Υπερβολικές συναρτήσεις

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

Αλγεβρικές εκφράσεις

• Υπερβολικό ημίτονο

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!$

• Υπερβολικό συνημίτονο

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!$

• Υπερβολική εφαπτομένη

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!$

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \!$

• Υπερβολική τέμνουσα

$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!$

• υπερβολική συντέμνουσα

$\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!$

Όπου $i$ είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως $i ^2=-1$.

Χρήσιμες σχέσεις

$\sinh(-x) = -\sinh x\,\!$

$\cosh(-x) = \cosh x\,\!$

Οπότε:

$\tanh(-x) = -\tanh x\,\!$

$\coth(-x) = -\coth x\,\!$

$\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\!$

$\operatorname{cosech}(-x) = -\operatorname{cosech}\, x\,\!$

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

$\operatorname{sech}^{-1}x=\cosh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)$

$\operatorname{cosech}^{-1}x=\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)$

$\coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)$

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,$

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1\,$

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.:

$\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0$

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους

$\sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$

$\cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1$

$\tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1$

$\operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1$

$\operatorname{cosech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)$

$\coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1$

Παράγωγοι

$\frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,$

$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,$

$\frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,$

$\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

$\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}$

Συνήθη ολοκληρώματα

$\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C$

$\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C$

$\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C$

$\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (Σειρά Laurent)

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (Σειρά Laurent)

όπου

$B_n \,$ είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι

$E_n \,$ είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
• Υπερβολή (γεωμετρία)