Περιοχή κυρίων ιδεωδών

Μια ακεραία περιοχή $R$ καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του $R$ είναι κύριο.

Παραδείγματα

• Γνωρίζουμε ότι αν $R$ σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το $R=<1>$ και το μηδενικό ιδεώδες $\{0_R\}=<0_R>$ και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

• Ο $\mathbb{Z}[x]$ είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες $<2,x>$ υπάρχει $h(x) \in \mathbb{Z}[x]$ τέτοιο ώστε $<2,x>=<h(x)>$ προκύπτει ότι $h(x)=\pm 1$ ή$h(x)=\pm x$. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $\pm 1=2k(x)+x$, άτοπο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι $2 \in <2,x>=<h(x)>=<x>$ και άρα $2=x k(x)$ ,άτοπο.

• Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος $\{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \}$.