Χρήστης:Iwannagk/πρόχειρο/

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ελικοειδής συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε τρισδιάστατη γεωμετρία και πιο ψηλά, ένας κοχλιωτός άξονας (ή η περιστροφική μεταφορά) είναι ένας συνδυασμός από μια περιστροφή και μεταφορά κατά μήκος του άξονα περιστροφής του.[1]

Ελικοειδής συμμετρία είναι το είδος της συμμετρίας που συναντάται σε τέτοιου είδους αντικείμενα καθημερινής χρήσης, όπως τα ελατήρια, τα παιχνίδια κρυψίνοι, τα τρυπάνια και τα γεωτρύπανα. Η έννοια της ελικοειδούς συμμετρίας μπορεί να απεικονιστεί ως η ανίχνευση στον τρισδιάστατο χώρο που προκύπτει από την περιστροφή ενός αντικειμένου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ενώ ταυτόχρονα μεταφέρεται σε σταθερή γραμμική ταχύτητα κατά μήκος του άξονα περιστροφής του. Σε οποιοδήποτε σημείο στο χρόνο, οι δύο αυτές κινήσεις συνδυάζονται για να δώσουν μία γωνία συσεπείρωσης που βοηθά να οριστούν οι ιδιότητες του εντοπισμένου έλικα.[2] Όταν το ανιχνεύσιμο αντικείμενο περιστρέφεται γρήγορα και μεταφέρεται σιγά-σιγά, η γωνία συσπείρωσης θα βρίσκεστε κοντά σε 0°. Αντίθετα, αν η περιστροφή είναι αργή και η μεταφορά είναι ταχεία, η γωνία συσπείρωσης θα προσεγγίσει 90°.

Μια συνεχής έλικα

Τρεις κύριες κατηγορίες της ελικοειδούς συμμετρίας μπορούν να διακριθούν με βάση την αλληλεπίδραση της γωνίας συσπείρωσης και των μεταφορικών συμμετριών κατά μήκος του άξονα:

Μια κανονική skew-apeirogon έχει ένα διακριτό (3-πτυχές εδώ) κοχλιωτό άξονα συμμετρίας, που απεικονίζεται με προοπτική.
O Boerdijk–Coxeter έλικας, που κατασκευάστηκε από επαυξημένα κανονικά τετράεδρα, είναι ένα παράδειγμα ενός κοχλιωτού άξονα συμμετρίας που είναι μη περιοδικός.
  • Άπειρη ελικοειδής συμμετρία: Αν δεν υπάρχουν διακριτικά χαρακτηριστικά κατά μήκος ενός έλικα ή ενός ελικοειδούς αντικειμένου, το αντικείμενο θα έχει άπειρη συμμετρία όπως αυτή του κύκλου, αλλά με την πρόσθετη απαίτηση για μεταφορά κατά μήκος του επιμήκη άξονα του αντικειμένου για να επιστρέψει στην αρχική του εμφάνιση.[3] Ένα ελικοειδές αντικείμενο είναι αυτό που έχει σε κάθε σημείο την κανονική γωνία συσπείρωσης της έλικας, αλλά που μπορεί επίσης να έχει μια διατομή από επ ' αόριστη υψηλή πολυπλοκότητα, μόνο με την προϋπόθεση ότι η ίδια ακριβώς διατομή υπάρχει (συνήθως μετά από μια περιστροφή) σε κάθε σημείο κατά το μήκος του αντικειμένου. Απλά παραδείγματα περιλαμβάνουν ομοιόμορφα ελικοειδή ελατήρια, τα παιχνίδια κρυψίνοι, τα τρυπάνια και τα γεωτρύπανα. Πιο συγκεκριμένα, αναφέρεται ότι ένα αντικείμενο έχει άπειρες ελικοειδείς συμμετρίες αν για κάθε μικρή περιστροφή του αντικειμένου γύρω από τον κεντρικό άξονα υπάρχει ένα σημείο πολύ κοντά(η μεταφορά της απόστασης) σε αυτό τον άξονα κατά την οποία το αντικείμενο θα εμφανιστεί ακριβώς όπως πριν. Είναι αυτή η άπειρη ελικοειδής συμμετρία που προκαλεί την περίεργη ψευδαίσθηση της κίνησης κατά μήκος του μήκους του κοχλία ή της μύτης από το τρυπάνι που περιστρέφεται. Παρέχει, επίσης, τη μηχανική χρήσιμη ικανότητα αυτών των συσκευών να μετακινεί τα υλικά μαζί με το μήκος τους, με την προϋπόθεση ότι βρίσκονται σε συνδυασμό με μια δύναμη όπως η βαρύτητα ή η τριβή που επιτρέπει τα υλικά να αντισταθούν στο απλά να περιστρέφονται μαζί με το τρυπάνι ή το γεωτρύπανο.
  • n-πτυχή ελικοειδής συμμετρία: Αν η απαίτηση ότι κάθε διατομή του ελικοειδούς αντικειμένου πρέπει να είναι πανομοιότυπη είναι χαλαρή, γίνεται δυνατή η ύπαρξη επιπλέον μικρότερων ελικοειδών συμμετριών. Για παράδειγμα, η διατομή του ελικοειδούς αντικειμένου μπορεί να αλλάξει, αλλά εξακολουθεί να επαναλαμβάνεται σε τακτικά διαστήματα κατά μήκος του άξονα του ελικοειδούς αντικειμένου. Κατά συνέπεια, τα αντικείμενα αυτού του τύπου θα παρουσιάζουν μια συμμετρία μετά από μια περιστροφή από κάποια σταθερή γωνία θ και μεταφορά από κάποια σταθερή απόσταση, αλλά δεν θα είναι, γενικά αμετάβλητη για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αν η γωνία (περιστροφή) στην οποία η συμμετρία παρουσιάζεται διαιρείται ομοιόμορφα σε ένα πλήρη κύκλο (360°), το αποτέλεσμα είναι ελικοειδές ισοδύναμο με ένα κανονικό πολύγωνο. Αυτή η περίπτωση ονομάζεται n-πτυχές ελικοειδής συμμετρία, όπου n = 360°, για παράδειγμα, μια διπλή έλικα. Αυτή η έννοια μπορεί να γενικευτεί περαιτέρω για να περιλαμβάνει περιπτώσεις όπου είναι ένα πολλαπλάσιο των 360° – δηλαδή, ο κύκλος τελικά επαναλαμβάνεται, αλλά μόνο μετά από μια πλήρη περιστροφή του ελικοειδούς αντικειμένου.
  • Μη επαναληπτική ελικοειδής συμμετρία: Αυτή είναι η περίπτωση κατά την οποία η γωνία περιστροφής θ που είναι απαραίτητη για να τηρεί τη συμμετρία είναι άρρητη. Η γωνία περιστροφής ποτέ δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς ασχέτως πόσες φορές η έλικα περιστρέφεται. Τέτοιες συμμετρίες δημιουργούνται χρησιμοποιώντας μια μη-επαναλαμβανόμενη ομάδα σημείων σε δυο διαστάσεις. DNA, με περίπου 10.5 ζεύγη βάσεων ανά στροφή, είναι ένα παράδειγμα αυτού του τύπου της μη επαναληπτικής ελικοειδούς συμμετρίας.[4]

Διπλή περιστροφική συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια 4D σπείρα Κλίφορντ, στερεογραφικά προβαλλόμενη σε 3D, μοιάζει με μια σαμπρέλα. Μια διπλή περιστροφή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ελικοειδές μονοπάτι.

Σε 4D, μια διπλή περιστροφική συμμετρία μπορεί να παραχθεί ως σύνθετο από δύο ορθογώνιες περιστροφές.[5] Είναι παρόμοιο με τον 3D κοχλιωτό άξονα, που είναι το σύνθετο της περιστροφής και μιας ορθογώνιας μεταφοράς.

Μη-ισομετρικές συμμετρίες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας ευρύτερος ορισμός της γεωμετρικής συμμετρίας επιτρέπει λειτουργίες από μια μεγαλύτερη ομάδα από την Ευκλείδεια ομάδα ισομετριών. Παραδείγματα μεγαλύτερων γεωμετρικών συμμετρικών ομάδων είναι:

Στο πρόγραμμα Felix Klein's Erlangen, κάθε δυνατή ομάδα συμμετριών ορίζει μια γεωμετρία, στην οποία αντικείμενα που σχετίζονται με ένα μέλος της συμμετρικής ομάδας θεωρείται ισοδύναμη.[8] Για παράδειγμα, η Ευκλείδεια ομάδα καθορίζει την Ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ η ομάδα των μετασχηματισμών Möbius ορίζει την προβολική γεωμετρία.

Κλιμακωτή συμμετρία και μορφοκλασματικά σύνολα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σύνολο Τζούλια που έχει συμμετρία κλίμακας

Κλιμακωτή συμμετρία σημαίνει ότι εάν ένα αντικείμενο επεκταθεί ή μειωθεί σε μέγεθος, το νέο αντικείμενο έχει τις ίδιες ιδιότητες με το πρωτότυπο.[9] Αυτό δεν ισχύει για τα περισσότερα φυσικά συστήματα, όπως μαρτυρά η διαφορά στη μορφή των ποδιών ενός ελέφαντα και ενός ποντικού (η λεγόμενη αλλομετρική κλιμάκωση). Ομοίως, αν ένα μαλακό κερί ήταν διευρυμένο με το μέγεθος ενός ψηλού δέντρου, θα κατέρρεε αμέσως κάτω από το βάρος του.

Μια πιο λεπτή μορφή της κλιμακωτής συμμετρίας αποδεικνύεται από μορφοκλάσματα (ή αλλιώς μορφοκλαστικά σύνολα). Όπως σχεδιάστηκε από τον Benoît Mandelbrot, μορφοκλάσματα είναι μια μαθηματική έννοια στην οποία η δομή μιας σύνθετης μορφής μοιάζει όμοια σε οποιοδήποτε βαθμό μεγέθυνσης, καθώς παρατηρείται στο σύνολο Mandelbrot. Μια ακτή είναι ένα παράδειγμα ενός αυτοφυούς μορφοκλάσματος, δεδομένου ότι διατηρεί όμοια-εμφανιζόμενη πολυπλοκότητα σε κάθε επίπεδο από την οπτική γωνία ενός δορυφόρου σε μικροσκοπική εξέταση του πώς το νερό απορροφάται ενάντια μεμονωμένων κόκκων άμμου. Η διακλάδωση των δέντρων, το οποίο δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να χρησιμοποιούν μικρά κλαδιά για στήριγμα για πλήρη δέντρα σε διοράματα, είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Επειδή τα μορφοκλάσματα μπορούν να δημιουργήσουν την εμφάνιση των μοτίβων στη φύση, έχουν μια ομορφιά και οικειότητα που δεν βλέπουμε συνήθως με μαθηματικά δημιουργημένες συναρτήσεις. Τα μορφοκλάσματα έχουν επίσης βρει μια θέση στα κινηματογραφικά εφέ που εφέ μέσω του υπολογιστή, όπου η ικανότητά τους να δημιουργούν σύνθετες καμπύλες με φράκταλ συμμετρίες δίνει αποτέλεσμα σε πιο ρεαλιστικούς εικονικούς κόσμους.

Αφηρημένη Συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η άποψη του Klein[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με κάθε γεωμετρία, ο Felix Klein σχέτισε μια υποκείμενη ομάδα συμμετριών. Η ιεραρχία των γεωμετριών αναπαρίσταται έτσι μαθηματικά ως μια ιεραρχία αυτών των ομάδων, και η ιεραρχία των αναλλοίωτων τους. Για παράδειγμα, τα μήκη, οι γωνίες και οι περιοχές που τηρούνται σε σχέση με την ομάδα του Ευκλείδη από συμμετρίες, ενώ μόνο η περιστατική δομή και μη αρμονική αναλογία διατηρούνται κάτω από τους πιο γενικούς προβολικούς μετασχηματισμούς. Η έννοια της παραλληλίας, η οποία τηρείται στην αφινική γεωμετρία, δεν έχει νόημα στην προβολική γεωμετρία. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τις υποκείμενες ομάδες συμμετριών από τις γεωμετρίες, οι σχέσεις μεταξύ τους μπορεί να αποκατασταθεί σε επίπεδο ομάδας. Δεδομένου ότι η ομάδα της αφινικής γεωμετρίας είναι μια υποομάδα της ομάδας της προβολικής γεωμετρίας, κάθε αμετάβλητη έννοια στην προβολική γεωμετρία είναι είναι εκ των προτέρων βαρυσήμαντη στην αφινική γεωμετρία: αλλά όχι το αντίστροφο. Αν προσθέσετε απαιτούμενες συμμετρίες, έχετε μια πιο ισχυρή θεωρία, αλλά λιγότερες έννοιες και θεωρήματα (τα οποία θα είναι βαθύτερα και πιο γενικά).

Η άποψη του Thurston[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο William Thurston εισήγαγε μια παρόμοια εκδοχή των συμμετριών στη γεωμετρία. Η γεωμετρία μοντέλων είναι μιααπλά συνδεδεμένη ομαλή πολλαπλότητα X μαζί με μια μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie G στο Χ με συμπαγή σταθεροποιητές. Η ομάδα Lie μπορεί να θεωρηθεί ως η ομάδα των συμμετριών της γεωμετρίας.

Η γεωμετρία των μοντέλων ονομάζεται μέγιστη αν G είναι μέγιστη μεταξύ των ομάδων που ενεργούν ομαλά και μεταβατικά στο Χ με συμπαγείς σταθεροποιητές, δηλαδή αν είναι η μέγιστη ομάδα των συμμετριών. Μερικές φορές ο όρος αυτός περιλαμβάνεται στον ορισμό της γεωμετρίας των μοντέλων.

Μια γεωμετρική δομή σε μια πολλαπλότητα Μ είναι ένα; διαφορομορφισμός από Μ έως Χ/Γ για κάποιο γεωμετρικό μοντέλο X, όπου Γ είναι μία διακριτή υποομάδα της G η οποία δρα ελεύθερα στο X. Αν μια δεδομένη πολλαπλότητα επιτρέπει μια γεωμετρική δομή, στη συνέχεια επιτρέπει εκείνη του οποίου το μοντέλο είναι μέγιστο.

Ένα3-διαστάσεων μοντέλο γεωμετρίας Χ είναι σχετικό με την εικασία geometrization αν είναι μέγιστη και αν υπάρχει τουλάχιστον μια συμπαγής πολυπλοκότητα με μια γεωμετρική δομή σύμφωνα με το πρότυπο X. Ο Thurston ταξινόμησε τις 8 γεωμετρίες μοντέλων πληρόντας τους όρους αυτούς: που απαριθμούνται παρακάτω και οι οποίες μερικές φορές ονομάζονται γεωμετρίες Thurston. (Υπάρχουν επίσης αμέτρητα πολλές γεωμετρίες μοντέλων χωρίς συμπαγή πηλίκα).

Εξωτερικές συνδέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. ↑ Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)
  2. ↑ George R. McGhee (2006) The Geometry of Evolution: Adaptive Landscapes and Theoretical Morphospaces Cambridge University Press p.64
  3. ↑ Anna Ursyn(2012) Biologically-inspired Computing for the Arts: Scientific Data Through Graphics IGI Global Snippet p.209 [clarification needed]
  4. ↑ Sinden, Richard R. (1994). DNA structure and function. Gulf Professional Publishing. σελ. 101. ISBN 9780126457506. 
  5. ↑ Charles Howard Hinton (1906) The Fourth Dimension (Google eBook) S. Sonnenschein & Company p.223
  6. ↑ H.S.M. Coxeter (1961,9) Introduction to Geometry, §5 Similarity in the Euclidean Plane, pp. 67–76, §7 Isometry and Similarity in Euclidean Space, pp 96–104, John Wiley & Sons.
  7. ↑ William Thurston.
  8. ↑ Klein, Felix, 1872.
  9. ↑ Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press p.154-155

[[Κατηγορία:Συμμετρία]]

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Χρήστης:Iwannagk/πρόχειρο/&oldid=5870036"