Διαμέριση διαστήματος

Η διαμέριση ενός διαστήματος που χρησιμοποιείται σε ένα άθροισμα Riemann . Η ίδια διαμέριση εμφανίζεται με γκρι στο κάτω μέρος, με ένα υποδιάστημα να υποδεικνύεται με κόκκινο.

Στα μαθηματικά, η διαμέριση ενός διαστήματος [a, b] στην πραγματική ευθεία είναι μια πεπερασμένη ακολουθία x₀, x₁, x₂, ..., x_n πραγματικών αριθμών έτσι ώστε

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Με άλλους όρους, μια διαμέριση ενός συμπαγούς διαστήματος I είναι μια αυστηρά αυξανόμενη ακολουθία αριθμών (που ανήκει στο ίδιο το διάστημα I ) που ξεκινά από το αρχικό σημείο του I και φθάνει στο τελικό σημείο του I .

Κάθε διάστημα της μορφής [x_i, x_{i + 1}] αποκαλείται υποδιάστημα της διαμέρισης x.

Βελτίωση μιας διαμέρισης

Μια άλλη διαμέριση Q του δεδομένου διαστήματος [a, b] ορίζεται ως βελτίωση της διαμέρισης P, εάν Q περιέχει όλα τα σημεία της P και πιθανώς και κάποια άλλα σημεία: η διαμέριση Q λέγεται ότι είναι "πιο λεπτή" από την P . Δεδομένων δύο διαμερίσεων, P και Q, μπορεί κανείς πάντα να σχηματίσει την κοινή τους βελτίωση, που συμβολίζεται με P ∨ Q, που αποτελείται από όλα τα σημεία των P και Q, με αύξουσα σειρά.

Κανόνας ενός διαμερίσματος

Ο κανόνας (ή πλέγμα ) της διαμέρισης

x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n

είναι το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά τα υποδιαστήματα

max{|x_i − x_i−1| : i = 1, ... , n}.

Εφαρμογές

Οι διαμερίσεις χρησιμοποιούνται στη θεωρία του ολοκληρώματος Riemann, του ολοκληρώματος Riemann-Stieltjes και του ρυθμιζόμενου ολοκληρώματος . Συγκεκριμένα, καθώς λαμβάνονται υπόψη τα λεπτότερα διαμερίσματα ενός δεδομένου διαστήματος, το πλέγμα τους πλησιάζει το μηδέν και το άθροισμα Riemann που βασίζεται σε μια δεδομένη διαμέριση προσεγγίζει το ολοκλήρωμα Riemann .

Κατατμήσεις με ετικέτα

Μία διαμέριση με ετικέτα είναι μια διαμέριση ενός δεδομένου διαστήματος μαζί με μια πεπερασμένη ακολουθία αριθμών t₀, ..., t_{n − 1} υπό τις συνθήκες ότι για κάθε i ,

x_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1}.

Με άλλα λόγια, μια διαμέριση με ετικέτα είναι μια διαμέριση μαζί με ένα ξεχωριστό σημείο από κάθε υποδιάστημα: το πλέγμα της ορίζεται με τον ίδιο τρόπο που ορίζεται για κάθε σύνηθη διαμέριση. Είναι πιθανό να ορίσουμε μερική διάταξη στο σύνολο όλων των διαμερίσεων με ετικέτα λέγοντας ότι μια διαμέριση με ετικέτα είναι μεγαλύτερη από μία άλλη αν η μεγαλύτερη είναι βελτίωση της μικρότερης.

Ας υποθέσουμε ότι το x₀, ..., x_n μαζί με τα t₀, ..., t_{n − 1} είναι μία διαμέριση με ετικέτα του [a, b], και ότι y₀, ..., y_m μαζί με s₀, ..., s_{m − 1} είναι μία άλλη διαμέριση με ετικέτα του [a, b] . Λέμε ότι το y₀, ..., y_m μαζί με s₀, ..., s_{m − 1} είναι μια βελτίωση μιας διαμέρισης με ετικέτα x₀, ..., x_n μαζί με t₀, ..., t_{n − 1} αν για κάθε ακέραιο i με 0 ≤ i ≤ n, υπάρχει ακέραιος r(i) τέτοιος ώστε x_i = y_r(i) και τέτοιος ώστε t_i = s_j για κάποιο j με r(i) ≤ j ≤ r(i + 1) − 1 . Είπαμε πιο απλά, μια βελτίωση μιας διαμέρισης με ετικέτα παίρνει την αρχική διαμέριση και προσθέτει περισσότερες ετικέτες, αλλά δεν αφαιρεί καμία.