Σύμβολο μετάθεσης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

 \epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2) \ \acute{\eta} \ (2,3,1) \\ -1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3) \ \acute{\eta} \ (3,2,1) \\ 0, & \ \alpha\nu \ i=j, \ i=k \ \acute{\eta} \ j=k \end{cases}

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάθεσης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

  \epsilon_{ijk}=\frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

 \begin{align} \epsilon_{ij}\epsilon_{mn} &= \delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} \\ \epsilon_{ij}\epsilon_{in} &= \delta_{jn} \\ \epsilon_{ij}\epsilon_{ij} &= 2 \end{align}

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

 \begin{align} \epsilon_{ijk}\epsilon_{mnk} &= \delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} \\ \epsilon_{imn}\epsilon_{jmn} &= 2\delta_{ij} \\ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &= 6 \end{align}

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διανυσματικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a1,a2,a3) και Β=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

 \bold{A}\times\bold{B}=\begin{vmatrix} \bold{e}_1 & \bold{e}_2 & \bold{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}

όπου (e1,e2,e3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

 \bold{A}\times\bold{B}=\epsilon_{ijk}\bold{e}_{i}a_{j}b_{k}

Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c1,c2,c3)) τότε:

 c_{i}=\epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol». http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html.