Αποκλειστική διάζευξη: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε

Ενδογραμμικά

Έκδοση από την 09:02, 3 Σεπτεμβρίου 2022

Αποκλειστική διάζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές αν και μόνο αν ακριβώς ένας από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής.

Για να δηλώσουν αποκλειστική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα XOR και $\oplus$ . Η αποκλειστική διάζευξη μπορεί να γραφεί με χρήση μόνο των λογικών τελεστών σύζευξη (ή "ένωση" ή "λογική άθροιση") $\wedge$ , διάζευξη $\lor$ , και άρνηση $\neg$ ως εξής:^[1]^:147-148^[2]^:21^[3]^:17

{\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας της πρότασης $p\oplus q$ .^[4]^:11^[5]^:18


p	q	⊕
Ψ	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Α
Α	Ψ	Α
Α	Α	Ψ

(όπου Ψ=ψευδής, Α=αληθής)

Ιδιότητες

Η αποκλειστική διάζευξη ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:^[1]^: 147-148^[6]^:24

Ικανοποιεί την $x\oplus x=0$ .

Ικανοποιεί την $x\oplus 1=\neg x$ .

Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα $x\oplus y=y\oplus x$ .

Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$ και γι' αυτό οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται.

Η διάζευξη και η σύζευξη δεν μπορούν να υλοποιηθούν με την χρήση μόνο τελεστών αποκλειστικής διάζευξης.^[7]^:199

Γενικεύσεις

Η αποκλειστική διάζευξη $n$ εισόδων $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ορίζεται ως $x_{1}\oplus x_{2}\oplus \ldots \oplus x_{n}$ και είναι ισοδύναμη με την συνάρτηση^[1]^: 148^[6]^: 25

s(x_{1},\ldots ,x_{n})={\begin{cases}1&{\text{αν υπάρχει μονός αριθμός 1 μεταξύ των }}x_{1},\ldots ,x_{n}\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.
↑ Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.
↑ Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Πλεξουσάκης, Δημήτρης. «Προτασιακός Λογισμός» (PDF). Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Παπαϊωάννου, Εύη (2018). «Διακριτά Μαθηματικά: Λογική, αποδείξεις, σύνολα, συναρτήσεις» (PDF). Σχολή οργάνωσης και διοικησης επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ ^6,0 ^6,1 Natarajan, Dhanasekharan (2020). Fundamentals of digital electronics. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-36196-9.
↑ Chattopadhyay, D. (2002). Basic Electronics: in accordance with u.p. technical university syllabus (1η έκδοση). New Delhi: New age international Publishers. ISBN 9788122414103.

[H93-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.

[2] Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.

[3] Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[4] Πλεξουσάκης, Δημήτρης. «Προτασιακός Λογισμός» (PDF). Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[5] Παπαϊωάννου, Εύη (2018). «Διακριτά Μαθηματικά: Λογική, αποδείξεις, σύνολα, συναρτήσεις» (PDF). Σχολή οργάνωσης και διοικησης επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[N20-6] 6,0 ^6,1 Natarajan, Dhanasekharan (2020). Fundamentals of digital electronics. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-36196-9.

[7] Chattopadhyay, D. (2002). Basic Electronics: in accordance with u.p. technical university syllabus (1η έκδοση). New Delhi: New age international Publishers. ISBN 9788122414103.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Γραμμή 1: / Γραμμή 1: @@
-{{πηγές|06|01|2016}}
 '''Αποκλειστική διάζευξη''' είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές [[αν και μόνο αν]] ''ακριβώς'' ένας από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής.
-Για να δηλώσουν αποκλειστική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα '''XOR''' και <math> \oplus </math>. Η αποκλειστική διάζευξη μπορεί να γραφεί με χρήση μόνο των λογικών τελεστών [[σύζευξη]] (ή "ένωση" ή "λογική άθροιση") <math> \wedge </math>, [[διάζευξη]] <math> \lor </math>, και [[άρνηση]] <math> \neg </math> ως εξής:
+Για να δηλώσουν αποκλειστική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα '''XOR''' και <math>\oplus</math>. Η αποκλειστική διάζευξη μπορεί να γραφεί με χρήση μόνο των λογικών τελεστών [[σύζευξη]] (ή "ένωση" ή "λογική άθροιση") <math>\wedge</math>, [[διάζευξη]] <math>\lor</math>, και [[άρνηση]] <math>\neg</math> ως εξής:<ref name="H93">{{cite book |last=Hayes |first=John P. |title=Introduction to Digital Logic Design |year=1993 |publisher=Addison-Wesley Publishing Company |isbn=0-201-15461-7}}</ref>{{rp|147-148}}<ref>{{cite book |last=Harris |first=David Money |title=Digital design and computer architecture |year=2013 |publisher=Morgan Kaufmann |location=Waltham, MA |isbn=978-0-12-394424-5 |edition=2η}}</ref>{{rp|21}}<ref>{{cite web |last=Κολέτσος |first=Γεώργιος |title=Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων |url=https://ocw.aoc.ntua.gr/modules/document/file.php/SEMFE145/enothta1.pdf |publisher=Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο |accessdate=3 Σεπτεμβρίου 2022}}</ref>{{rp|17}}
 : <math>\begin{matrix}
@@ Γραμμή 10: / Γραμμή 9: @@
 ==Πίνακας αλήθειας==
+Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας της πρότασης <math>p \oplus q</math>.<ref>{{cite web |last=Πλεξουσάκης |first=Δημήτρης |title=Προτασιακός Λογισμός |url=https://opencourses.uoc.gr/courses/pluginfile.php/11654/mod_resource/content/1/notes%20-%20part1.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Κρήτης |accessdate=3 Σεπτεμβρίου 2022}}</ref>{{rp|11}}<ref>{{cite web |last=Παπαϊωάννου |first=Εύη |title=Διακριτά Μαθηματικά: Λογική, αποδείξεις, σύνολα, συναρτήσεις |url=https://www.ceid.upatras.gr/webpages/faculty/papaioan/dchmnt/2018-19/dm-lectures/dm-lec1.pdf |publisher=Σχολή οργάνωσης και διοικησης επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών |accessdate=3 Σεπτεμβρίου 2022|year=2018}}</ref>{{rp|18}}
-Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας της πρότασης <math>p \oplus q</math>.
-{| class="wikitable" style="text-align:center;"
+:{| class="wikitable" style="text-align:center;"
 |+
 ! style="width:35px;background:#aaaaaa;"| <big>p</big>
@@ Γραμμή 27: / Γραμμή 26: @@
 |}
 (όπου Ψ=ψευδής, Α=αληθής)
+== Ιδιότητες ==
+Η αποκλειστική διάζευξη ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:{{r|H93|p=147-148}}<ref name="N20">{{cite book |last=Natarajan |first=Dhanasekharan |title=Fundamentals of digital electronics |publisher=Springer |location=Cham |isbn=978-3-030-36196-9 |year=2020}}</ref>{{rp|24}}
+* Ικανοποιεί την <math>x \oplus x = 0</math>.
+{{Collapse top|Απόδειξη}}
+Προκύπτει από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα ορισμού.
+{{Collapse bottom}}
+* Ικανοποιεί την <math>x \oplus 1 = \neg x</math>.
+{{Collapse top|Απόδειξη}}
+Προκύπτει από την δεύτερη και την τελευταία γραμμή του πίνακα ορισμού.
+{{Collapse bottom}}
+* Ικανοποιεί την [[αντιμεταθετική ιδιότητα]] <math>x \oplus y = y \oplus x</math>.
+{{Collapse top|Απόδειξη}}
+Όταν <math>x = y</math> τότε <math>x \oplus y = y \oplus x = 0</math>. Όταν <math>x \neq y</math> τότε <math>x \oplus y = y \oplus x = 1</math>.
+{{Collapse bottom}}
+* Ικανοποιεί την [[προσεταιριστική ιδιότητα]] <math>(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)</math> και γι' αυτό οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται.
+{{Collapse top}}
+:{| class="wikitable" style="text-align:center;"
+|+
+! style="width:35px;background:#aaaaaa;"| <math>x</math>
+! style="width:35px;background:#aaaaaa;"| <math>y</math>
+! style="width:35px;background:#aaaaaa;"| <math>z</math>
+! style="width:35px"| <math>x \oplus (y \oplus z)</math>
+! style="width:35px"| <math>(x \oplus y) \oplus z</math>
+|-
+| 0 || 0 || 0 || <math>0 \oplus 0 = 0</math> || <math>0 \oplus 0 = 0</math>
+|-
+| 0 || 0 || 1 || <math>0 \oplus 1 = 1</math> || <math>0 \oplus 1 = 1</math>
+|-
+| 0 || 1 || 0 || <math>1 \oplus 0 = 1</math> || <math>0 \oplus 1 = 1</math>
+|-
+| 0 || 1 || 1 || <math>1 \oplus 1 = 0</math> || <math>0 \oplus 0 = 0</math>
+|-
+| 1 || 0 || 0 || <math>1 \oplus 0 = 1</math> || <math>1 \oplus 0 = 1</math>
+|-
+| 1 || 0 || 1 || <math>1 \oplus 1 = 0</math> || <math>1 \oplus 1 = 0</math>
+|-
+| 1 || 1 || 0 || <math>0 \oplus 0 = 0</math> || <math>1 \oplus 1 = 0</math>
+|-
+| 1 || 1 || 1 || <math>1 \oplus 0 = 1</math> || <math>0 \oplus 1 = 1</math>
+|}
+{{Collapse bottom}}
+* Η διάζευξη και η σύζευξη δεν μπορούν να υλοποιηθούν με την χρήση μόνο τελεστών αποκλειστικής διάζευξης.<ref>{{cite book |last=Chattopadhyay |first=D. |title=Basic Electronics: in accordance with u.p. technical university syllabus |year=2002 |publisher=New age international Publishers |location=New Delhi |isbn=9788122414103 |edition=1η}}</ref>{{rp|199}}
+== Γενικεύσεις ==
+Η αποκλειστική διάζευξη <math>n</math> εισόδων <math>x_1, \ldots, x_n</math> ορίζεται ως <math>x_1 \oplus x_2 \oplus \ldots \oplus x_n</math> και είναι ισοδύναμη με την συνάρτηση{{r|H93|p=148}}{{r|N20|p=25}}
+:<math>
+s(x_1, \ldots, x_n) = \begin{cases}
+& \text{αν υπάρχει μονός αριθμός 1 μεταξύ των }x_1, \ldots, x_n \\
+& \text{διαφορετικά}.
+\end{cases}
+</math>
+== Παραπομπές ==
+<references/>
 [[Κατηγορία:Άλγεβρα Μπουλ]]
 [[Κατηγορία:Διχοτομίες]]
-[[fi:XOR]]
-[[sv:Exor]]
-[[tr:XOR kapısı]]