Περιβάλλουσα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Περιβάλλουσα
Ταξινόμηση
Dewey 516
MSC2010 51-XX
Κατασκευή της περιβάλλουσας μιας οικογένειας καμπυλών.

Περιβάλλουσα ονομάζεται η καμπύλη ή η επιφάνεια που περιβάλλει όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές.

Στη γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο. Κλασικά ένα σημείο πάνω στην περιβάλλουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή δύο "γειτονικών" καμπυλών, εννοώντας το όριο των τομών των κοντινών καμπυλών. Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε μια περιβάλλουσα των επιπέδων στο χώρο κοκ σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Περιβάλλουσα οικογένειας καμπυλών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω ότι κάθε καμπύλη Ct στην οικογένεια δίνεται από ft(xy)=0, όπου t είναι μία παράμετρος. Γράφουμε F(txy)=ft(xy) και υποθέτουμε ότι η F είναι παραγωγίσιμη.

Η περιβάλλουσα της οικογένειας Ct ορίζεται τότε ως το σύνολο των σημείων για τα οποία

F(t, x, y) = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0

για κάποια τιμή του t,

όπου \partial F/\partial t είναι η μερική παράγωγος της F ως προς το t.

Να σημειωθεί ότι αν t καιu, tu είναι δυο τιμές της παραμέτρου τότε η τομή των καμπυλών Ct και Cu δίνεται από

F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0\,

η ισάξια

F(t, x, y) = \frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0.

Έχοντας u→t παίρνουμε τον παραπάνω ορισμό.

Μια σημαντική ειδική περίπτωση συμβαίνει όταν η F(txy) είναι ένα πολυώνυμο στο t. Αυτό περιλαμβάνει με την απαλοιφή των παρονομαστών, την περίπτωση που F(txy) είναι μια ρητή συνάρτηση στο t. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός ισοδυναμεί με το t να είναι η διπλή ρίζα της F(txy), ώστε η εξίσωση της περιβάλλουσας μπορεί να βρεθεί θέτοντας τη διακρίνουσα της F στο 0.

Για παράδειγμα, έστω ότι Ct είναι η ευθεία της οποίας οι τομές με x και y είναι t και 1−t, αυτό φαίνεται από την εικόνα επάνω. Η εξίσωση της Ct είναι

\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1

ή, απαλείφοντας τα κλάσματα

x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0.\,

Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι τότε

(-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0.\,

Συχνά όταν η F δεν είναι ρητή συνάρτηση της παραμέτρου μπορεί να περιοριστεί σε αυτή την περίπτωση από μία κατάλληλη αντικατάσταση. Για παράδειγμα αν η οικογένεια δίνεται από τον τύπο Cθ με μια εξίσωση της μορφής

u(xy)cosθ+v(xy)sinθ=w(xy),

μετά θέτοντας t=eiθ, cosθ=(t+1/t)/2, sinθ=(t-1/t)/2i αλλάζουμε την εξίσωση της καμπύλης σε

u{1 \over 2}(t+{1\over t})+v{1 \over 2i}(t-{1\over t})=w

ή

(u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0.\,

Η εξίσωση της περιβάλλουσας δίνεται τότε με το να θέσουμε τη διακρίνουσα ίση με 0:

(u-iv)(u+iv)-w^2=0\,

ή

u^2+v^2=w^2.\,
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Envelope (mathematics) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).