Μετρική Lévy–Prokhorov

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Θεωρία Πιθανοτήτων
Ταξινόμηση
Dewey 519
MSC2010 60B05

Στα μαθηματικά, η μετρική Lévy-Prokhorov (μερικές φορές γνωστή απλά ως «Prokhorov μετρική) είναι μια μετρική (δηλαδή, ένας ορισμός απόστασης) της συλλογής των μέτρων στις πιθανότητες σε ένα δεδομένο μετρικό χώρο. Ονομάστηκε από το Γάλλο μαθηματικό Paul Pierre Levy και τον Σοβιετικό μαθηματικό Yuri Vasilevich Prokhorov. Ο Prokhorov την εισήγαγε το 1956, ως την γενίκευση της προηγούμενης Lévy μετρικής.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ας είναι (M, d) ένας μετρικός χώρος με την Borel σ-άλγεβρα \mathcal{B} (M). Έστω ότι η \mathcal{P} (M) την συλλογή όλων μέτρων πιθανότητας σε έναν μετρήσιμο χώρο (M, \mathcal{B} (M)).

Για ένα υποσύνολο A \subseteq M, ορίζουμε την ε-γειτονιά του A με

A^{\varepsilon} := \{ p \in M ~|~ \exists q \in A, \ d(p, q) < \varepsilon \} = \bigcup_{p \in A} B_{\varepsilon} (p).

όπου B_{\varepsilon} (p) είναι η ανοιχτή μπάλα ακτίνας \varepsilon με κέντρο p.

Η μετρική Lévy-Prokhorov \pi : \mathcal{P} (M)^{2} \to [0, + \infty) ορίζεται θέτοντας την απόσταση μεταξύ δυο μέτρων πιθανότητας \mu και \nu να είναι

\pi (\mu, \nu) := \inf \left\{ \varepsilon > 0 ~|~ \mu(A) \leq \nu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{and} \ \nu (A) \leq \mu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{for all} \ A \in \mathcal{B}(M) \right\}.

Για μέτρα πιθανοτήτων που ξεκάθαρα ισχύει \pi (\mu, \nu) \le 1.

Μερικοί συγγραφείς παραλείπουν μια από τις δύο ανισότητες ή να επιλέγουν μόνο ανοιχτό ή κλειστό A; Καθεμιά ανισότητα συνεπάγεται την άλλη, αλλά περιορίζοντας σε ανοικτή ή κλειστή αλλάζει το πως ορίζεται η μετρική.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. 
  • Zolotarev, V.M.. Lévy–Prokhorov metric. l/l058320.