Ακολουθία Φιμπονάτσι

Μια διάταξη τετραγώνων των οποίων οι πλευρές έχουν το μήκος των διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 και 21.

Στα μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιας ακολουθίας:

$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots \;$

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών.

Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία F_n των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον εξής αναδρομικό τύπο:

$\,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

με $\,F_{0}=0$ και $\,F_{1}=1$.

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Φιμπονάτσι. Το βιβλίο του Φιμπονάτσι, το 1202, με τίτλο Liber Abaci, εισήγαγε την ακολουθία στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης, αν και η ακολουθία είχε περιγραφεί και πιο πριν, από τους Ινδούς. (Κατά μία πιο σύγχρονη σύμβαση, η ακολουθία ξεκινάει με F₀=0. Στο Liber Abaci, όμως, η ακολουθία ξεκινάει με F₁=1, παραλείποντας το αρχικό 0, κάτι που ακολουθείται από κάποιους ακόμη και σήμερα).

Οι Αριθμοί Φιμπονάτσι σχετίζονται με τους Αριθμούς Λούκας δεδομένου ότι είναι συμπληρωματικό ζεύγος της Ακολουθίας Λούκας, ενώ είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι και με τη χρυσή αναλογία. Έχει αρκετές εφαρμογές σε υπολογιστικούς αλγόριθμους, όπως για παράδειγμα η τεχνική αναζήτησης Φιμπονάτσι και η δομή δεδομένων σωρός Φιμπονάτσι. Επιπλέον υπάρχουν γραφικές παραστάσεις οι οποίες ονομάζονται κύβοι Φιμπονάτσι και χρησιμοποιούνται στις παράλληλες διασυνδέσεις και στα κατανεμημένα συστήματα. Τέλος, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι, εμφανίζονται και στη Βιολογία, όπως για παράδειγμα η διακλάδωση στα δέντρα, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, τα στόμια του καρπού ενός ανανά, η ανάπτυξη της αγκινάρας και πολλά άλλα.

Ιστορία

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και συγκεκριμένα σε Σανσκριτικές Προσωδίες. Στην Σανσκριτική προφορική παράδοση, δίνονταν μεγάλη έμφαση κατά πόσο οι μακρόσυρτες συλλαβές (Μ) συνέπιπταν με τις σύντομες (Σ), και μετρούσαν τα διαφορετικά πρότυπα των Μ και των Σ μέσα σε ένα προκαθορισμένο διάστημα, κάτι που οδήγησε στους αριθμούς Φιμπονάτσι. Ο αριθμός των προτύπων που γίνονται m σύντομες συλλαβές μακρόσυρτες είναι ο αριθμός Φιμπονάτσι F_m+1.

Η ανάπτυξη τη ακολουθίας αποδίδεται στον Πινγκάλα (200 π.Χ.), αλλά η πρώτη ξεκάθαρη αναφορά στην Ακολουθία γίνεται στα έργα του Βιραχάνκα (700 μ.Χ.), τα έργα του οποίου δε σώζονται, αλλά μεταφέρθηκαν αυτούσια στα έργα του Γκοπάλα (1153 μ.Χ.).

Μία από τις σελίδες του βιβλίου Liber Abaci του Φιμπονάτσι όπου περιέχεται η συγκεκριμένη ακολουθία.

Στη Δύση, οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται για πρώτη φορά στο βιβλίο Liber Abaci (1202) του Λεονάρντο της Πίζας, γνωστού και ως Φιμπονάτσι. Ο Φιμπονάτσι παίρνει ως δεδομένο ένα ιδανικό πληθυσμό κουνελιών και κάνει τις εξής υποθέσεις: έχουμε ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σε ένα χωράφι, τα κουνέλια είναι σε θέση να ζευγαρώσουν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους, έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζευγάρι κουνελιών, τα κουνέλια δε πεθαίνουν ποτέ και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννάει ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά. Το ερώτημα που έθεσε ο Φιμπονάτσι ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θα έχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;

• Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν, αλλά ακόμη υπάρχει μόνο ένα ζεύγος.
• Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννάει ένα νέο ζεύγος, οπότε στο χωράφι υπάρχουν δύο ζεύγη κουνελιών.
• Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει και δεύτερο ζεύγος, οπότε έχουμε τρία ζεύγη κουνελιών.
• Στο τέλος του τέταρτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει ακόμη ένα ζεύγος, το θηλυκό που γεννήθηκε δύο μήνες πριν γεννάει το πρώτο της ζεύγος, οπότε έχουμε πέντε ζεύγη κουνελιών στο χωράφι.

Στο τέλος του νιοστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσος με το πλήθος των νέων ζεύγων (n-2) προσθέτοντας το πλήθος ζεύγων που υπήρχαν στο χωράφι τον προηγούμενο μήνα (n-1). Αυτός είναι ο νιοστός αριθμός Φιμπονάτσι.

Ο Λεονάρντο της Πίζας ή Φιμπονάτσι έζησε κοντά στην πόλη της Μπεζάια, η οποία αποτελούσε ένα σημαντικό εξαγωγέα κεριού την εποχή του Φιμπονάτσι (από εκεί προέρχεται και η γαλλική εκδοχή του ονόματος της πόλης αυτής, “μπουζί" (bougie), που σημαίνει" κερί "στα γαλλικά). Μια πρόσφατη μαθηματικο-ιστορική ανάλυση της περιόδου και της περιοχής στην οποία έζησε ο Φιμπονάτσι προτείνει ότι στην πραγματικότητα οι μελισσοκόμοι της Μπεζάια και οι γνώσεις τους σχετικά με την αναπαραγωγή των μελισσών αποτέλεσαν την πηγή έμπνευσης της ακολουθίας Φιμπονάτσι και όχι το ευρύτερα ίσως γνωστό μοντέλο της αναπαραγωγής κουνελιών..

Ο όρος «Ακολουθία Φιμπονάτσι» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Εδουάρδο Λούκας.

Λίστα των Αριθμών Φιμπονάτσι

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

F17

F18

F19

F20

F0={0}+1=1

F1={1}+1=2

F2={1}+2=3

F3={2}+3=5

F4={3}+5=8

F5={5}+8=13

F6={8}+13=21

F7={13}+21=34

F8={21}+34=55

F9={34}+55=89

F10={55}+89=144

F11={89}+144=233

F12={144}+233=377

F13={233}+377=610

F14={377}+610=987

F15={610}+987=1597

F16={987}+1597=2584

F17={1597}+2584=4181

F18={2584}+4181=6765

F19={4181}+6765=10946

F20={6765}+10946=17711

Οι πρώτοι 21 αριθμοί Φιμπονάτσι F_n για ν= 0, 1, 2, …, 20 είναι:

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19	F20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Η ακολουθία μπορεί να επεκταθεί και σε αρνητικό δείκτη ν χρησιμοποιώτας αναδιαταγμένη την αναδρομική σχέση

$F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},\,$

που παράγει την ακολουθία των αρνητικών αριθμών Φιμπονάτσι και ικανοποιεί τη σχέση:

$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.\,$

Οπότε η πλήρης ακολουθία είναι η εξής:

F−8

F−7

F−6

F−5

F−4

F−3

F−2

F−1

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

Συνάφεια με τη Χρυσή Αναλογία

Έκφραση Κλειστής Μορφής

Όπως κάθε ακολουθία, η οποία προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η ακολουθία Φιμπονάτσι έχει λύση κλειστής μορφής. Αυτή είναι γνωστή ως Φόρμουλα του Binet, αν και ήταν ήδη γνωστό από τον Αβραάμ ντε Μουάβρ

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$

όπου

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\dots \,$

είναι η χρυσή αναλογία, και

$\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }.$

Για να το δούμε αυτό, θα πρέπει το φ και το ψ να είναι και τα δύο λύσεις της εξίσωσης

$x^{2}=x+1,\,x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},\,$

οπότε οι δυνάμει των φ και ψ ικανοποιούν την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι. Δηλαδή

$\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}\,$

και

$\psi ^{n}=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}\,.$

Αυτό ισχύει για κάθε τιμή των a και b και η ακολουθία ορίζεται από

$U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}$

και ικανοποιεί την ίδια αναδρομική σχέση

$U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}.\,$

Εάν a και b επιλεγούν έτσι ώστε U₀ = 0 και U₁ = 1 τότε η ακολουθία U_n που προκύπτει είναι η ακολουθία Φιμπονάτσι. Αυτό είναι το ίδιο αν απαιτήσουμε τα a και b να ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα εξισώσεων:

$a+b=0\,$

$\varphi a+\psi b=1\,$

το οποίο έχει λύση

$a=1/(\varphi -\psi )=1/{\sqrt {5}},\,b=-a$

και παράγει την απαιτούμενη φόρμουλα.

Υπολογισμός με στρογγυλοποίηση

Εάν

$|\psi |^{n}/{\sqrt {5}}<1/2$

για κάθε n ≥ 0, ο αριθμός F_n είναι ο κοντινότερος ακέραιος του

$\varphi ^{n}/{\sqrt {5}}\,.$

Επομένως μπορεί να βρεθεί στρογγυλοποιώντας

$F_{n}={\bigg \lfloor }{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}{\bigg \rfloor },\ n\geq 0.$

Ομοίως, εάν ήδη γνωρίζουμε ότι ο αριθμός F > 1 είναι αριθμός Φιμπονάτσι, μπορούμε να προσδιορίσουμε το δείκτη του μέσα στην ακολουθία με

$n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor }$

Όριο συνεχόμενων πηλίκων

Ο Γιοχάνες Κέπλερ παρατήρησε ότι η αναλογία συνεχόμενων αριθμών Φιμπονάτσι συγκλίνει. Συγκεκριμένα έγραψε ότι "ότι είναι το 5 για το 8 είναι το 8 για το 13, πρακτικά, ότι είναι το 8 για το 13, είναι το 13 για το 21 σχεδόν" και κατέληξε ότι το όριο τείνει στη χρυσή αναλογία $\varphi \,$.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi$

Η σύγκλιση αυτή δεν εξαρτάται από τις αρχικές τιμές, εξαιρώντας το 0, 0. Για παράδειγμα, οι αρχικές τιμές 19 και 31 παράγουν την ακολουθία 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555 ... κλπ. Η αναλογία συνεχόμενων όρων σε αυτή την ακολουθία παρουσιάζει την ίδια σύγκλιση προς τη χρυσή αναλογία.

Στην ουσία αυτό ισχύει για κάθε ακολουθία η οποία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι, εκτός εκείνης που ξεκινάει με μηδέν. Αυτό προκύπτει από τη Φόρμουλα Binet.

Ανάλυση δυνάμεων της χρυσής αναλογίας

Εφόσον η χρυσή αναλογία ικανοποιεί την εξίσωση

$\varphi ^{2}=\varphi +1,\,$

η έκφραση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση μεγάλων δυνάμεων $\varphi ^{n}$ ως γραμμική εξίσωση μικρότερων δυνάμεων, η οποία με τη σειρά της μπορεί να αναλυθεί σε ένα γραμμικό συνδυασμό του $\varphi \,$ και του 1. Η σχέση που προκύπτει παράγει αριθμούς Φιμπονάτσι ως γραμμικούς συντελεστές:

$\varphi ^{n}=F(n)\varphi +F(n-1).$

Η έκφραση αυτή είναι αληθής και για $n\,<\,1\,$ εάν η ακολουθία Φιμπονάτσι $F(n)\,$ επεκταθεί και σε αρνητικούς ακέραιους χρησιμοποιώντας τη σχέση $F(n)=F(n-1)+F(n-2).\,$

Πίνακες

Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δύο διαστάσεων που περιγράφει την ακολουθία Φιμπονάτσι είναι το εξής:

${F_{k+2} \choose F_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}$

ή

${\vec {F}}_{k+1}=A{\vec {F}}_{k}\,.$

Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι $\varphi \,\!$ και $(1-\varphi )\,\!$, και τα ιδιοδιανύσματά του A, ${\varphi \choose 1}$ και ${1 \choose -\varphi }$, είναι σε αναλογίες $\varphi \,\!$ και $(1-\varphi \,\!).$ Έχοντας αυτά τα στοιχεία, και τις ιδιότητες των ιδιοτιμών, μπορούμε να βρούμε τη φόρμουλα του n-οστού στοιχείου στην ακόλουθη σειρά Φιμπονάτσι:

$F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.$

Ο πίνακας έχει ορίζουσα -1, οπότε έχουμε έναν 2x2 πίνακα. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό από το συνεχές κλάσμα της χρυσής αναλογίας:

$\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\;\;\ddots \,}}}}}}\;.$

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι προκύπτουν από τα διαδοχικά πηλίκα του συνεχούς κλάσματος της χρυσής αναλογίας $\varphi \,\!$, και ο πίνακας δημιουργείται από τα συνεχή πηλίκα οποιουδήποτε συνεχούς κλάσματος που έχει ορίζουσα +1 ή -1.

Η αναπαράσταση σε πίνακα δίνει την ακόλουθη κλειστή έκφραση των αριθμών Φιμπονάτσι:

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Παίρνοντας τις ορίζουσες και των δύο μερών προκύπτει η ταυτότητα Κασίνι

$(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}\,.$

Επιπρόσθετα, αν $A^{n}A^{m}=A^{m+n}$ για κάθε τετραγωνικό πίνακα A, προκύπτουν οι ακόλουθες ταυτότητες:

${F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}=F_{m+n-1}\,,$

$F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}=F_{m+n}\,.$

Ιδιαίτερα, αν $m=n$,

$F_{2n-1}=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}\,,$

$F_{2n}=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\,.$

Αναγνώριση αριθμών Φιμπονάτσι

Το ερώτημα που προκύπτει είναι αν ένας θετικός ακέραιος αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι. Εφόσον $F(n)$ είναι ο πιο κοντινός ακέραιος του $\varphi ^{n}/{\sqrt {5}}$, η πιο άμεση δοκιμή είναι η ταυτότητα:

$F{\bigg (}{\bigg \lfloor }\log _{\varphi }{\bigg (}z\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}{\bigg )}{\bigg \rfloor }{\bigg )}=z,$

Μία συνέπεια της παραπάνω σχέσης είναι ότι αν είναι γνωστό ότι ένας αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι, μπορούμε να προσδιορίσουμε το n έτσι ώστε F(n) = z με το ακόλουθο:

${\bigg \lfloor }\log _{\varphi }{\bigg (}z\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}{\bigg )}{\bigg \rfloor }=n$

Εναλλακτικά, ένας ακέραιος αριθμός z είναι αριθμός Φιμπονάτσι αν και μόνο αν μία από τις σχέσεις $5z^{2}+4$ ή $5z^{2}-4$ είναι τέλειο τετράγωνο.

Ένα ελαφρώς πιο πολύπλοκο τεστ χρησιμοποιεί το γεγονός ότι τα πηλίκα των διαδοχικών κλασμάτων που αναπαριστούν το $\varphi \,$ είναι αναλογίες διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι. Δηλαδή, η ανισότητα

${\bigg |}\varphi -{\frac {p}{q}}{\bigg |}<{\frac {1}{q^{2}}}$

(με συνπρώτους ακέραιους αριθμούς p, q) είναι αληθής αν και μόνο αν τα p και q είναι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι. Από αυτό προκύπτει το κριτήριο ότι ο z είναι αριθμός Φιμποινάτσι αν και μόνο αν το κλειστό διάστημα

${\bigg [}\varphi z-{\frac {1}{z}},\varphi z+{\frac {1}{z}}{\bigg ]}$

περιέχει έναν θετικό ακέραιο. Για $z\geq 2$, είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το διάστημα περιέχει το πολύ έναν ακέραιο, και στην περίπτωση που το z είναι αριθμός Φιμπονάτσι, ο ακέραιος αυτός είναι ίσος με τον επόμενο διαδοχικό αριθμό Φιμπονάτσι μετά το z. Είναι εντυπωσιακό, ότι αυτό το αποτέλεσμα ισχύει και για την περίπτωση $z=1$, αλλά θα πρέπει να δηλωθεί επακριβώς γιατί το 1 εμφανίζεται δύο φορές στην ακολουθία Φιμπονάτσι και έχει δύο διαφορετικούς διαδοχικούς επόμενους αριθμούς στην ακολουθία.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Fibonacci Quarterly Το επίσημο περιοδικό για τις εξελίξεις στους αριθμούς Φιμπονάτσι.

Ελληνικά άρθρα

• «Η ακολουθία Fibonacci στη Χημεία». Ευκλείδης Β΄ (3): 4-6. 1977. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3284. 
• «Οι αριθμοί Φιμπονάτσι-το αριθμητικό σύστημα της φύσης». Μαθητική μηνιαία εφημερίδα για τα μαθηματικά & τις θετικές επιστήμες (3): 1-5. 2017. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Gryszka, Karol (Δεκεμβρίου 2022). «Proof Without Words: Sum of Fibonacci Numbers and Beyond». The Mathematical Intelligencer 44 (4): 371–372. doi:10.1007/s00283-022-10193-y. 
• Stewart, Seán M. (Μαρτίου 2023). «107.01 A simple integral representation of the Fibonacci numbers». The Mathematical Gazette 107 (568): 120–123. doi:10.1017/mag.2023.15. 
• Glaister, Paul (1995). «Fibonacci Power Series». The Mathematical Gazette 79 (486): 521-525. doi:10.2307/3618079. https://www.jstor.org/stable/3618079. 
• S. Rinaldi; D. G. Rogers (2006). «How the Odd Terms in the Fibonacci Sequence Stack Up». The Mathematical Gazette 90 (519): 431-442. https://www.jstor.org/stable/40378191. 

Δείτε επίσης

• Λεονάρντο της Πίζας
• Ακολουθία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Fibonacci numbers στο Wikimedia Commons