Σύμβολο μετάθεσης

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

$\epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2) \ \acute{\eta} \ (2,3,1) \\ -1, & \ \alpha\nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3) \ \acute{\eta} \ (3,2,1) \\ 0, & \ \alpha\nu \ i=j, \ i=k \ \acute{\eta} \ j=k \end{cases}$

Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης ε_ijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάθεσης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

$\epsilon_{ijk}=\frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}$

Ιδιότητες

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

$\begin{align} \epsilon_{ij}\epsilon_{mn} &= \delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} \\ \epsilon_{ij}\epsilon_{in} &= \delta_{jn} \\ \epsilon_{ij}\epsilon_{ij} &= 2 \end{align}$

Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

$\begin{align} \epsilon_{ijk}\epsilon_{mnk} &= \delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm} \\ \epsilon_{imn}\epsilon_{jmn} &= 2\delta_{ij} \\ \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &= 6 \end{align}$

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις

Διανυσματικός λογισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a₁,a₂,a₃) και Β=(b₁,b₂,b₃) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

$\bold{A}\times\bold{B}=\begin{vmatrix} \bold{e}_1 & \bold{e}_2 & \bold{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}$

όπου (e₁,e₂,e₃) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

$\bold{A}\times\bold{B}=\epsilon_{ijk}\bold{e}_{i}a_{j}b_{k}$

Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c₁,c₂,c₃)) τότε:

$c_{i}=\epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}$

Δείτε επίσης

• Δέλτα του Κρόνεκερ

Πηγές

Wolfram Mathworld. Permutation Symbol. http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html.