίσει ποιες συχνότητες υπάρχουν στο σήμα εισόδου.

Εκτός από την πληροφορία της συχνότητας συχνά χρειάζεται και η πληροφορία της φάσης. Αυτή μπορεί να δοθεί από τν μετασχηματισμό Φουριέ και το πώς μεταβάλλεται μαζί με την συχνότητα μπορεί να είναι σημαντικό σε πολλές εφαρμογές.

Το φιλτράρισμα μπορεί να γίνει με τον μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας, εφαρμογή του φίλτρου και μετασχηματισμό πίσω στο πεδίο του χρόνου. Αυτή είναι μια γρήγορο λειτουργία με πολυπλοκότητα O(n log n) και μπορεί στην πράξη να αποδώσει όλα τα φίλτρα.

Υπάρχουν κάποιοι μετασχηματισμοί στο πεδίο της συχνότητας που χρησιμοποιούνται συχνά. Για παράδειγμα, το κέπστρουμ (cepstrum) μετατρέπει ένα σήμα στο πεδίο της συχνότητας μέσω του μετασχηματισμού Φουριέ, παίρνει τον λογάριθμο και στη συνέχεια εφαρμόζει άλλον έναν μετασχηματισμό Φουριέ. Αυτό δίνει έμφαση στις συχνότητες με μικρότερο μέγεθος ενώ διατηρεί τη διάταξη των μεγεθών σε όλες τις συχνότητες.

Η ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας αποκαλείται επίσης ανάλυση φάσματος (spectrum analysis, spectral analysis).

Μετασχηματισμός Ζ

Αν και τα αναλογικά φίλτρα συνήθως αναλύονται με βάση τη συνάρτηση μεταφοράς τους στο πεδίο των μετασχηματισμών Λαπλάς, τα ψηφιακά φίλτρα αναλύονται στο πεδίο των μετασχηματισμών Ζ. Ένα ψηφιακό φίλτρο μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο Ζ από το χαρακτηριστικό σύνολο μηδενικών και πόλων. Το πεδίο Ζ παρέχει έναν τρόπο αντιστοίχισης της ψηφιακής συχνότητας (δείγματα/δευτερόλεπτο) σε πραγματικές και φανταστικές συνιστώσες z, όπου $z=e^{j\Omega }$ για συνεχή περιοδικά σήματα και $\Omega =2\pi F$ ($F$ είναι η ψηφιακή συχνότητα). Αυτό είναι χρήσιμο για την οπτικοποίηση της απόκρισης συχνότητας ενός ψηφιακού συστήματος ή σήματος.

Κυματίδια

Παράδειγμα του διδιάστατου διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίων που χρησιμοποιείται στο πρότυπο JPEG2000. Η αρχική εικόνα έχει περάσει από υψιπερατό φίλτρο, με αποτέλεσμα τρεις μεγάλες εικόνες, η καθεμία από τις οποίες περιγράφει τοπικές αλλαγές στην φωτεινότητα (λεπτομέρειες) της αρχικής εικόνας. Στη συνέχεια η εικόνα περνάει από βαθυπερατό φίλτρο και σμικρύνεται, με αποτέλεσμα μια προσεγγιστική εικόνα, η οποία στη συνέχεια περνάει από ένα υψιπερατό φίλτρο για να προκύψουν οι τρεις μικρότερες εικόνες της λεπτομέρειας, και τέλος περνάει από ένα βαθυπερατό φίλτρο για να παραχθεί η τελική προσεγγιστική εικόνα πάνω αριστερά.

Στην αριθμητική ανάλυση και στη συναρτησιακή ανάλυση, ένας διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίων (discrete wavelet transform, DWT) είναι κάθε μετασχηματισμός κυματιδίων, τα κυματίδια του οποίου είναι σε διακριτά δείγματα. Όπως και οι άλλοι μετασχηματισμοί κυματιδίων, ένα βασικό πλεονέκτημα σε σχέση με τους μετασχηματισμούς Φουριέ είναι η ανάλυση στον χρόνο: κρατά και την πληροφορία της συχνότητας και την πληροφορία της θέσης (στον χρόνο).

Εφαρμογές

Οι βασικές εφαρμογές της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος είναι η επεξεργασία ηχητικών σημάτων, η συμπίεση ήχου, η ψηφιακή επεξεργασία εικόνας, η συμπίεση βίντεο, η επεξεργασία φωνής, η αναγνώριση φωνής, οι ψηφιακές τηλεπικοινωνίες, τα ραντάρ, τα σόναρ, η σεισμολογία και η βιοϊατρική. Κάποια πιο συγκεκριμένα παραδείγματα είναι η συμπίεση φωνής και η μετάδοση σε ψηφιακά κινητά τηλέφωνα, η ψηφιακή διόρθωση δωματίου (digital room correction) του ήχου στα ηχοσυστήματα και σε εφαρμογές ενίσχυσης ήχου (sound reinforcement), η πρόγνωση καιρού, οι οικονομικές προβλέψεις, η επεξεργασία δεδομένων από σεισμούς, η ανάλυση και ο έλεγχος βιομηχανικών διεργασιών, η ιατρική απεικόνιση (medical imaging) όπως οι αξονικές και οι μαγνητικές τομογραφίες, η συμπίεση MP3, τα γραφικά υπολογιστών, η επεξεργασία εικόνας, τα φίλτρα crossover και οι ισοσταθμιστές (equalizers) των ηχείων hi-fi, και τα ηχητικά εφέ που χρησιμοποιούνται μαζί με τους ενισχυτές ηλεκτρικής κιθάρας.

Υλοποίηση

Ανάλογα με τις απαιτήσεις της εφαρμογής, οι λειτουργίες της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος μπορούν να υλοποιηθούν σε υπολογιστές γενικής χρήσης (όπως οι υπερυπολογιστές ή οι προσωπικοί υπολογιστές) ή με ενσωματωμένους επεξεργαστές που κάποιες φορές περιέχουν εξειδικευμένους μικροεπεξεργαστές που ονομάζονται ψηφιακοί επεξεργαστές σήματος (digital signal processors).

Συχνά, όταν η επεξεργασία δεν χρειάζεται να γίνεται σε πραγματικό χρόνο, μπορεί να γίνει για λόγους οικονομίας με κάποιον υπολογιστή γενικής χρήσης και με τα σήματα εισόδου/εξόδου να βρίσκονται σε αρχεία, κάτι που δε διαφέρει πολύ από άλλες εφαρμογές επεξεργασίας δεδομένων. Χρησιμοποιούνται μαθηματικές τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας σήματος (όπως ο γρήγορος μετασχηματισμός Φουριέ ή FFT) και τα δείγματα-δεδομένα θεωρείται ότι είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα στον χρόνο και στον χώρο. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η επεξεργασία ψηφιακών φωτογραφιών με λογισμικό όπως το Photoshop.

Όταν όμως η εφαρμογή απαιτεί απόκριση σε πραγματικό χρόνο, η ψηφιακή επεξεργασία σήματος συνήθως υλοποιείται χρησιμοποιώντας εξειδικευμένους επεξεργαστές όπως ο DSP56000, ο TMS320 ή ο SHARC. Αυτοί συνήθως επεξεργάζονται τα δεδομένα χρησιμοποιώντας αριθμητική σταθερής υποδιαστολής (fixed-point arithmetic), αν και κάποιες εκδόσεις τους μπορούν να χρησιμοποιήσουν αριθμητική κινητής υποδιαστολής (floating point arithmetic) και είναι πιο ισχυροί. Για πιο γρήγορες εφαρμογές μπορούν να χρησιμοποιηθούν FPGA. Από το 2007 έχουν αρχίσει να εμφανίζονται πολυπύρηνες υλοποιήσεις ψηφιακών επεξεργαστών σήματος, από εταιρείες όπως η Freescale και η Stream Processors. Για ακόμα πιο γρήγορες εφαρμογές με πάρα πολλούς χρήστες μπορούν να σχεδιαστούν ολοκληρωμένα κυκλώματα εφαρμογών (ASIC) κατά περίπτωση. Για πιο αργές εφαρμογές, μπορεί να αρκεί ένας πιο αργός επεξεργαστής, όπως ένας μικροελεγκτής. Πολλές εφαρμογές ψηφιακής επεξεργασίας σήματος υλοποιούνται σε ενσωματωμένα συστήματα χρησιμοποιώντας ισχυρούς προσωπικούς υπολογιστές με πολυπύρηνους επεξεργαστές.

Τεχνικές

• Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transform)
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ (discrete Fourier transform)
• Μετασχηματισμός Φουριέ διακριτού χρόνου (discrete-time Fourier transform)
• Σχεδίαση φίλτρων
• Θεωρία συστημάτων LTI
• Ελάχιστη φάση (minimum phase)
• Συνάρτηση μεταφοράς
• Μετασχηματισμός Ζ (Z-transform)
• Αλγόριθμος Goertzel
• Πεδίο-s (s-plane)

Σχετικά πεδία

• Αναλογική επεξεργασία σήματος
• Ανάλυση Φουριέ
• Αυτόματος έλεγχος
• Επεξεργασία σήματος
• Επιστήμη ηλεκτρολόγου μηχανικού
• Επιστήμη υπολογιστών
• Θεωρία πληροφορίας
• Κυματίδιο (Wavelet)
• Μηχανική μάθηση
• Μηχανική υπολογιστών
• Ροή δεδομένων
• Συμπίεση δεδομένων
• Τηλεπικοινωνίες

Βιβλιογραφία

• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2
• Boaz Porat: A Course in Digital Signal Processing, Wiley, ISBN 0471149616
• Richard G. Lyons: Understanding Digital Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-108989-7
• Jonathan Yaakov Stein, Digital Signal Processing, a Computer Science Perspective, Wiley, ISBN 0-471-29546-9
• Sen M. Kuo, Woon-Seng Gan: Digital Signal Processors: Architectures, Implementations, and Applications, Prentice Hall, ISBN 0-13-035214-4
• Bernard Mulgrew, Peter Grant, John Thompson: Digital Signal Processing - Concepts and Applications, Palgrave Macmillan, ISBN 0-333-96356-3
• Steven W. Smith: Digital Signal Processing - A Practical Guide for Engineers and Scientists, Newnes, ISBN 0-7506-7444-X, ISBN 0-9660176-3-3
• Paul A. Lynn, Wolfgang Fuerst: Introductory Digital Signal Processing with Computer Applications, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-97984-8
• James D. Broesch: Digital Signal Processing Demystified, Newnes, ISBN 1-878707-16-7
• John G. Proakis, Dimitris Manolakis: Digital Signal Processing - Principles, Algorithms and Applications, Pearson, ISBN 0-13-394289-9
• Hari Krishna Garg: Digital Signal Processing Algorithms, CRC Press, ISBN 0-8493-7178-3
• P. Gaydecki: Foundations Of Digital Signal Processing: Theory, Algorithms And Hardware Design, Institution of Electrical Engineers, ISBN 0-85296-431-5
• Gibson, John. “Spectral Delay as a Compositional Resource.” eContact! 11.4 — Toronto Electroacoustic Symposium 2009 (TES) / Symposium Électroacoustique 2009 de Toronto (December 2009). Montréal: CEC.
• Paul M. Embree, Damon Danieli: C++ Algorithms for Digital Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-179144-3
• Anthony Zaknich: Neural Networks for Intelligent Signal Processing, World Scientific Pub Co Inc, ISBN 981-238-305-0
• Vijay Madisetti, Douglas B. Williams: The Digital Signal Processing Handbook, CRC Press, ISBN 0-8493-8572-5
• Stergios Stergiopoulos: Advanced Signal Processing Handbook: Theory and Implementation for Radar, Sonar, and Medical Imaging Real-Time Systems, CRC Press, ISBN 0-8493-3691-0
• Joyce Van De Vegte: Fundamentals of Digital Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-016077-6
• Ashfaq Khan: Digital Signal Processing Fundamentals, Charles River Media, ISBN 1-58450-281-9
• Jonathan M. Blackledge, Martin Turner: Digital Signal Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications, Horwood Publishing, ISBN 1-898563-48-9
• Bimal Krishna, K. Y. Lin, Hari C. Krishna: Computational Number Theory & Digital Signal Processing, CRC Press, ISBN 0-8493-7177-5
• Doug Smith: Digital Signal Processing Technology: Essentials of the Communications Revolution, American Radio Relay League, ISBN 0-87259-819-5
• Henrique S. Malvar: Signal Processing with Lapped Transforms, Artech House Publishers, ISBN 0-89006-467-9
• Charles A. Schuler: Digital Signal Processing: A Hands-On Approach, McGraw-Hill, ISBN 0-07-829744-3
• James H. McClellan, Ronald W. Schafer, Mark A. Yoder: Signal Processing First, Prentice Hall, ISBN 0-13-090999-8
• Artur Krukowski, Izzet Kale: DSP System Design: Complexity Reduced Iir Filter Implementation for Practical Applications, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-7558-8
• Kainam Thomas Wong [1]: Statistical Signal Processing lecture notes [2] Αρχειοθετήθηκε 2011-10-04 στο Wayback Machine. at the University of Waterloo, Canada.
• John G. Proakis: A Self-Study Guide for Digital Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-143239-7