Υπερελλειπτική καμπύλη

Στην αλγεβρική γεωμετρία, μια υπερελλειπτική καμπύλη^[1]^[2] είναι μια αλγεβρική καμπύλη γένους g > 1, που δίνεται από μια εξίσωση της μορφής

$y^{2}+h(x)y=f(x)$

όπου f(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n = 2g + 1 > 4 ή n = 2g + 2 > 4 με n διακριτές ρίζες, και το h(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού < g + 2 (αν η χαρακτηριστική του βασικού σώματος δεν είναι 2, μπορούμε να πάρουμε h(x) = 0).

Μια υπερελλειπτική συνάρτηση είναι ένα στοιχείο του πεδίου συναρτήσεων μιας τέτοιας καμπύλης ή της Ιακωβιανής ποικιλίας πάνω στην καμπύλη- αυτές οι δύο έννοιες είναι ταυτόσημες για τις ελλειπτικές συναρτήσεις, αλλά διαφορετικές για τις υπερελλειπτικές συναρτήσεις.

Γένος

Ο βαθμός του πολυωνύμου καθορίζει το γένος της καμπύλης: ένα πολυώνυμο βαθμού 2g + 1 ή 2g + 2 δίνει μια καμπύλη γένους g. Όταν ο βαθμός είναι ίσος με 2g + 1, η καμπύλη ονομάζεται φανταστική υπερελιπτική καμπύλη. Εν τω μεταξύ, μια καμπύλη βαθμού 2g + 2 ονομάζεται πραγματική υπερελλειπτική καμπύλη. Αυτή η δήλωση για το γένος παραμένει αληθής για g = 0 ή 1, αλλά αυτές οι ειδικές περιπτώσεις δεν ονομάζονται υπερελιπτικές. Στην περίπτωση g = 1 (αν επιλέξει κανείς ένα διακεκριμένο σημείο), μια τέτοια καμπύλη ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη.

Διατύπωση και επιλογή του προτύπου

Ενώ αυτό το πρότυπο είναι ο απλούστερος τρόπος περιγραφής υπερελιπτικών καμπυλών, μια τέτοια εξίσωση παρουσιάζει ένα μοναδικό σημείο στο άπειρο στο προβολικό επίπεδο. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι χαρακτηριστικό της περίπτωσης n > 3. Επομένως, όταν δίνουμε μια τέτοια εξίσωση για να προσδιορίσουμε μια μη-ιδιάζουσα καμπύλη, σχεδόν πάντα υποθέτουμε ότι εννοείται ένα μη-ιδιάζον πρότυπο (που ονομάζεται επίσης ομαλή πλήρωση), ισοδύναμο με την έννοια της αμφίρητης γεωμετρίας.

Για την ακρίβεια, η εξίσωση ορίζει μια τετραγωνική επέκταση του C(x), και εννοείται αυτό το σώμα συναρτήσεων. Το μοναδικό σημείο στο άπειρο μπορεί να αφαιρεθεί (αφού πρόκειται για καμπύλη) με τη διαδικασία της κανονικοποίησης (ολοκλήρωσης). Αποδεικνύεται ότι αφού γίνει αυτό, υπάρχει ένα ανοικτό κάλυμμα της καμπύλης από δύο αφινικά διαγράμματα: αυτό που ήδη δίνεται από την

$y^{2}=f(x)$

και ένα άλλο που δίνεται από

$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$

Οι χάρτες συγκόλλησης μεταξύ των δύο διαγραμμάτων δίνονται ως εξής

$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$

και

$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$

οπουδήποτε και αν ορίζονται.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιούμε μια γεωμετρική συντόμευση, καθώς η καμπύλη C ορίζεται ως μια διπλή διακλαδισμένη κάλυψη της προβολικής γραμμής, με τη διακλάδωση να εμφανίζεται στις ρίζες της f και επίσης για περιττά n στο σημείο στο άπειρο. Με αυτόν τον τρόπο, οι περιπτώσεις n = 2g + 1 και 2g + 2 μπορούν να ενοποιηθούν, αφού θα μπορούσαμε εξίσου εύκολα να χρησιμοποιήσουμε έναν αυτομορφισμό του προβολικού επιπέδου για να μετακινήσουμε οποιοδήποτε σημείο διακλάδωσης μακριά από το άπειρο.

Χρήση του τύπου Ρίμαν-Χέρβιτς

Με τη χρήση του τύπου Ρίμαν-Χέρβιτς^[3], η υπερελικτική καμπύλη με γένος g ορίζεται από μια εξίσωση με βαθμό 'n = 2g + 2. Ας υποθέσουμε ότι f : X → P¹ είναι μια διακλαδισμένη κάλυψη με βαθμό διακλάδωσης 2, όπου X είναι μια καμπύλη με γένος g και P1 είναι η σφαίρα Ρίμαν. Έστω''g₁ = g και g₀ το γένος της P¹ ( = 0 ), τότε ο τύπος Ρίμαν-Χέρβιτς αποδεικνύεται ότι είναι

2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)

όπου s σε όλα τα διακλαδισμένα σημεία του Χ. Ο αριθμός των διακλαδισμένων σημείων είναι n, και σε κάθε διακλαδισμένο σημείο s έχουμε e_s = 2, οπότε ο τύπος γίνεται

2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)

οπότε n = 2g + 2.

Εμφάνιση και εφαρμογές

Όλες οι καμπύλες γένους 2 είναι υπερελιπτικές, αλλά για γένος ≥ 3 η γενική καμπύλη δεν είναι υπερελιπτική. Αυτό φαίνεται ευρετικά με έναν έλεγχο της διάστασης του χώρου moduli. Μετρώντας σταθερές, με n = 2g + 2, η συλλογή των n σημείων που υπόκεινται στη δράση των αυτομορφισμών της προβολικής γραμμής έχει (2g + 2) − 3 βαθμούς ελευθερίας, που είναι μικρότερος από 3g − 3, τον αριθμό των moduli μιας καμπύλης γένους g, εκτός αν το g είναι 2. Πολλά περισσότερα είναι γνωστά για τον υπερελιπτικό τόπο στον χώρο moduli των καμπυλών ή των αβελιανών ποικιλιών, αν και είναι πιο δύσκολο να παρουσιαστούν γενικές μη υπερελιπτικές καμπύλες με απλά πρότυπα.^[4] Ένας γεωμετρικός χαρακτηρισμός των υπερελιπτικών καμπυλών είναι μέσω των σημείων Βάιερστρας. Λεπτομερέστερη γεωμετρία των μη-υπερελλειπτικών καμπυλών διαβάζεται από τη θεωρία των κανονικών καμπυλών, με την κανονική απεικόνιση να είναι 2 προς 1 στις υπερελλειπτικές καμπύλες αλλά 1 προς 1 αλλιώς για g > 2. Τριγωνικές καμπύλες είναι αυτές που αντιστοιχούν στη λήψη μιας κυβικής ρίζας και όχι μιας τετραγωνικής ρίζας ενός πολυωνύμου.

Ο ορισμός μέσω τετραγωνικών επεκτάσεων του σώματος ρητών συναρτήσεων λειτουργεί για πεδία γενικά εκτός από το χαρακτηριστικό 2. Σε όλες τις περιπτώσεις είναι διαθέσιμος ο γεωμετρικός ορισμός ως διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα της προβολικής γραμμής, αν η επέκταση θεωρηθεί διαχωρίσιμη.

Οι υπερελιπτικές καμπύλες μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην κρυπτογραφία υπερελιπτικών καμπυλών για κρυπτοσυστήματα^[5] που βασίζονται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου.

Οι υπερελιπτικές καμπύλες εμφανίζονται επίσης να συνθέτουν ολόκληρες συνδεδεμένες συνιστώσες ορισμένων στρωμάτων του χώρου moduli των αβελιανών διαφορικών^[6].

Η υπερελιπτικότητα των καμπυλών γένους 2 χρησιμοποιήθηκε για να αποδειχθεί η εικασία της περιοχής πλήρωσης του Γκρόμοφ στην περίπτωση των πληρώσεων γένους =1.

Ταξινόμηση

Οι υπερελλειπτικές καμπύλες δεδομένου γένους g έχουν ένα χώρο moduli, στενά συνδεδεμένο με το δακτύλιο των αναλλοίωτων μιας δυαδικής μορφής βαθμού 2g+2.

Ιστορία

Οι υπερελλειπτικές συναρτήσεις δημοσιεύθηκαν για πρώτη φορά από τον Άντολφ Γκέπελ (Adolph Göpel, 1812-1847) στην τελευταία του εργασία Abelsche Transcendenten erster Ordnung ("Αβελιανές υπερβάσεις πρώτης τάξης") (στο περιοδικό Journal für die reine und angewandte Mathematik, τόμος 35, 1847^[7]). Ανεξάρτητα ο Γιόχαν Γ. Ρόζενχαϊν εργάστηκε πάνω σε αυτό το θέμα και δημοσίευσε το Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung^[8] (Αντιστροφές υπερελλειπτικών ολοκληρωμάτων πρώτου είδους ) στο περιοδικό Mémoires des savants etc.(Απομνημονεύματα διανοουμένων κ.λπ.), τόμος 11, 1851).

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Hyperelliptic curves and their invariants: geometric, arithmetic and algorithmic aspects by Reynald Lercier; Christophe Ritzenthaler
Hyperelliptic curves for Supersymmetric Yang-Mills by Joseph A. Minahan; Dennis Nemeschansky
Models of hyperelliptic curves with tame potentially semistable reduction by Omri Faraggi and Sarah Nowell

Παραπομπές

↑ Mess, Geoffrey (1992). «A Note on Hyperelliptic Curves». Proceedings of the American Mathematical Society 115 (3): 849–852. doi:10.2307/2159236. ISSN 0002-9939. https://www.jstor.org/stable/2159236.
↑ «Hyper-elliptic curve - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 19 Ιουνίου 2024.
↑ Kazaryan, Maxim E.· Lando, Sergei K. (21 Ιανουαρίου 2019). Algebraic Curves: Towards Moduli Spaces. Springer. ISBN 978-3-030-02943-2.
↑ Poor, Cris (1996). «Schottky's form and the hyperelliptic locus». Proceedings of the American Mathematical Society 124 (7): 1987–1991. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6.
MR 1327038
.
↑ Cohen, Henri· Frey, Gerhard (19 Ιουλίου 2005). Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3498-1.
↑ Kontsevich, Maxim; Zorich, Anton (2003). «Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities». Inventiones Mathematicae 153 (3): 631–678. doi:10.1007/s00222-003-0303-x. Bibcode: 2003InMat.153..631K. https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_2003-09_153_3/page/631.
↑ Cantor, David G. (1994). «On the analogue of the division polynomials for hyperelliptic curves.». Journal für die reine und angewandte Mathematik 447: 91–146. ISSN 0075-4102. https://eudml.org/doc/153593.
↑ «Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung» (PDF).

[1] Mess, Geoffrey (1992). «A Note on Hyperelliptic Curves». Proceedings of the American Mathematical Society 115 (3): 849–852. doi:10.2307/2159236. ISSN 0002-9939. https://www.jstor.org/stable/2159236.

[2] «Hyper-elliptic curve - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 19 Ιουνίου 2024.

[3] Kazaryan, Maxim E.· Lando, Sergei K. (21 Ιανουαρίου 2019). Algebraic Curves: Towards Moduli Spaces. Springer. ISBN 978-3-030-02943-2.

[4] Poor, Cris (1996). «Schottky's form and the hyperelliptic locus». Proceedings of the American Mathematical Society 124 (7): 1987–1991. doi:10.1090/S0002-9939-96-03312-6.
MR 1327038
.

[5] Cohen, Henri· Frey, Gerhard (19 Ιουλίου 2005). Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3498-1.

[6] Kontsevich, Maxim; Zorich, Anton (2003). «Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities». Inventiones Mathematicae 153 (3): 631–678. doi:10.1007/s00222-003-0303-x. Bibcode: 2003InMat.153..631K. https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_2003-09_153_3/page/631.

[7] Cantor, David G. (1994). «On the analogue of the division polynomials for hyperelliptic curves.». Journal für die reine und angewandte Mathematik 447: 91–146. ISSN 0075-4102. https://eudml.org/doc/153593.

[8] «Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]