Δακτύλιος Χέρμαν

Στον μαθηματικό κλάδο της σύνθετης δυναμικής, ο δακτύλιος Χέρμαν είναι μια συνιστώσα Φατού^[1] όπου η ορθολογική συνάρτηση είναι συμμορφούμενη με μια ανορθολογική περιστροφή του τυπικού δακτυλίου.

Τυπικός ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν δηλαδή το ƒ διαθέτει ένα δακτύλιο Herman U με περίοδο p, τότε υπάρχει μια σύμμορφη απεικόνιση

\phi :U\rightarrow \{\zeta :0<r<|\zeta |<1\}

και ένας άρρητος αριθμός $\theta$ , τέτοιος ώστε

\phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .

Έτσι, η δυναμική στο δακτύλιο Χέρμαν είναι απλή.

Ονομασία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ονομάστηκε από τον Μάικλ Χέρμαν (Michael Herman, 1979^[2]), ο οποίος πρώτος βρήκε και κατασκεύασε αυτό το είδος του στοιχείου Φατού.

Συνάρτηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα πολυώνυμα δεν έχουν δακτυλίους Χέρμαν.
Οι ορθολογικές συναρτήσεις μπορούν να έχουν δακτυλίους Χέρμαν. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του Σισικούρα, αν μια ορθολογική συνάρτηση ƒ διαθέτει δακτύλιο Χέρμαν, τότε ο βαθμός της ƒ είναι τουλάχιστον 3.
Οι υπερβατικοί πλήρεις χάρτες δεν τους έχουν^[3]
Οι μερομορφικές συναρτήσεις μπορούν να διαθέτουν δακτυλίους Χέρμαν. Οι δακτύλιοι Χέρμαν για υπερβατικές μερομορφικές συναρτήσεις μελετήθηκαν από τον Τ. Ναγιάκ. Σύμφωνα με ένα αποτέλεσμα του Νάγιακ, αν υπάρχει μια παραλειπόμενη τιμή για μια τέτοια συνάρτηση τότε δεν υπάρχουν δακτύλιοι Χέρμαν περιόδου 1 ή 2. Επίσης, αποδεικνύεται ότι αν υπάρχει μόνο ένας πόλος και τουλάχιστον μια παραλειπόμενη τιμή, η συνάρτηση δεν έχει δακτύλιο Χέρμαν οποιασδήποτε περιόδου.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χέρμαν και παραβολική λεκάνη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ακολουθεί ένα παράδειγμα ορθολογικής συνάρτησης που διαθέτει δακτύλιο Χέρμαν.^[1]

f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}

όπου $\tau =0.6151732\dots$ έτσι ώστε ο αριθμός περιστροφής του ƒ oστον μοναδιαίο κύκλο να είναι $({\sqrt {5}}-1)/2$ .

Η εικόνα που φαίνεται στα δεξιά είναι το σύνολο Julia του ƒ: οι καμπύλες στον λευκό δακτύλιο είναι οι τροχιές κάποιων σημείων κάτω από τις επαναλήψεις του ƒ, ενώ η διακεκομμένη γραμμή υποδηλώνει τον μοναδιαίο κύκλο.

Υπάρχει ένα παράδειγμα ορθολογικής συνάρτησης που διαθέτει ένα δακτύλιο Χέρμαν και ταυτόχρονα κάποιες περιοδικές παραβολικές συνιστώσες Φατού.

Μια ορθολογική συνάρτηση $f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{z-a}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{z-b}}$ που διαθέτει ένα δακτύλιο Χέρμαν και κάποιες περιοδικές παραβολικές συνιστώσες Φατού, όπου $t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i$ έτσι ώστε ο αριθμός περιστροφής των $f_{t,a,b}$ στον μοναδιαίο κύκλο να είναι $({\sqrt {5}}-1)/2$ . Η εικόνα έχει περιστραφεί.

Δακτύλιος Χέρμαν περιόδου 2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επιπλέον, υπάρχει μια λογική συνάρτηση που διαθέτει δακτύλιο Χέρμαν με περίοδο 2.

Εδώ η μορφή αυτής της ορθολογικής συνάρτησης είναι

g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}}+c,\,

όπου

{\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=-1.18521775-0.16885254i.\end{aligned}}

Αυτό το παράδειγμα κατασκευάστηκε με χειρουργική επέμβαση οιονεί μορφής ^[4]

από το τετραγωνικό πολυώνυμο

h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}

που διαθέτει δίσκο Ζίγκελ με περίοδο 2. Οι παράμετροι a, b, c υπολογίζονται με δοκιμή και σφάλμα.

Θέτοντας

{\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}

τότε η περίοδος ενός από τους δακτυλίους του Χέρμαν του g_a,b,c is 3.

Ο Σισικούρα έδωσε επίσης ένα παράδειγμα:^[5] μια ορθολογική συνάρτηση που διαθέτει ένα δακτύλιο Χέρμαν με περίοδο 2, αλλά οι παράμετροι που παρουσιάστηκαν παραπάνω είναι διαφορετικές από τις δικές του.

Περίοδος 5 Δακτύλιος Χέρμαν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει λοιπόν ένα ερώτημα: Πώς μπορούμε να βρούμε τους τύπους των ορθολογικών συναρτήσεων που διαθέτουν δακτυλίους Χέρμαν με μεγαλύτερη περίοδο;

Το ερώτημα αυτό μπορεί να απαντηθεί (για οποιαδήποτε περίοδο > 0) με τη χρήση του συνόλου Μάντελμπροτ για τις ορθολογικές συναρτήσεις g_a,b,c. Το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ (για τετραγωνικά πολυώνυμα) προσεγγίζεται με την επανάληψη του κρίσιμου σημείου για κάθε τέτοιο πολυώνυμο και τον εντοπισμό των πολυωνύμων για τα οποία οι επαναλήψεις του κρίσιμου σημείου δεν συγκλίνουν στο άπειρο. Παρομοίως, ένα σύνολο Μάντελμπροτ μπορεί να οριστεί για το σύνολο των ορθολογικών συναρτήσεων g_a,b,c διακρίνοντας μεταξύ των τιμών των (a,b,c) στον μιγαδικό 3-space για τις οποίες και τα τρία κρίσιμα σημεία (δηλαδή τα σημεία όπου η παράγωγος εξαφανίζεται) της συνάρτησης συγκλίνουν στο άπειρο, και των τιμών των οποίων τα κρίσιμα σημεία δεν συγκλίνουν όλα στο άπειρο.

Για κάθε τιμή των a και b, το σύνολο Μάντελμπροτ για g_a,b,c μπορεί να υπολογιστεί στο επίπεδο των μιγαδικών τιμών c. Όταν τα a και b είναι σχεδόν ίσα, το σύνολο αυτό προσεγγίζει το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ για τετραγωνικά πολυώνυμα, επειδή το g_a,b,c είναι ίσο με x² + c όταν a=b. Στο κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ, οι δίσκοι Ζίγκελ μπορούν να προσεγγιστούν επιλέγοντας σημεία κατά μήκος της άκρης του συνόλου Μάντελμπροτ με άρρητο αριθμό περιέλιξης που έχουν συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος με περιορισμένους παρονομαστές. Οι άρρητοι αριθμοί προσεγγίζονται φυσικά μόνο στην αναπαράστασή τους στον υπολογιστή. Αυτοί οι παρονομαστές μπορούν να προσδιοριστούν από την ακολουθία των κόμβων κατά μήκος της ακμής του συνόλου Μάντελμπροτ που προσεγγίζει το σημείο. Παρομοίως, οι δακτύλιοι Χέρμαν μπορούν να προσδιοριστούν σε ένα σύνολο Μάντελμπροτ ορθολογικών συναρτήσεων παρατηρώντας μια σειρά από κόμβους τοποθετημένους και στις δύο πλευρές μιας καμπύλης και επιλέγοντας σημεία κατά μήκος αυτής της καμπύλης, αποφεύγοντας τους προσαρτημένους κόμβους, επιτυγχάνοντας έτσι μια επιθυμητή ακολουθία παρονομαστών στο συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος του αριθμού περιστροφής. Το παρακάτω απεικονίζει μια επίπεδη φέτα του συνόλου Μάντελμπροτ των g_a,b,c με |a-b| = .0001, και με κέντρο το c σε μια τιμή του c που προσδιορίζει έναν 5-κύκλο δίσκων Ζίγκελ στο κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ.

Σύνολο Μάντελμπροτ της ορθολογικής συνάρτησης g, στο επίπεδο c, κοντά σε 5-κύκλους.

Η παραπάνω εικόνα χρησιμοποιεί a =0.12601278 +.0458649i, b= .12582484 +.045796497i, και έχει κέντρο την τιμή c = 0,3688 -,3578, η οποία είναι κοντά στους 5 κύκλους των δίσκων Ζίγκελ του κλασικού συνόλου Μάντελμπροτ. Στην παραπάνω εικόνα, ένας 5-κύκλος των δακτυλίων Χέρμαν μπορεί να προσεγγιστεί επιλέγοντας ένα σημείο c κατά μήκος της παραπάνω απεικονιζόμενης καμπύλης που έχει κόμβους και στις δύο πλευρές, για το οποίο τα g_a,b,c έχουν περίπου τον επιθυμητό αριθμό περιελίξεων, χρησιμοποιώντας τιμές ως εξής:

${\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ and}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}$

Ο σχηματιζόμενος 5-κύκλος δακτυλίων Χέρμαν απεικονίζεται παρακάτω:

Σύνολο Julia του g που δείχνει έναν δακτύλιο Χέρμαν περιόδου 5.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 John Milnor, Dynamics in one complex variable: Third Edition, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.
↑ Herman, Michael-Robert (1979), «Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations», Publications Mathématiques de l'IHÉS 49 (49): 5–233, doi:10.1007/BF02684798, ISSN 1618-1913, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1979__49__5_0
↑ Omitted Values and Herman rings by Tarakanta Nayak.date=July 2016
↑ Mitsuhiro Shishikura, On the quasiconformal surgery of rational functions. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 1, 1–29.
↑ Mitsuhiro Shishikura, Surgery of complex analytic dynamical systems, in "Dynamical Systems and Nonlinear Oscillations", Ed. by Giko Ikegami, World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

[dyn-1] 1,0 ^1,1 John Milnor, Dynamics in one complex variable: Third Edition, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.

[2] Herman, Michael-Robert (1979), «Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations», Publications Mathématiques de l'IHÉS 49 (49): 5–233, doi:10.1007/BF02684798, ISSN 1618-1913, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1979__49__5_0

[3] Omitted Values and Herman rings by Tarakanta Nayak.date=July 2016

[4] Mitsuhiro Shishikura, On the quasiconformal surgery of rational functions. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 1, 1–29.

[5] Mitsuhiro Shishikura, Surgery of complex analytic dynamical systems, in "Dynamical Systems and Nonlinear Oscillations", Ed. by Giko Ikegami, World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]