Ευκλείδεια περιοχή

Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή $\mathcal{R}$ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση $\delta : \mathcal{R}\smallsetminus \{0\} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

• αν $a/b$ τότε $\delta(a)\le \delta(b)$

• Για κάθε $a,b \in \mathcal{R}$ υπάρχουν $q,r \in \mathcal{R}$ όπου $b=qa+r$ και είτε $r=0$ είτε $\delta(r)<\delta(a)$.

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της $\mathcal{R}$.

Παραδείγματα

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb{Z}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta(x)=|x|$.

• Το σύνολο των ακεραίων του Gauss $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta(a+bi)=a^2+b^2$.