Τομή συνόλων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Διάγραμμα Venn τομής δύο συνόλων.

Τομή δύο μη κενών συνόλων Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β.

Η τομή των Α και Β συμβολίζεται με \Alpha \cap \Beta και ορίζεται ως:

A\cap B= {x:x \in \Alpha \land x \in \Beta}

Για παράδειγμα:

Αν Α={1,2,3,α,β,γ} και Β={1,3,4,5,6,α,γ} είναι Α \cap Β={1,3,α,γ}

Αν Α={1,2,3,4} και Β={5,6,α,γ} είναι \Alpha\cap \Beta= \varnothing όπου \varnothing είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Ακόμη για τα σύνολα \Alpha\ne \varnothing, \Beta\ne \varnothing έχουμε: \Alpha\cap \Beta= \varnothing \Leftrightarrow \Alpha \land \Beta είναι ξένα (disjoint) μεταξύ τους.

Ιδιότητες της πράξης της τομής συνόλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου Α, Β, Γ ⊆ Ω και Ø είναι το κενό σύνολο)

  • A\cap A= A (ανακλαστική ιδιότητα)
  • A\cap \Omega=A
  • A\cap A^c= \varnothing
  • A\cap B=B\cap A (αντιμεταθετική ιδιότητα)
  • A\cap (B\cap \Gamma)=(A\cap B)\cap \Gamma (προσεταιριστική ιδιότητα)
  • A\cap B \subseteq A και A\cap B \subseteq B
  • A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A
  • A \subseteq B \Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

  • A\cup (B\cap \Gamma)=(A\cup B)\cap(A\cup \Gamma) (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
  • A\cap (B\cup \Gamma)=(A\cap B)\cup(A\cap \Gamma) (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
  • A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]