Φρακτάλ της λέξης Fibonacci
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Fibonacci_fractal_first_iterations.png/220px-Fibonacci_fractal_first_iterations.png)
Το φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι μια φρακταλική καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο της λέξης Fibonacci.
Ορισμός
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Fibonacci_curve_L-system.png/220px-Fibonacci_curve_L-system.png)
Αυτή η καμπύλη κατασκευάζεται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τον κανόνα σχεδίασης μονών-ζυγών στη λέξη Fibonacci 0100101001001...:
Για κάθε ψηφίο στη θέση k:
- Σχεδιάστε ένα τμήμα προς τα εμπρός
- Εάν το ψηφίο είναι 0:
- Στρίψτε 90° προς τα αριστερά αν το k είναι ζυγός
- Στρίψτε κατά 90° προς τα δεξιά αν το k είναι απόκλιση
Σε μια λέξη Fibonacci μήκους (ο n'th αριθμός Fibonacci συνδέεται μια καμπύλη που αποτελείται από τμήματα . Η καμπύλη εμφανίζει τρεις διαφορετικές όψεις αν ο n είναι της μορφής 3k, 3k + 1, ή 3k + 2.
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/FWF_whites_quares.png/220px-FWF_whites_quares.png)
Μερικές από τις ιδιότητες του φράκταλ της λέξης Fibonacci περιλαμβάνουν:[2][3]
- Η καμπύλη περιέχει τμήματα, ορθές γωνίες και επίπεδες γωνίες.
- Η καμπύλη δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της και δεν περιέχει διπλά σημεία. Στο όριο, περιέχει άπειρα σημεία ασυμπτωτικά κοντά.
- Η καμπύλη παρουσιάζει αυτο-ομοιότητες σε όλες τις κλίμακες. Ο λόγος αναγωγής είναι . Αυτός ο αριθμός, που ονομάζεται επίσης λόγος αργύρου, είναι παρών σε μεγάλο αριθμό ιδιοτήτων που αναφέρονται παρακάτω.
- Ο αριθμός των αυτο-ομοιώσεων στο επίπεδο n είναι ένας αριθμός Fibonacci \ -1. (ακριβέστερα: ).
- Η καμπύλη περικλείει μια απειρία τετραγωνικών δομών φθίνοντος μεγέθους σε αναλογία (βλ. σχήμα). Ο αριθμός αυτών των τετραγωνικών δομών είναι ένας αριθμός Φιμπονάτσι.
- Η καμπύλη μπορεί επίσης να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους (βλ. γκαλερί παρακάτω):
- Επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων των 4 και 1 ομοιοθεσιών του λόγου και
- Συνδέοντας τις καμπύλες και
- Σύστημα Λιντενμάγιερ
- Με μια επαναληπτική κατασκευή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
- Με μια επαναληπτική κατασκευή οκτάγωνοων
- H διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff) του φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι , με τη χρυσή τομή.
- Γενικεύοντας σε μια γωνία μεταξύ 0 και , η διάσταση Hausdorff της είναι , με .
- Η διάσταση Hausdorff του συνόρου του είναι .
- Αν αλλάξουμε τους ρόλους του "0" και του "1" στη λέξη Fibonacci ή στον κανόνα σχεδίασης, προκύπτει μια παρόμοια καμπύλη, αλλά προσανατολισμένη κατά 45°.
- Από τη λέξη Fibonacci, μπορεί κανείς να ορίσει την "πυκνή λέξη Fibonacci", σε ένα αλφάβητο 3 γραμμάτων: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (ακολουθία A143667 στην OEIS). Η χρήση, σε αυτή τη λέξη, ενός πιο απλού κανόνα σχεδίασης, ορίζει ένα άπειρο σύνολο παραλλαγών της καμπύλης, μεταξύ των οποίων:
- μια "διαγώνια παραλλαγή".
- μια "παραλλαγή της σβάστικας" ** μια "παραλλαγή της σβάστικας"
- μια "συμπαγής παραλλαγή".
- Εικάζεται ότι το φράκταλ της λέξης Φιμπονάτσι εμφανίζεται για κάθε λέξη Στουρμιού για την οποία η κλίση, γραμμένη σε συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος, καταλήγει σε μια άπειρη ακολουθία από "1 "s.
Έκθεση φωτογραφιών
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]-
Καμπύλη μετά από επαναλήψεις.
-
Αυτο-ομοιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.
-
Διαστάσεις.
-
Κατασκευή με αντιπαράθεση (1)
-
Κατασκευή με αντιπαράθεση (2)
-
Τάξη 18, με μερικά υποορθογώνια χρωματισμένα.
-
Κατασκευή με επαναλαμβανόμενη καταστολή τετραγωνικών μοτίβων.
-
Κατασκευή με επαναληπτικά οκτάγωνα.
-
Κατασκευή με επαναληπτική συλλογή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
-
Με γωνία 60°.
-
Αντιστροφή του "0" και του "1".
-
Παραλλαγές που παράγονται από την πυκνή λέξη Fibonacci.
-
Η "συμπαγής παραλλαγή"
-
Η "παραλλαγή svastika"
-
Η "διαγώνια παραλλαγή"
-
Η παραλλαγή "π/8"
-
Δημιουργία του καλλιτέχνη (Σαμουέλ Μονιέ).
Το πλακίδιο Fibonacci
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Tiling_Fibonacci_word_fractal.png/220px-Tiling_Fibonacci_word_fractal.png)
Η παράθεση τεσσάρων καμπυλών επιτρέπει την κατασκευή μιας κλειστής καμπύλης που περικλείει μια επιφάνεια της οποίας το εμβαδόν δεν είναι μηδενικό. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται "πλακίδιο Φιμπονάτσι".
- Το πλακίδιο Fibonacci σχεδόν καλύπτει το επίπεδο. Η παράθεση 4 πλακιδίων (βλέπε εικόνα) αφήνει στο κέντρο ένα ελεύθερο τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν τείνει στο μηδέν καθώς το k τείνει στο άπειρο. Στο όριο, το άπειρο κεραμίδι Fibonacci καλύπτει το επίπεδο.
- Αν το πλακίδιο περικλείεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 1, τότε το εμβαδόν του τείνει στο .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Tiling_by_Fibonacci_tiles.jpg/220px-Tiling_by_Fibonacci_tiles.jpg)
Χιονονιφάδα Φιμπονάτσι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Fibonacci_snowflakes_2_1%2C_2%2C_3%2C_and_4.svg/300px-Fibonacci_snowflakes_2_1%2C_2%2C_3%2C_and_4.svg.png)
Η χιονονιφάδα Fibonacci είναι ένα πλακίδιο Fibonacci που ορίζεται από:[5]
- if
- otherwise.
with and , "turn left" and "turn right", and .
Ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες:[5][6] Πρόκειται για το πλακίδιο Fibonacci που σχετίζεται με την "διαγώνια παραλλαγή" που ορίστηκε προηγουμένως.
- Επικαλύπτει το επίπεδο σε οποιαδήποτε σειρά.
- Καλύπτει το επίπεδο με μετατόπιση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
- Η περίμετρός του σε τάξη n ισούται με , όπου είναι n'ιοστός αριθμός Fibonacci.
- το εμβαδόν του στην τάξη n ακολουθεί τους διαδοχικούς δείκτες της μονής σειράς της ακολουθίας Pell (ορίζεται από τη σχέση )
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Ramírez, José L.; Rubiano, Gustavo N. (2014). "Properties and Generalizations of the Fibonacci Word Fractal", The Mathematical Journal, Vol. 16.
- ↑ Monnerot-Dumaine, Alexis (February 2009). "The Fibonacci word fractal", independent (hal.archives-ouvertes.fr).
- ↑ Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). «Hausdorff Dimension of Generalized Fibonacci Word Fractals». arXiv:1601.04786 [math.MG].
- ↑ Ramírez, Rubiano, and De Castro (2014). "A generalization of the Fibonacci word fractal and the Fibonacci snowflake", Theoretical Computer Science, Vol. 528, p.40-56. [1]
- ↑ 5,0 5,1 Blondin-Massé, Alexandre, Brlek, Srečko, Garon, Ariane και Labbé, Sébastien (2009). "Christoffel and Fibonacci tiles", Lecture Notes in Computer Science: Discrete Geometry for Computer Imagery, σ. 67-8. Springer. (ISBN 9783642043963).
- ↑ A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendès-France (2011). "Fibonacci snowflakes".