Δειγματοληψία σήματος

Σχεδιάγραμμα δειγματοληψίας σήματος. Το συνεχές σήμα αναπαριστάται από την πράσινη γραμμή ενώ τα διακριτά δείγματα (αποτέλεσμα δειγματοληψίας) με το μπλε χρώμα.

Στην επιστήμη της επεξεργασίας σήματος, δειγματοληψία (αγγλ.: sampling) είναι η μετατροπή ενός συνεχούς σήματος σε διακριτό σήμα. Ένα συχνό παράδειγμα δειγματοληψίας είναι η μετατροπή ενός ηχητικού σήματος (συνεχές σήμα) σε μια σειρά από δείγματα (ονομάζεται σήμα διακριτού χρόνου).

Το δείγμα συνήθως αναφέρεται σε μια τιμή του συνεχούς σήματος σε ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο.

Ο δειγματολήπης είναι ένα σύστημα το οποίο εξάγει δείγματα (σε ίσα χρονικά διαστήματα) από ένα συνεχές σήμα. Ένας θεωρητικός ιδανικός δειγματολήπης δημιουργεί δείγματα τα οποία αντιστοιχούν στην στιγμιαία τιμή του συνεχές σήματος στα επιθυμητά χρονικά σημεία.

Θεωρία

Η δειγματοληψία αναφέρεται σε σήματα τα οποία μεταβάλλονται σε σχέση με τον χρόνο. Εδώ θα αναφερθούμε στην δειγματοληψία σημάτων που μεταβάλλονται σε μια διάσταση (π.χ. ήχος), αλλά η δειγματοληψία μπορεί να γίνει και σε σήματα πολλών διαστάσεων (π.χ. οι εικόνες).

Παράδειγμα δειγματοληψίας ενός ημιτόνου. Η δειγματοληψία έγινε σε κάθε 0,001 δευτερόλεπτο. Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι $f_s=\frac{1}{0,001}=1000 Hz$.

Έστω $x_c(t)$ ένα συνεχές (c είναι το αρχικό της αγγλικής λέξης continuous - συνεχές), μονοδιάστατο σήμα στο οποίο θα γίνει δειγματοληψία. Η δειγματοληψία θα γίνει παίρνοντας δείγματα του σήματος (τιμή της συνάρτησης) ανά σταθερά χρονικά σημεία, δηλαδή κάθε $T$ δευτερόλεπτα. $T$ ονομάζεται η περίοδος δειγματοληψίας του σήματος. Το σήμα $x[n]$ στο οποίο έγινε η δειγματοληψία δίνεται από το τύπο:

$\,\! x[n] = x_c(nT)$, με $\,\! n = 0, \pm1,\pm2, \pm3, \ldots$

Συχνότητα δειγματοληψίας

Η συχνότητα δειγματοληψίας ή ρυθμός δειγματοληψίας μετριέται στην μονάδα μέτρησης Χερτζ ($H_z$) και μας δείχνει πόσα δείγματα έχουν δειγματοληφθεί από τον δειγματολήπτη σε διάρκεια ενός δευτερολέπτου.

Εάν η συχνότητα δειγματοληψίας $f_s$ (το είναι $f_s$ είναι τα αρχικά sampling frequency - συχνότητα δειγματοληψίας) $1000 H_z$, σημαίνει ο δειγματολήπτης δημιουργεί 1000 δείγματα για 1 δευτερόλεπτο σήματος. Η χρονική απόσταση των δειγμάτων υπολογίζεται από τον τύπο $f_s = \frac{1}{T}$ (το T είναι η περίοδος δειγματοληψίας) και για συχνότητα δειγματοληψίας $1000 H_z$ έχουμε $T = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{1000} = 0,001 sec$.

Θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist-Shannon

    Έστω $x_c(t)$ ένα συνεχές σήμα περιορισμένου εύρους: $X_c(j\Omega)=0$ για $|\Omega| \le \Omega_N$.

$\Omega = \frac{2\pi}{T}$ είναι η έκφραση της συχνότητας σε ακτίνια/sec.

Τότε το σήμα $x_c(t)$ ορίζεται και μπορεί να ανακατασκευαστεί από τα δείγματά του $x[x] = x_c(nT), n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ εάν $\Omega_s = \frac{2\pi}{T} \ge 2\Omega_N$ ή $f_s \ge 2 f_N$.    

— Μαθηματικός φορμαλισμός θεωρήματος δειγματοληψίας Nyquist-Shannon

Το ερώτημα με την δειγματοληψία είναι: Κάτω από ποιες συνθήκες μπορούμε να ανακατασκευάσουμε (πλήρως) το δειγματοληπτημένο σήμα; Μέρος της απάντησης αυτής δίνεται από το θεώρημα Nyquist-Shannon. Το θεώρημα δειγματοληψίας εγγυάται ότι σήματα περιορισμένου φάσματος (π.χ. σήματα τα οποία στο πεδίο της συχνότητας έχουν τιμές μέχρι μια μέγιστη συχνότητα) μπορούν να ανακατασκευαστούν πλήρως από την δειγματοληπτημένη μορφή τους εάν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι περισσότερη ή ίση από 2 φορές της μέγιστη συχνότητά τους.

Η πλήρη ανακατασκευή των διακριτών σημάτων που έχουν δειγματοληφθεί σύμφωνα με το θεώρημα Nyquist-Shannon είναι εφικτό με την συνάρτηση παρεμβολής Whittaker–Shannon .

Εφαρμογές

• Μετατροπή αναλογικού σήματος ήχου σε ψηφιακό. Ο ήχος είναι συνεχές σήμα (πυκνώματα και αραιώματα του αέρα) και με το μικρόφωνο μετατρέπεται σε ηλεκτρική ένταση ρεύματος. Ο δειγματολήπτης μετατρέπει το σήμα σε διακριτό και στην συνέχεια ένας κβαντιστής μετατρέπει τις τιμές του διακριτού σήματος σε ψηφιακές (κάνοντας κβαντισμό - στρογγυλοποίηση). Η δειγματοληψία που χρησιμοποιείται για την δημιουργία ενός μουσικού CD είναι 44.100Hz, δηλαδή η δειγματοληψία γίνεται κάθε 23 ms (milliseconds):

$T = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{44.100} \simeq 23 ms$.