Ολοκλήρωμα Νταρμπού

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στα μαθηματικά, το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ένας από τους υπάρχοντες ορισμούς του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης και πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν Γκαστόν Νταρμπού (Jean Gaston Darboux) ο οποίος και το ανακάλυψε. Το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα Ρίμαν. Αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν και μόνο αν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν και οι τιμές των ολοκληρωμάτων, αν υπάρχουν είναι ίσες. Ωστόσο ο ορισμός του Νταρμπού θεωρείται πιο απλός από αυτόν του Ρίμαν.

Ορισμός Ολοκληρώματος Νταρμπού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διαμερίσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν έχουμε ένα κλειστό διάστημα [a,b], τότε ονομάζουμε διαμέριση του [a,b] κάθε πεπερασμένο σύνολο:

P = \lbrace  a = x_0,\ x_1,\ \ldots ,\ x_n = b \rbrace,

Τα άκρα a, b του διαστήματος ανήκουν υποχρεωτικά στη διαμέριση και επομένως κάθε διαμέριση περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία. Επιπλέον, συνήθως υποθέτουμε ότι τα x_0, x_1, \ldots , x_n είναι διατεταγμένα ως εξής x_0 < x_1 < \ldots < x_n και για μια διαμέριση P θα γράφουμε:

P = \lbrace  a = x_0\ < \ x_1 \ < \ \ldots \ < \ x_n = b\rbrace

Με άλλα λόγια μια διαμέριση P = \lbrace  a = x_0  <  x_1  < \ldots  <  x_n = b\rbrace ενός διαστήματος [a, b], το χωρίζει σε n υποδιαστήματα:

[x_k,\ x_{k + 1}],\ k = 0, 1, \ldots n - 1

που δεν έχουν όλα αναγκαστικά το ίδιο μήκος, δηλαδή τα σημεία x_k δεν απαιτούμε να ισαπέχουν. Ονομάζουμε πλάτος της διαμέρισης P τον αριθμό:

\big\|P\big\| = max \lbrace  x_1 - x_0,\ \ldots ,\ x_n - x_{n - 1}\rbrace,

δηλαδή το μεγαλύτερο από τα μήκη των υποδιαστημάτων.

  • Αν έχουμε μια διαμέριση P = \lbrace a = x_0  <  x_1  <  \ldots  <  x_n = b\rbrace ενός διαστήματος [a, b], τότε ονομάζουμε μια άλλη διαμέριση Q εκλέπτυνση της P αν P \subseteq Q, δηλαδή αν η διαμέριση Q προκύπτει από την P με την προσθήκη (ίσως) μερικών σημείων. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η Q είναι λεπτότερη από την P.
  • Αν έχουμε δύο διαμερίσεις P_1 και P_2 ενός διαστήματος [a, b], τότε ονομάζουμε κοινή εκλέπτυνση των P_1 και P_2 κάθε άλλη διαμέριση P για την οποία ισχύει P_1 \subseteq P και P_2 \subseteq P. Δηλαδή κοινή εκλέπτυνση των P_1 και P_2 είναι μια διαμέριση λεπτότερη και από τις δύο. Είναι εύκολο να δούμε ότι η διαμέριση P = P_1 \cup P_2 είναι κοινή εκλέπτυνση των P_1 και P_2 και μάλιστα είναι η μικρότερη δυνατή.

Άνω και Κάτω Αθροίσματα Νταρμπού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε μια φραγμένη συνάρτηση f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} και μια διαμέριση P = \lbrace  a = x_0  <  x_1 <  \ldots <  x_n = b\rbrace του [a, b]. Η P διαμερίζει το [a, b] στα υποδιαστήματα::

[x_0,\ x_1], [x_1,\ x_2],\ \ldots ,\ [x_k,\ x_{k + 1}],\ \ldots\ [x_{n - 1},\ x_n].

Για κάθε ένα από τα υποδιαστήματα αυτά ορίζουμε τους αριθμούς:

M_k(f,\ P) = M_k = sup\lbrace f(x)| x_k \leq x \leq x_{k + 1} \rbrace

και

m_k(f,\ P) = m_k = inf\lbrace f(x)| x_k \leq x \leq x_{k + 1} \rbrace

Για κάθε διαμέριση P του [a, b] ορίζουμε το άνω και το κάτω άθροισμα Νταρμπού ως εξής:

U(f,\ P) = \sum_{k = 0}^{n - 1} M_k(x_{k + 1} - x_k),

και

L(f,\ P) = \sum_{k = 0}^{n - 1} m_k(x_{k + 1} - x_k)

Για κάθε διαμέριση P ισχύει:

L(f,\ P) \leq U(f,\ P)

Ορίζουμε τώρα το άνω και το κάτω ολοκλήρωμα Νταρμπού ως εξής:

\overline{\int_{a}^{b}}f = sup\lbrace U(f,\ P)|P διαμέριση του [a,\ b] \rbrace,

και

\underline{\int_{a}^{b}}f = inf\lbrace L(f,\ P)|P διαμέριση του [a,\ b] \rbrace

Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν:

\overline{\int_{a}^{b}}f = \underline{\int_{a}^{b}}f

Η κοινή τιμή του άνω και κάτω ολοκληρώματος Νταρμπού ονομάζεται ολοκλήρωμα της f και συμβολίζεται με:

\int_{a}^{b}f ή με \int_{a}^{b}f(x)dx

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]