Παράγωγος φράκταλ
Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος φράκταλ ή παράγωγος Χάουσντορφ[1][2] είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ t κλιμακώνεται ως συνάρτηση του tα. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού [3].
Φυσικό πλαίσιο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (xβ, tα). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (xβ, tα):
- ,
όπου το Sα,β αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης α και β. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.
Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης u(t) ως προς ένα φράκταλ μέτρο t εισάγεται ως εξής:
- ,
Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό
- .
Για μια συνάρτηση y(t) στο -τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή -παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής
- .
Κίνητρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές ak στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:
Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:
Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (xα-(x0)α)k:
Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι b0=f(x0) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x0.
Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:
- Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:
Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Συντελεστές διαστολής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές bk μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:
Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι υπάρχει, bk μπορεί να γραφτεί ως εξής
μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει και αφού
Σύνδεση με παράγωγο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος Dαf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:
Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει dx/dxα = (dxα/dx)−1
Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:
Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,[1][4]
όπου 0 < α < 2, 0 < β < 1, και δ'(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ.
Για να προκύψει η θεμελιώδης λύση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό των μεταβλητών
τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:
Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:
Φράκταλ-κλασματικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,
- .
Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.
Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα[5][6]. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη β, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:[5]
- Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:
- Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:
,
- Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:
Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:[5]
- Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:
- Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :
.
- Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:
. Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.
Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης της f ορίζεται από:[3][7]
.
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης της f ορίζεται από:
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης της f ορίζεται από:
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης της f ορίζεται από:
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης της f ορίζεται από:
- Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης της f ορίζεται από:
Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- «FracLac User's Guide». An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.
Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Chen, W. (2006). «Time–space fabric underlying anomalous diffusion». Chaos, Solitons and Fractals 28 (4): 923–929. doi: . Bibcode: 2006CSF....28..923C.
- Kanno, R. (1998). «Representation of random walk in fractal space-time». Physica A 248 (1–2): 165–175. doi: . Bibcode: 1998PhyA..248..165K.
- Chen, W.; Sun, H.G.; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives». Computers and Mathematics with Applications 59 (5): 1754–8. doi: .
- Sun, H.G.; Meerschaert, M.M.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media». Advances in Water Resources 52 (52): 292–5. doi: . PMID 23794783. Bibcode: 2013AdWR...52..292S.
- Cushman, J.H.; O'Malley, D.; Park, M. (2009). «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion». Phys. Rev. E 79 (3): 032101. doi: . PMID 19391995. Bibcode: 2009PhRvE..79c2101C.
- Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey». International Journal of Differential Equations 2010: 104505. doi: . Bibcode: 2010arXiv1004.2950M.
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
- Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
- Νιφάδα του Κοχ
- Καμπύλη Χίλμπερτ
- Καμπύλη του δράκου
- Σπόγγος του Μένγκερ
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ 1,0 1,1 Chen, Wen· Sun, HongGuang (26 Φεβρουαρίου 2022). Fractional Derivative Modeling in Mechanics and Engineering. Springer Nature. ISBN 978-981-16-8802-7.
- ↑ «Application of Hausdorff fractal derivative».
- ↑ 3,0 3,1 Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). Fractal Calculus and its Applications. Singapore: World Scientific Pub Co Inc. σελ. 328. doi:10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7.
- ↑ Rajković, Predrag M.; Marinković, Slađana D.; Stanković, Miomir S. (2007). «FRACTIONAL INTEGRALS AND DERIVATIVES IN q-CALCULUS». Applicable Analysis and Discrete Mathematics 1 (1): 311–323. ISSN 1452-8630. https://www.jstor.org/stable/43666058.
- ↑ 5,0 5,1 5,2 Atangana, Abdon; Sania, Qureshi (2019). «Modeling attractors of chaotic dynamical systems with fractal–fractional operators». Chaos, Solitons & Fractals 123: 320–337. doi: . Bibcode: 2019CSF...123..320A.
- ↑ «A new definition of the fractal derivative».
- ↑ West, Bruce (2010). «Fractal Physiology and the Fractional Calculus: A Perspective». Frontiers in Physiology 1. doi: . ISSN 1664-042X. https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphys.2010.00012.