Γεωμετρικός τόπος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Γεωμετρικός τόπος είναι ένα γεωμετρικό σχήμα του οποίου τα σημεία, και μόνον αυτά, ικανοποιούν μία κοινή γεωμετρική ιδιότητα P. Τυπικό παράδειγμα γεωμετρικού τόπου είναι ο κύκλος, ο οποίος ορίζεται ως το σύνολο των σημείων που έχουν την ιδιότητα να απέχουν από ένα σταθερό σημείο Κ σταθερή απόσταση ρ. Άλλα παραδείγματα γεωμετρικών τόπων στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μιας γωνίας κ.ά.

Στην αναλυτική γεωμετρία οι γεωμετρικοί τόποι παριστάνονται μαθηματικά από μία εξίσωση την οποία ικανοποιούν οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο. Δεδομένου ενός καρτεσιανού συστήματος αξόνων, και του επιπέδου που ορίζει αυτό, κάθε σημείο αυτού του επιπέδου ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος (x, y). Όλες οι λύσεις της εξίσωσης ενός γεωμετρικού τόπου αποτελούν τιμές για το x και το y του ζεύγους αυτού, και άρα σημεία του επιπέδου.

Για παράδειγμα, για τον κύκλο που αναφέρεται παραπάνω, η εξίσωση είναι:

(x-α)2 + (y-β)2 = r2

όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου και (α, β) το κέντρο του.