Κεντρομόλος δύναμη

Στην ομαλή κυκλική κίνηση, η κεντρομόλος είναι η μοναδική δύναμη και έχει φορά προς το κέντρο της τροχιάς.

Όταν ένα σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση, δηλαδή περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο γύρω από ένα σταθερό σημείο στον χώρο , τότε στο σώμα ασκείται δύναμη η οποία έχει φορά προς το κέντρο του κύκλου αυτού που διαγράφει η τροχιά του. Αυτή η δύναμη ονομάζεται κεντρομόλος (αγγλικά: centripetal). Η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνιστώσα της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα κατά τη διεύθυνση που ορίζει κάθε στιγμή η θέση του με το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του, έχει κατεύθυνση (φορά) προς το κέντρο αυτό και είναι κάθε χρονική στιγμή κάθετη στην ταχύτητα του σώματος.

Στη (δισδιάστατη) ομαλή κυκλική κίνηση στο σώμα ασκείται μόνο η κεντρομόλος δύναμη και το μέτρο της είναι ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας:

$F_{c}={\frac {mv^{2}}{R}}\ ,$

όπου R η ακτίνα της τροχιάς, m η μάζα του σώματος και v η ταχύτητά του.

Στο πολικό σύστημα συντεταγμένων (συνήθως δύο διαστάσεων) τοποθετούμε στο κέντρο της τροχιάς του σώματος το σημείο αναφοράς. Έτσι, η συνολική δύναμη επί του σώματος αναλύεται σε δύο συνιστώσες• την κεντρομόλο και την επιτρόχια.

Αν το σύστημα αναφοράς είναι περιστρεφόμενο με κέντρο περιστροφής το κέντρο και άξονα περιστροφής τον άξονα της κυκλικής τροχιάς του σώματος που εξετάζουμε (όπως ένας παρατηρητής στην επιφάνεια της Γης, η οποία περιστρέφεται), τότε το σύστημα είναι μη αδρανειακό και μας βοηθά μαθηματικά η έννοια της φυγόκεντρης δύναμης, η οποία έχει αντίθετη κατεύθυνση από την κεντρομόλο και το μέτρο της αφαιρείται από την κεντρομόλο.

Κεντρομόλος δύναμη στη διανυσματική ανάλυση

Δεδομένου ενός συστήματος συντεταγμένων, μπορούμε σε κάθε σημείο (x,y) του (διδιάστατου) χώρου να ορίσουμε το λεγόμενο διάνυσμα θέσης, r, το οποίο σε πολικές συντεταγμένες (r,θ) αναπαρίσταται από το διάνυσμα:

$\mathbf {r} =r\ {\boldsymbol {\hat {r}}}$

όπου r=(x²+y²)^1/2 η απόσταση ενός τυχαίου σημείου από την αρχή των αξόνων του επιλεγμένου συστήματος αναφοράς. Δεδομένου ότι οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων που ορίζουν το πολικό σύστημα συντεταγμένων ως προς τη μεταβλητή θ είναι

${\frac {d{\boldsymbol {\hat {r}}}}{d\theta }}={\boldsymbol {\hat {\theta }}},\ \ \ {\frac {d{\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{d\theta }}=-{\boldsymbol {\hat {r}}}$

μπορούμε να αναπαραστήσουμε διανυσματικά τόσο την ταχύτητα, όσο και την επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε τροχιά η οποία περιγράφεται από ένα χρονικά μεταβαλλόμενο διάνυσμα θέσης r(t) σε πολικές συντεταγμένες. Συγκεκριμένα,

$\mathbf {v} ={\dot {r}}\ {\boldsymbol {\hat {r}}}+r{\dot {\theta }}\ {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

$\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\boldsymbol {\hat {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

όπου η τελεία αναφέρεται σε παραγώγιση ως προς το χρόνο. Στην περίπτωση της ομαλής κυκλικής κίνησης, τόσο η απόσταση r όσο και η γωνιακή ταχύτητα dθ/dt είναι σταθερές ποσότητες και ίσες με R (η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς) και ω (η γωνιακή ταχύτητα) αντίστοιχα. Συνεπώς,

$\mathbf {v} =\omega R\ {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}R\ {\boldsymbol {\hat {r}}}$

Το διάνυσμα της ταχύτητας έχει λοιπόν μόνο εφαπτομενική συνιστώσα, ενώ αντίστοιχα η επιτάχυνση έχει μόνο ακτινική συνιστώσα με διεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και μέτρο που εξαρτάται τόσο από την ακτίνα, όσο και από την γωνιακή ταχύτητα. Η κεντρομόλος δύναμη που ασκείται σε σωματίδιο που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, βάσει του 2ου Νόμου του Νεύτωνα, θα είναι λοιπόν

$\mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-m\omega ^{2}R\ {\boldsymbol {\hat {r}}}=-{\frac {mv^{2}}{R}}\ {\boldsymbol {\hat {r}}}$

Δείτε επίσης

• Δύναμη
• Φυγόκεντρος δύναμη

Βιβλιογραφία

• R. Serway (1990), Φυσική Τόμος Ι - Μηχανική. Saunders College Publishing, Λονδίνο.