Ορθόκεντρο τριγώνου
Στην γεωμετρία, το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο που τέμνονται τα ύψη του τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους).[1][2][3][4]
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου, σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι εξωτερικό και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ταυτίζεται με την κορυφή που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία.
Αποδείξεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Θεώρημα — Σε κάθε τρίγωνο , τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Απόδειξη (με αντισυμπληρωματικό τρίγωνο) [ Βήμα προς βήμα ] |
Έστω τρίγωνο . Θα κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών του να συμπίπτουν με τα ύψη του . Για τις μεσοκαθέτους γνωρίζουμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο, και έτσι θα καταλήξουμε ότι και τα ύψη του (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο. Θεωρούμε την ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στο , την ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στο και την ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στο . Έστω το τρίγωνο που σχηματίζουν αυτές οι τρεις ευθείες.[Σημείωση 1][Σημείωση 2] Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο καθώς οι πλευρές του είναι παράλληλες, επομένως
Αντίστοιχα, από το παραλληλόγραμμο έχουμε ότι
Συνεπώς το είναι το μέσο του και η μεσοκάθετος του διέρχεται από το . Επίσης είναι κάθετη στο (καθώς ), άρα το ύψος ανήκει σε αυτή. Αντίστοιχα, τα και είναι τα μέσα των και , και τα και ανήκουν στις μεσοκαθέτους των και . Συνεπώς, καταλήγουμε ότι τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το περίκεντρο του . |
Απόδειξη (με εγγεγραμμένα τετράπλευρα) [ Βήμα προς βήμα ] | |||||||
Έστω τρίγωνο . Τα ύψη και τέμνονται στο . Θα αποδείξουμε ότι και η είναι κάθετη στην , δλδ ύψος του τριγώνου .
|
Απόδειξη (με διανύσματα) |
Ξανά θεωρούμε την τομή των υψών και . Θεωρούμε τα διανύσματα των σημείων αντίστοιχα. Αφού είναι ύψος είναι κάθετο στο και έχουμε ότι
Αφού είναι ύψος έχουμε ότι
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη λαμβάνουμε ότι Παραγοντοποιώντας τους όρους στο αριστερό μέλος, έχουμε ότι
και άρα το είναι επίσης ύψος. Συνεπώς τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο, το . |
Απόδειξη (με θεώρημα του Τσέβα) |
Τα τρίγωνα και είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την ίση. Επομένως,
Αντίστοιχα,
Επομένως,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν. |
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε ένα τρίγωνο με ύψη , και και ορθόκεντρο , ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
- (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο , το ορθόκεντρο και το περίκεντρο είναι συγγραμμικά και .
- (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία , τα μέσα των και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
- Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 77 [2]: 270
- Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 76
- Το ορθόκεντρο είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:[5]
- .
Μετρικές σχέσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ,
- και αν , τότε
- .
- Αν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
- Αν το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο, ο περιγεγραμμένος, o εγγεγραμμένος και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε[6][7][4]: 47
- ,
- ,
- ,
- .
- Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι
- ,
- και οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι
- .
- Για τα ύψη , ισχύει ότι
- ,
- .
- .
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Ύψος τριγώνου
- Βαρύκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου
- Έγκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου
- Περίκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου
Σημειώσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Οι ευθείες αυτές τέμνονται ανά δύο, καθώς είναι παράλληλες στα ευθύγραμμα τμήματα του τριγώνου που τέμονται στις κορυφές του τριγώνου.
- ↑ Το τρίγωνο αυτό λέγεται το αντισυμπληρωματικό του τριγώνου .
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ 2,0 2,1 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
- ↑ Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
- ↑ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik 70 (2): 45–48. doi: .
- ↑ Bogomolny, Alexander. «Distance between the Orthocenter and Circumcenter». Cut the Knot. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023.
- ↑ Yiu, Paul. «Advanced Euclidean Geometry» (PDF). Department of Mathematics, Florida Atlantic University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 13 Φεβρουαρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2023.