Υπερβολή (γεωμετρία)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Γραφική παράσταση υπερβολής (κόκκινες γραμμές)

Στη γεωμετρία με τον όρο υπερβολή χαρακτηρίζεται η καμπύλη που ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο καθορισμένα σημεία Ε και Ε΄, που λέγονται εστίες της υπερβολής, είναι σταθερά.

  • Η ευθεία που ενώνει τις εστίες της υπερβολής ονομάζεται βασική γραμμή, (Base line).
  • Η δε κάθετος στο μέσον της βασικής γραμμής ονομάζεται κεντρική γραμμή, (Centre line). Καθίσταται φανερό ότι όλα τα σημεία της κεντρικής γραμμής ισαπέχουν από τις εστίες Ε και Ε΄. Συνεπώς η γραμμή αυτή μπορεί και να χαρακτηρίζεται ως γραμμή "μηδενικής διαφοράς αποστάσεων".
  • Με τον καθορισμό δύο εστιών υπάρχουν άπειρες ομοέστιες υπερβολές.
  • Τα σκέλη της κάθε υπερβολής προεκτεινόμενα πολύ πέρα της βασικής γραμμής πλησιάζουν προς την ευθεία και τελικά καθίστανται ευθείες. Το ευθύγραμμο τμήμα της υπερβολής ονομάζεται ασύμπτωτος αυτής, τούτο προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσον της βασικής γραμμής.

Εξίσωση υπερβολής σε καρτεσιανές συντεταγμένες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


\frac{x^{2}}{\alpha^{2}} - \frac{y^{2}}{\beta^{2}} = 1

Ισοσκελής υπερβολή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γραφική παράσταση της ισοσκελούς υπερβολής y=\frac{1}{x}\,.

Όταν a=b, οι ασύμπτωτες της υπερβολής σχηματίζουν γωνία 90°, και η καμπύλη ονομάζεται ισοσκελής υπερβολή. Όταν οι ασύπτωτες είναι παράλληλες με τους καρτεσιανούς άξονες η εξίσωση της καμπύλης μπορεί να γραφεί στη μορφή,

(x-h)(y-k) =   m \,.

Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν

y=\frac{m}{x}\,,

οπότε οι ποσότητες x, y είναι αντιστρόφως ανάλογες.

Παρατηρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η απόσταση μεταξύ των ομοεστίων υπερβολών αυξάνει με την αύξηση της απόστασής τους από τη βασική γραμμή. Επίσης η μεταξύ των απόσταση αυξάνει και όσο αυτές απομακρύνονται από της κεντρικής γραμμής.
  • Η χρήση των υπερβολών στη ναυτιλία έχει ιδιαίτερη σπουδαιότητα, ειδικότερα στη λεγόμενη υπερβολική ναυτιλία που είναι και ο βασικός κλάδος της ραδιοναυτιλίας.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]